2021年北京市西城区高考数学一模试卷

这是一份2021年北京市西城区高考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

2021年北京市西城区高考数学一模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{x|x≥﹣1}
2．（4分）已知复数z满足﹣z＝2i，则z的虚部是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
3．（4分）在的展开式中，常数项为（　　）
A．15 B．﹣15 C．30 D．﹣30
4．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（　　）

A．12 B． C．16 D．
5．（4分）已知函数，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）
A．（0，1） B．（﹣∞，2） C．（2，+∞） D．（0，2）
6．（4分）在△ABC中，C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P是AB的中点，则＝（　　）
A． B．4 C． D．6
7．（4分）在△ABC中，C＝60°，a+2b＝8，sinA＝6sinB，则c＝（　　）
A． B． C．6 D．5
8．（4分）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线y2＝4x的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，则两条反射光线a'和b'之间的距离为（　　）

A． B． C． D．
9．（4分）在无穷等差数列{an}中，记Tn＝a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣…+（﹣1）n+1an（n＝1，2，…），则“存在m∈N*，使得Tm＜Tm+2”是“{an}为递增数列”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（4分）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记△（X）＝M﹣m．下列命题中正确的是（　　）
A．已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，且△（X）＝△（Y），则b＝2
B．已知X＝[a，a+2]，Y＝{y|y＝x2，x∈X}，则存在实数a，使得△（Y）＜1
C．已知X＝{x|f（x）≥g（x），x∈[﹣1，1]}，若△（X）＝2，则对任意x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥g（x）
D．已知X＝[a，a+2]，Y＝[b，b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得△（X∪Y）≤3
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数f（x）＝lnx+的定义域是　 　．
12．（5分）已知双曲线C：，则C的渐近线方程是　 　；过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积是　 　．
13．（5分）在等比数列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，则公比q＝　 　；若an＞1，则n的最大值为　 　．
14．（5分）已知函数f（x）＝sinx，若对任意x∈R都有f（x）+f（x+m）＝c（c为常数），则常数m的一个取值为 　 　．
15．（5分）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数＝）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0，100]；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②y＝10；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 　 　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
（Ⅰ）求证：BD1∥平面ACE；
（Ⅱ）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

17．（13分）已知函数，且f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（Ⅰ）确定f（x）的解析式：
（Ⅱ）若f（x）图象的对称轴只有一条落在区间[0，a]上，求a的取值范围．
条件①：f（x）的最小值为﹣2；
条件②：f（x）图象的一个对称中心为（，0）；
条件③：f（x）的图象经过点（，﹣1）．
18．（14分）天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．
如表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最充恒星的相关数据，其中a∈[0，1.3]．
星名
天狼星
老人星
南门二
大角星
织女一
五车二
参宿七
南河三
水委一
参宿四*
视星等
﹣1.47
﹣0.72
﹣0.27
﹣0.04
0.03
0.08
0.12
0.38
0.46
