河北武强中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(含答案)

河北武强中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、某商场的展示台上有6件不同的商品，摆放时要求A，B两件商品必须在一起，则摆放的种数为(   )

A. B. C. D.

2、若，则(   )

A. B.32 C. D.243

3、小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是(   )

A.0.4 B.0.8 C.0.2 D.0.5

4、某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为(   )

A.0.78 B.0.64 C.0.58 D.0.48

5、已知某离散型随机变量X的分布列如下：

若，，则(   )

A. B. C. D.

6、甲乙丙丁戊5人站成一排，则乙在甲右侧且甲丙不相邻的方法种数为(   )

A.12 B.24 C.36 D.48

7、多年来，网络春晩一直致力于为本土市民“圆春晩梦”，得到了广大市民的认可.某市2023年网络春晩海选如期举行，该活动总共分为海选、复赛、决赛三个阶段，参赛选手通过决赛后将参加该市2023年网络春晚.已知甲、乙、丙三人组成一个小组，假设在每一轮比赛中，甲、乙、丙通过的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响，则该小组三人同时进入决赛的概率为(   )

A. B. C. D.

8、甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为(   )

A. B. C. D.

9、某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则(   )

A. B. C. D.

10、设每门高射炮命中飞机的概率是0.6，今有一架飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少的概率命中它(   )

A.3 B.4 C.5 D.6

11、随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且，

则(   )

A. B. C.2 D.

12、衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

13、在的展开式中，下列说法正确的是(   )

A.常数项是24  B.第4项系数最大

C.第3项是  D.所有项的系数的和为1

14、甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和，且他们是否命中相互独立，则(   )

A.恰好有1人命中的概率为 B.恰好有1人命中的概率为

C.至少有1人命中的概率为 D.至少有1人命中的概率为

15、在中共二十大代表“燃灯校长”张桂梅老师的不懈努力下，云南华坪山区的2000多名女孩圆了大学梦，她扎根基层教育默默奉献的精神感动了无数人.受她的影响，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到A，B，C三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是(   )

A.共有18种安排方法

B.若甲、乙被安排在同一所学校，则有6种安排方法

C.若A学校需要两名志愿者，则有24种安排方法

D.若甲被安排在A学校，则有12安排方法

16、若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

17、甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以，和表示由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒子中随机取出一球，以B表示由乙盒子取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(   )

A.，，是两两互斥的事件 B.

C.事件B与事件相互独立 D.

18、已知随机变量从二项分布，则(   )

A. B.

C.  D.最大时或501

三、填空题

19、已知随机变量，且，则________.

20、的展开式中含项的系数为30，则实数a的值为___________.

21、某工厂有甲､乙､丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，，，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上共任意选取100件产品，则次品数的数学期望为___________.

22、莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是_______.

四、解答题

23、已知的展开式中二项式系数之和为64，求此展开式中：

(1)各项系数的和；

(2)含有项的系数.

24、近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数(，简称)是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究.

（1）求抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率；

（2）用X表示抽取的3天中空气质量为优的天数，求随机变量X的分布列和数学期望.

25、某学校食堂中午和晩上都会提供A，B两种套餐(每人每次只能选择其中一种)，经过统计分析发现：学生中午选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为；在中午选择A类套餐的前提下，晩上还选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为；在中午选择B类套餐的前提下，晩上选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为.

(1)若同学甲晩上选择A类套餐，求同学甲中午也选择A类套餐的概率；

(2)记某宿舍的4名同学在晩上选择B类套餐的人数为X，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X的分布列及数学期望.

26、甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次.比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得-1分；若甲未投中，乙投中，甲得-1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分.当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响.一轮比赛中甲的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)求甲、乙两人最终平局的概率；

(3)记甲、乙一共进行了Y轮比赛，求Y的分布列及期望.

参考答案

1、答案：A

解析：首先捆绑A，B两件商品，共有种情况，视为一个整体与余下的4件商品全排列，共有种情况，综上共有种.

2、答案：D

解析：设

由已知可得，，

因此，.

3、答案：B

解析：记事件A：小智第一盘获胜，事件B：小智第二盘获胜，则，，因此，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是.

4、答案：A

解析：设“任取一块芯片是正品”，分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据题意可得∶，，，

，由全概率公式可得：.

故选：A.

5、答案：C

解析：由题意，得，所以①.

因为，所以②.

由，得，代入①②解得：，.

所以.

6、答案：C

解析：解：甲乙丙丁戊5人站成一排，设“乙在甲右侧”为事件A，“甲丙不相邻”为事件B，则.