a
绝对星等
1.42
﹣5.53
4.4
﹣0.38
0.6
0.1
﹣6.98
2.67
﹣2.78
﹣5.85
赤纬
﹣16.7°
﹣52.7°
﹣60.8°
19.2°
38.8°
46°
﹣8.2°
5.2°
﹣57.2°
7.4°
（Ⅰ）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；
（Ⅱ）已知北京的纬度是北纬40°，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于﹣50°时，能在北京的夜空中看到它，现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为X颗，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记a＝0时10颗恒星的视星等的方差为s12，记a＝1.3时10颗恒星的视星等的方差为s22，判断s12与s22之间的大小关系．（结论不需要证明）
19．（15分）已知函数f（x）＝ex（lnx﹣a）．
（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＞1，求证：函数f（x）存在极小值；
（Ⅲ）若对任意的实数x∈[1，+∞），f（x）≥﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
20．（15分）已知椭圆C：（a＞0）的焦点在x轴上，且经过点E（1，），左顶点为D，右焦点为F．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率和△DEF的面积；
（Ⅱ）已知直线y＝kx+1与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线y＝t（t＞）的垂线，垂足为G．判断是否存在常数t，使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
21．（15分）已知数列A：a1，a2，…，aN（N≥3）的各项均为正整数，设集合T＝{x|x＝aj﹣ai，1≤i＜j≤N}，记T的元素个数为P（T）．
（Ⅰ）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出P（T）的值；
（Ⅱ）若A是递增数列，求证：“P（T）＝N﹣1”的充要条件是“A为等差数列”；
（Ⅲ）若N＝2n+1，数列A由1．，2，3，…，n，2n这n+1个数组成，且这n+1个数在数列A中每个至少出现一次，求P（T）的取值个数．

2021年北京市西城区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{x|x≥﹣1}
【分析】根据题意，由集合交集的定义，分析两个集合的公共元素可得答案．
【解答】解：根据题意，集合A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，2}，
则A∩B＝{1，2}，
故选：B．
【点评】本题考查集合交集的计算，注意集合交集的定义，属于基础题．
2．（4分）已知复数z满足﹣z＝2i，则z的虚部是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【分析】利用待定系数法设z＝a+bi，然后利用复数相等，求出b的值即可得到答案．
【解答】解：设z＝a+bi，
因为﹣z＝2i，则有a﹣bi﹣（a+bi）＝2i，即﹣2bi＝2i，所以b＝﹣1，
故复数z的虚部为﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求解复数的应用，考查了复数相等的定义，属于基础题．
3．（4分）在的展开式中，常数项为（　　）
A．15 B．﹣15 C．30 D．﹣30
【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，由此即可求解．
【解答】解：展开式的通项公式为T＝C，
令6﹣3r＝0，解得r＝2，
所以展开式的常数项为C＝15，
故选：A．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
4．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（　　）

A．12 B． C．16 D．
【分析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的表面积．
【解答】解：由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，
画出四棱锥的直观图，如图所示：

则该四棱锥的表面积为：
S＝S正方形ABCD+S△PAB+S△PAD+S△PBC+S△PCD
＝22+×2×2+×2×2+×2×2+×2×2＝8+4．
故选：D．

【点评】本题考查了利用三视图求几何体表面积，是基础题．
5．（4分）已知函数，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）
A．（0，1） B．（﹣∞，2） C．（2，+∞） D．（0，2）
【分析】根据题意，求出函数的定义域，分析可得在（0，+∞）上是减函数，结合f（2）＝0分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，其定义域为（0，+∞），
又由y＝和函数y＝﹣log2x都是区间（0，+∞）上的减函数，则在（0，+∞）上也是减函数，