而“乙站在甲右侧，且甲丙相邻”，，所以.

7、答案：A

解析：设该小组三人能同时进入决赛为事件A，则该小组三人能同时进入决赛即前两轮比赛三人都顺利通过，则.故选A.

8、答案：A

解析：设“甲、乙在同一组”为事件A，

教师随机分成三组，每组至少一人的分法为，

而甲、乙在同一组的分法有1，故，

故选：A.

9、答案：D

解析：由题可知，，，.

10、答案：D

解析：设需要n门高射炮才可达到目的，用A表示“命中飞机”这一事件，

用表示“第i门高射炮命中飞机”，则，，…，相互独立，且.

则，依题意可得，

即，，又，，则n应取6，

即需要6门高射炮射击，才能以至少的概率命中它，

11、答案：A

解析：由，得，则.

12、答案：D

解析：从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B.

事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，

则，又，则，即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为.

故选：D.

13、答案：AD

解析：因为展开式的通项公式为；

令可得，所以常数项为，A正确；由通项公式可知，当时，第4项的系数为负数，故B错误；第3项是，所以第三项为24，故C错误；

令可得所有项的系数的和为1，故D正确.

14、答案：AC

解析：由题可知，恰有1人命中的概率为，A正确，B不正确.

2人均未命中的概率为，故至少有1人命中的概率为，C正确，D不正确.

15、答案：BD

解析：所有安排方法有，A错误；若甲、乙被安排在同一所学校，则有种安排方法，B正确；若A学校需要两名志愿者，则有种安排方法，C错误；若甲被安排在A学校，则有种安排方法，D正确.

16、答案：AB

解析：随机变量X服从两点分布，其中，，

，，在A中，，故A正确；在B中，，故B正确；在C中，故C错误；在D中，，故D错误.

17、答案：AD

解析：，，，又，，，故D正确；

故

，故B错误；

，，故，

所以事件B与事件不相互独立，故C错误；

根据互斥事件的定义可得，，两两互斥，故A正确.

18、答案：AD

解析：，所以A对，

因为，所以，所以B错，

因为，，

所以，，所以C错，

先从递增到，从递减到，

达到最大，所以最大时或501，D对.

19、答案：

解析：解：因为随机变量，所以，所以，

所以.故答案为：.

20、答案：2

解析：的展开式的通项为，，

令，则，令，则(舍去)，所以的展开式中含项的系数为，所以.

故答案为：5.

21、答案：4.85；

解析：记事件B：选取的产品为次品，记事件：此件次品来自甲生产线，

记事件：此件次品来自乙生产线，记事件：此件次品来自丙生产线，由题意可得：，，，

，，，

由全概率公式可得

，

从这三条生产线中任意选取1件产品为次品的概率为0.0485，任意选取100件产品，

设次品数为X，则，

即.

故答案为：4.85.

22、答案：

解析：已知8个开放洞窟中有3个最值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况.所求概率为.故答案为：.

23、答案：(1)1

(2)-160

解析：(1)已知的展开式中二项式系数之和为64，，则，

在的展开式中，令，得各项系数和为1.

(2)展开式的通项，当时，，

则，所以含有项的系数为-160.

24、

（1）答案：

解析：解：设事件A为“抽取的3天中至少有一天空气质量为良”，事件A的对立事件为“抽取的3天空气质量都不为良”，

从7天中随机抽取3天共有种不同的选法，抽取的3天空气质量都不为良共有种不同的选法，

则，

所以，事件A发生的概率为.

（2）答案：分布列见解析，数学期望为

解析：解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.

，

所以，随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望.

25、答案：(1)

(2)分布列见解析，数学期望为

解析：(1)设事件M为同学甲晩上选择A类套餐，事件为同学甲中午选择A类套餐，事件为同学甲中午选择B类套餐，

则，

，

所以，

即同学甲晩上选择A类套餐，中午也选择A类套餐的概率为，

(2)晩上选择A类套餐的概率；

晩上选择B类套餐的概率.

所以4名同学在晩上有X个人选择B类套餐，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

则，

所以X的分布列为

故.

26、答案：(1)分布列见解析

(2)0.2569

(3)分布列见解析，期望为3.61

解析：(1)依题意，X的所有可能取值为-1，0，1.

，

，

，

所以X的分布列为

(2)因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况：

①四轮比赛中甲、乙均得0分，其概率为.

②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分，

其概率为.

③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分，

其概率为.

故甲、乙两人最终平局的概率为.

(3)Y的所有可能取值为2，3，4.

，

，

，

所以Y的分布列为

.