又由f（2）＝1﹣1＝0，则不等式f（x）＞0的解集是（0，2），
故选：D．
【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数单调性的性质以及应用，属于基础题．
6．（4分）在△ABC中，C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P是AB的中点，则＝（　　）
A． B．4 C． D．6
【分析】利用向量的数量积以及向量的线性运算即可求解．
【解答】解：在△ABC中，C＝90°，则•＝0，
因为点P是AB的中点，
所以＝（+），
所以＝•[（+）]＝2+•＝2＝||2＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（4分）在△ABC中，C＝60°，a+2b＝8，sinA＝6sinB，则c＝（　　）
A． B． C．6 D．5
【分析】直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果．
【解答】解：在△ABC中，sinA＝6sinB，
利用正弦定理得：a＝6b，
所以，解得，
利用余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC＝，
故c＝．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8．（4分）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线y2＝4x的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，则两条反射光线a'和b'之间的距离为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由抛物线的方程得F（1，0），又∠OFA＝60°，写出直线AF的方程，并联立抛物线的方程，解得yA，同理解得yB，再计算|yA﹣yB|即可得出答案．
【解答】解：由y2＝4x，得F（1，0），
又∠OFA＝60°，
所以直线AF的方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x+，
联立，得（y+）2＝，
所以y1＝或y2＝﹣2（舍去），
即yA＝，
同理直线BF的方程为y﹣0＝（x﹣1），即y＝x﹣，
联立，得（y﹣）2＝，
所以y3＝2或y4＝﹣（舍去），即yB＝2，
所以|yA﹣yB|＝|2﹣|＝，
即两条反射光线的距离为，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
9．（4分）在无穷等差数列{an}中，记Tn＝a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣…+（﹣1）n+1an（n＝1，2，…），则“存在m∈N*，使得Tm＜Tm+2”是“{an}为递增数列”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等差数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：①若{an}为递增数列，又Tm+2＝Tm+（﹣1）m+2am+1+（﹣1）m+3am+2，
当m为奇数时，Tm+2＝Tm﹣am+1+am+2，
∵{an}递增数列，∴am+2＞am+1，∴Tm+2＞Tm，
即∃m∈N+，使Tm+2＞Tm，
②若∃m∈N+，使Tm+2＞Tm，
由Tm+2＝Tm+（﹣1）m+2am+1+（﹣1）m+3am+2，
即（﹣1）m+2am+1+（﹣1）m+3am+2＞0，
当为m奇数时，﹣am+1+am+2＞0，am+2＞am+1，∴{an}递增数列，
当为偶数时，am+1﹣am+2＞0，am+1＞am+2，∴{an}递减数列，
综上所述，∃m∈N+，使Tm+2＞Tm是{an}为递增数列必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断和等差数学的性质，属于基础题．
10．（4分）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记△（X）＝M﹣m．下列命题中正确的是（　　）
A．已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，且△（X）＝△（Y），则b＝2
B．已知X＝[a，a+2]，Y＝{y|y＝x2，x∈X}，则存在实数a，使得△（Y）＜1
C．已知X＝{x|f（x）≥g（x），x∈[﹣1，1]}，若△（X）＝2，则对任意x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥g（x）
D．已知X＝[a，a+2]，Y＝[b，b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得△（X∪Y）≤3
【分析】A举反例判断；B用反证法，分类讨论判断；C举反例判断；D对任意的实数a，求出b满足条件即可．
【解答】解：对于A，因为△（X）＝2，△（X）＝△（Y），所以△（Y）＝2，于是b＝2或﹣2，未必b＝2，所以A错；
对于B，假设存在实数a，使△（Y）＜1，
若a≥0，△（Y）＝（a+2）2﹣a2＝4（a+1）≥4，矛盾，
若a+2≤0，△（Y）＝a2﹣（a+2）2＝﹣4（a+1）≥4，矛盾，
若﹣1＜a＜0，△（Y）＝（a+2）2＞1，矛盾，
若﹣2＜a＜﹣1，△（Y）＝a2＞1，矛盾，
若a＝﹣1，△（Y）＝1﹣0＝1，矛盾，
所以B错；
对于C，取f（x）＝|x|，g（x）＝1，则△（X）＝2，但对任意x∈[﹣1，1]，f（x）≥g（x）不成立，所以C错；
对于D，对任意的实数a，只须b满足[a，a+2]⊂[b，b+3]，就有X∪Y＝Y，从而△（X∪Y）＝△（Y）＝3≤3，所以D对．
故选：D．
【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了集合的基本概念，考查了不等式性质，属于中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数f（x）＝lnx+的定义域是　{x|0＜x≤1}　．
【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出f（x）的定义域．
【解答】解：∵函数f（x）＝lnx+，
∴，
解得0＜x≤1；
∴函数f（x）的定义域为{x|0＜x≤1}．
故答案为：{x|0＜x≤1}．
【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出定义域，是基础题．
12．（5分）已知双曲线C：，则C的渐近线方程是　　；过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积是　　．
【分析】利用双曲线的标准方程，求解渐近线方程得到第一空；求出M坐标，然后求解三角形的面积解答第二空．
【解答】解：双曲线C：，可得a＝2，b＝2，
故C的渐近线方程为y＝±＝，
则C的渐近线方程双曲线的左焦点坐标（﹣2，0），
过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M，N两点，
则M（﹣2，），N（﹣2，﹣），
所以△OMN的面积：＝6．
故答案为：y＝±；6．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
13．（5分）在等比数列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，则公比q＝　　；若an＞1，则n的最大值为　3　．
【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得q＝，即可得第一空答案，进而求出a1的值，即可得{an}的通项公式，解an＞1可得第二空答案．
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，
则q＝＝＝﹣．
若a1+a3＝10，即a1+a1＝10，解可得a1＝8，
则an＝a1qn﹣1＝8×（﹣）n﹣1＝（﹣1）n﹣1×24﹣n，
若an＞1，即（﹣1）n﹣1×24﹣n＞1，
必有n＝1或3，即n的最大值为3，
故答案为：﹣，3．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
14．（5分）已知函数f（x）＝sinx，若对任意x∈R都有f（x）+f（x+m）＝c（c为常数），则常数m的一个取值为 　π（答案不唯一，只要是（2k+1）π即可）　．
【分析】先对三角函数恒等变形，要使2sin（x+）cos（）＝c（c为常数），必有cos（）＝0，再解三角函数方程求解即可．
【解答】解：f（x）+f（x+m）＝sinx+sin（x+m）＝2sin（x+）cos（﹣）＝2sin（x+）cos（）＝c（c为常数），
所以cos（）＝0，于是＝+kπ，m＝（2k+1）π，
所以常数m的一个取值为π（答案不唯一，只要是（2k+1）π即可）．
故答案为：π（答案不唯一，只要是（2k+1）π即可）．
【点评】本题考查了正弦函数性质，属于中档题．
15．（5分）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数＝）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0，100]；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②y＝10；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 　②④　．
【分析】根据题意得到，y的定义域为[0，100]，值域为[0，100]，y≥x对任意的x∈[0，100]成立且在[0，100]上单调递增，由此对四个选项进行逐一的分析判断即可．
【解答】解：由联合调度要求可知，y的定义域为[0，100]，值域为[0，100]，
y≥x对任意的x∈[0，100]恒成立且在[0，100]上单调递增．
①在[0，100]上不是单调函数，故选项①错误；
②在[0，100]上单调递增，值域为[0，100]，
又因为对任意的x∈[0，100]恒成立，
所以y≥x对任意的x∈[0，100]恒成立，故选项②正确；
③对任意的x∈[0，100]不恒成立，比如，故选项③错误；
④在[0，100]上单调递增，值域为[0，100]，
令，则，
令f'（x）＝0，解得x＝x0，
则当x∈（0，x0）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，
当x∈（x0，100）时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，
又f（0）＝0，f（100）＝0，
所以f（x）≥0在[0，100]上恒成立，
故y≥x对任意的x∈[0，100]恒成立，故选项④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了函数性质的综合应用，涉及了利用导数研究函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
（Ⅰ）求证：BD1∥平面ACE；
（Ⅱ）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连接OE，证明OE∥BD1.然后证明BD1∥平面ACE．
（Ⅱ）不妨设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系A﹣xyz．求出平面ACE的法向量，利用空间向量的数量积求解直线AD与平面ACE所成角的正弦值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，
在正方形ABCD中，OB＝OD．
因为E为DD1的中点，
所以OE∥BD1.………………（3分）
因为BD1⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，
所以BD1∥平面ACE． ………………（5分）
（Ⅱ）解：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．
则A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，2，1），
所以，，． ………………（8分）
设平面ACE的法向量为＝（x，y，z），
所以所以即………………（10分）
令y＝﹣1，则x＝1，z＝2，
于是＝（1，﹣1，2）．………………（11分）
设直线AD与平面ACE所成角为θ，
则．………………（13分）
所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
17．（13分）已知函数，且f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（Ⅰ）确定f（x）的解析式：
（Ⅱ）若f（x）图象的对称轴只有一条落在区间[0，a]上，求a的取值范围．
条件①：f（x）的最小值为﹣2；
条件②：f（x）图象的一个对称中心为（，0）；
条件③：f（x）的图象经过点（，﹣1）．
【分析】（Ⅰ）先根据已知求出f（x）的最小正周期，即可求解ω，再根据所选条件，利用正弦函数的性质求解A和φ的值，从而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由正弦函数的图象与性质可得关于a的不等式，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由于函数f（x）图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以f（x）的最小正周期，．
此时f（x）＝Asin（2x+φ）．
选条件①②：
因为f（x）的最小值为﹣A，所以A＝2．
因为f（x）图象的一个对称中心为，
所以，
所以，
因为，所以，此时k＝1，
所以．
选条件①③：
因为f（x）的最小值为﹣A，所以A＝2．
因为函数f（x）的图象过点，
则，即，．
因为，所以，
所以，，
所以．
选条件②③：
因为函数f（x）的一个对称中心为，
所以，
所以．
因为，所以，此时k＝1．
所以．
因为函数f（x）的图象过点，
所以，即，，
所以A＝2，
所以．
（Ⅱ）因为x∈[0，a]，所以，
因为f（x）图象的对称轴只有一条落在区间[0，a]上，
所以，
得，
所以a的取值范围为．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（14分）天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．
如表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最充恒星的相关数据，其中a∈[0，1.3]．
星名
天狼星
老人星
南门二
大角星
织女一
五车二
参宿七
南河三
水委一
参宿四*
视星等
﹣1.47
﹣0.72
﹣0.27
﹣0.04
0.03
0.08
0.12
0.38
0.46
a
绝对星等
1.42
﹣5.53
4.4
﹣0.38
0.6
0.1
﹣6.98
2.67
﹣2.78
﹣5.85
赤纬
﹣16.7°
﹣52.7°
﹣60.8°
19.2°
38.8°
46°
﹣8.2°
5.2°
﹣57.2°
7.4°
（Ⅰ）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；
（Ⅱ）已知北京的纬度是北纬40°，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于﹣50°时，能在北京的夜空中看到它，现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为X颗，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记a＝0时10颗恒星的视星等的方差为s12，记a＝1.3时10颗恒星的视星等的方差为s22，判断s12与s22之间的大小关系．（结论不需要证明）
【分析】（Ⅰ）由图表中的数据可知有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，由古典概型的概率公式求解即可；
（Ⅱ）首先确定X的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式计算得到每个取值对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解期望即可；
（Ⅲ）根据数据的波动程度可得方差的大小关系．
【解答】解：（Ⅰ）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件A．，
由图表可知，10颗恒星有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，
所以；
（Ⅱ）由图表知，有7颗恒星的“赤纬”数值大于﹣50°，有3颗恒星的“赤纬”数值小于﹣50°．，
所以随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，
所以，
，
，
，
所以随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
4
P




所以X的数学期望为；
（Ⅲ）结论：．
【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列的求解，数学期望公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
19．（15分）已知函数f（x）＝ex（lnx﹣a）．
（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＞1，求证：函数f（x）存在极小值；
（Ⅲ）若对任意的实数x∈[1，+∞），f（x）≥﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝ex（lnx﹣1），求导得f′（x），由导数的几何意义可得k切＝f′（1），进而可得切线方程．
（Ⅱ）由f（x）＝ex（lnx﹣a），求导得，令，根据h（x）的正负，得到f（x）的单调性，再确定f（x）的极小值．
（Ⅲ）对任意的实数x∈[1，+∞），f（x）≥﹣1恒成立等价于f（x）的最小值大于或等于﹣1，分a≤1和a＞1，两种情况讨论，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝ex（lnx﹣1），
所以，
所以f（1）＝﹣e，f'（1）＝0，
曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣e．
（Ⅱ）由f（x）＝ex（lnx﹣a），得，
令，则，
当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x＞1时，h'（x）＞0，
所以h（x）在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数．
所以h（x）的最小值为h（1）＝1﹣a，
当a＞1时，h（1）＝1﹣a＜0，h（ea）＝e﹣a＞0，
又h（x）在（1，+∞）单调递增，
故存在，使得h（x0）＝0，
所以在区间（1，x0）上h（x）＜0，在区间（x0，+∞）上h（x）＞0，
所以在区间（1，x0）上f'（x）＜0，在区间（x0，+∞）上f'（x）＞0，
所以在区间（1，x0）上f（x）单调递减，在区间（x0，+∞）上f（x）单调递增，
故函数f（x）存在极小值．
（Ⅲ）对任意的实数x∈[1，+∞），f（x）≥﹣1恒成立
等价于f（x）的最小值大于或等于﹣1．
①当a≤1时，h（1）＝1﹣a≥0，由（Ⅱ）得h（x）≥0，所以f'（x）≥0．
所以f（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以f（x）的最小值为f（1）＝﹣ae，
由﹣ae≥﹣1，得，满足题意，
②当a＞1时，由（Ⅱ）知，f（x）在（1，x0）上单调递减，
所以在（1，x0）上f（x）≤f（1）＝﹣ae＜﹣e，不满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
【点评】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，考查了分类讨论思想，属于中档题．
20．（15分）已知椭圆C：（a＞0）的焦点在x轴上，且经过点E（1，），左顶点为D，右焦点为F．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率和△DEF的面积；
（Ⅱ）已知直线y＝kx+1与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线y＝t（t＞）的垂线，垂足为G．判断是否存在常数t，使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由椭圆C经过点E（1，），得，解得a，由c2＝a2﹣b2，解得c，进而可得离心率e，△DEF的面积．
（Ⅱ）根据题意直线DE的方程为，G（1，t）时，直线AG的方程为，进而可得与y轴交点，若直线AG经过y轴上定点，则，解得t＝3，下面证明存在实数t＝3，使得直线AG经过y轴上定点（0，2），即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，，解得a＝2．
因为c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，即c＝1，
所以D（﹣2，0），F（1，0），
所以离心率，
所以△DEF的面积．
（Ⅱ）由已知，直线DE的方程为，
当A（﹣2，0），，G（1，t）时，
直线AG的方程为，交y轴于点，
当，B（﹣2，0），G（﹣2，t）时，
直线AG的方程为，交y轴于点，
若直线AG经过y轴上定点，则，
即t＝3，直线AG交y轴于点（0，2）．
下面证明存在实数t＝3，使得直线AG经过y轴上定点（0，2），
联立消y整理，得（4k2+3）x2+8kx﹣8＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
设点G（x2，3），所以直线AG的方程：，
令x＝0，得＝，
因为kx1x2＝x1+x2，
所以，
所以直线AG过定点（0，2），
综上，存在实数t＝3，使得直线AG经过y轴上定点（0，2）．
【点评】本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要易得计算能力，属于中档题．
21．（15分）已知数列A：a1，a2，…，aN（N≥3）的各项均为正整数，设集合T＝{x|x＝aj﹣ai，1≤i＜j≤N}，记T的元素个数为P（T）．
（Ⅰ）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出P（T）的值；
（Ⅱ）若A是递增数列，求证：“P（T）＝N﹣1”的充要条件是“A为等差数列”；
（Ⅲ）若N＝2n+1，数列A由1．，2，3，…，n，2n这n+1个数组成，且这n+1个数在数列A中每个至少出现一次，求P（T）的取值个数．
【分析】（Ⅰ）利用集合T的定义直接求解即可；
（Ⅱ）分充分性和必要性两个方面分别证明，利用题中给出的集合T的定义分析即可；
（Ⅲ）通过分析可知P（T）≤4n﹣1，且P（T）≥2n，设数列A0：1，1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，此时T＝{0，1，2，…，2n﹣1}，P（T）＝2n．
然后对数列A0分别作变换进行分析求解，即可得到答案．
【解答】（Ⅰ）解：因为a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝3，
所以T＝{1，2，3，﹣1}，P（T）＝4；
（Ⅱ）证明：充分性：若A是等差数列，设公差为d．
因为数列A是递增数列，所以d＞0．
则当j＞i时，aj﹣ai＝（j﹣i）d．
所以T＝{d，2d，…，（N﹣1）d}，P（T）＝N﹣1，
必要性：若P（T）＝N﹣1．
因为A是递增数列，所以a2﹣a1＜a3﹣a1＜…＜aN﹣a1，
所以a2﹣a1，a3﹣a1，…，aN﹣a1∈T，且互不相等．
所以T＝{a2﹣a1，a3﹣a1，…，aN﹣a1}．
又a3﹣a2＜a4﹣a2＜…＜aN﹣1﹣a2＜aN﹣a2＜aN﹣a1，
所以a3﹣a2，a4﹣a2，…，aN﹣a2，aN﹣a1∈T，且互不相等．
所以a3﹣a2＝a2﹣a1，a4﹣a2＝a3﹣a1，…，aN﹣a2＝aN﹣1﹣a1．
所以a2﹣a1＝a3﹣a2＝…＝aN﹣aN﹣1，
所以A为等差数列；
（Ⅲ）解：因为数列A由1，2，3，…，n，2n这n+1个数组成，任意两个不同的数作差，
差值只可能为±1，±2，±3，…，±（n﹣1）和±（2n﹣1），±（2n﹣2），…，±n．
共2（n﹣1）+2n＝4n﹣2个不同的值；且对任意的m＝1，2，3，…，n﹣1，n，…，2n﹣1，m和﹣m这两个数中至少有一个在集合T中，
又因为1，2，3，…，n，2n这n+1个数在数列A中共出现N＝2n+1次，所以数列A中存在ai＝aj（i≠j），所以0∈T．
综上，P（T）≤4n﹣1，且P（T）≥2n．
设数列A0：1，1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，此时T＝{0，1，2，…，2n﹣1}，P（T）＝2n．
现对数列A0分别作如下变换：
把一个1移动到2，3之间，得到数列：1，2，2，1，3，3，4，4，…，n，n，2n，
此时T＝{0，1，2，3，…，（2n﹣1），﹣1}，P（T）＝2n+1．
把一个1移动到3，4之间，得到数列：1，2，2，3，3，1，4，4，…，n，n，2n，
此时T＝{0，1，2，3，…，（2n﹣1），﹣1，﹣2}，P（T）＝2n+2．
……
把一个1移动到n﹣1，n之间，得到数列：1，2，2，3，3，4，4，…，n﹣1，n﹣1，1，n，n，2n，
此时T＝{0，1，2，3，…，（2n﹣1），﹣1，﹣2，…，2﹣n}，P（T）＝2n+n﹣2＝3n﹣2．
把一个1移动到n，2n之间，得到数列：1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，1，2n，
此时T＝{0，1，2，3，…，2n﹣1，﹣1，﹣2，…，1﹣n}，P（T）＝2n+n﹣1＝3n﹣1．
再对数列A0依次作如下变换：
把一个1移为2n的后一项，得到数列A1：1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，1，
此时T＝{0，1，2，3，…，2n﹣1，﹣1，﹣2，…，1﹣n，1﹣2n}，P（T）＝3n；
再把一个2移为2n的后一项：得到数列A2：1，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，2，1，
此时T＝{0，1，2，3，…，2n﹣1，﹣1，﹣2，…，1﹣n，1﹣2n，2﹣2n}，P（T）＝3n+1；
依此类推……
最后把一个n移为2n的后一项：得到数列An：1，2，3，4，…，n，2n，n，n﹣1，…，2，1，
此时T＝{0，1，2，3，…，2n﹣1，﹣1，﹣2，…，1﹣n，1﹣2n，2﹣2n，…，﹣n}，P（T）＝4n﹣1．
综上所述，P（T）可以取到从2n到4n﹣1的所有2n个整数值，所以P（T）的取值个数为2n．
【点评】本题以数列知识为背景考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答，属于难题．
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