初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形课时训练

这是一份初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形课时训练，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大版八年级数学下册 1.1等腰三角形强化练习一、单选题（共 10 小题）1、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（　　）A．40° B．70° C．40°或140° D．70°或20°2、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，DE与CM相交于点F且∠DME＝90°．则下列5个结论：（1）图中共有两对全等三角形；（2）△DEM是等腰三角形；（3）∠CDM＝∠CFE；（4）AD+BE＝AC；（5）四边形CDME的面积发生改变．其中正确的结论有个（　　）A．2 B．3 C．4 D．53、如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(         )A．82° B．84° C．88° D．92°4、中，厘米，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当与全等时，v的值为（　　）A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或55、如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（    ）A． B． C． D．26、如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（    ）A．7 B．8 C．9 D．107、如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（    ）A． B． C． D．8、一个三角形具备下列条件仍不是等边三角形的是（     ）A．一个角的平分线是对边的中线或高线 B．两边相等，有一个内角是60°C．两角相等，且两角的和是第三个角的2倍 D．三个内角都相等9、如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（  ）A． B． C． D．10、如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）A．15° B．22.5° C．30° D．45°二、填空题（共 8 小题）1、如图，O为△ABC的外心，△OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为_________．2、顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形ABCDE的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．3、在中，，，以BC为一边画等腰，使得它的第三个顶点P在的斜边AB上，则的度数为________．4、如图，在△ABC中，AB=AC， ∠ABC=30°，D、E 分别为BC、AB边上的动点，且∠ADE=45°，若△ADE为等腰三角形，则∠DAC的大小为______． 5、如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．6、如图，边长为1的正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交于M，交于N，连结，则的周长为__________．7、在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，且AB=2BC，∠B=_________．8、如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为________．三、解答题（共 6 小题）1、如图，在等边中，点E在上，点D在的延长线上．(1)如图1，，求证：；(2)如图2，若E为上异于A、C的任一点，，（1）中结论是否仍然成立？为什么？       2、学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”之后，小波同学有如下思考：他认为把该定理的条件和结论互换，所得的命题应该也是真命题，于是他做了如下探究．(1)如图①，在中，AD平分，，求证：．请你帮助他证明．(2)接下来，他又想到一个问题：“如图②，若在中，AD平分，，则”．请你判断（2）是否一定成立，若一定成立请你证明，若不一定成立，请说明理由．       3、一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角．(1)若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为    ；若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为    ；（用的代数式表示）(2)如图1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取．求证：∠ABC是∠EDB的倍余角；(3)如图2，在（2）的情况下，作交AC于点F，将△BFC沿BF折叠得到，交AC于点P，若，设，求∠CPB的度数．       4、如图，已知，在直角坐标系中，直线y＝−x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，点P从A点开始以1个单位/秒的速度沿x轴向左移动，点Q从O点开始以2个单位/秒的速度沿y轴向上移动，如果P、Q两点同时出发．(1)求点A、C的坐标；(2)若点B在y轴上，且与点A、C构成以AC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的B点坐标．(3)经过几秒钟，能使△POQ的面积为8个平方单位．       5、已知：如图，点C为线段上一点，，都是等边三角形，交于点E，交于点F．(1)求证：：(2)求证：为等边三角形．       6、如图，与都是等腰三角形，，连接AD，CE．求证：．        -参考答案-一、单选题1、D【详解】分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠ABD＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣140°）＝20°；综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°，故选：D．2、B【详解】如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点，AB=BC∴AM=CM=BM，∠A=∠B=∠ACM=∠BCM=45°，∠AMC=∠BMC=90°∵∠DME=90°∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=90°∴∠1=∠3，∠2=∠4在△AMC和△BMC中 ∴△AMC≌△BMC在△AMD和△CME中 ∴△AMD≌△CME在△CDM和△BEM ∴△CMD≌△CME   共有3对全等三角形，故（1）错误∵△AMD≌△BME∴DM=ME∴△DEM是等腰三角形，（2）正确∵∠DME=90°.∴∠EDM=∠DEM=45°，∴∠CDM=∠1+∠A=∠1+45°，  ∴∠CFE=∠3+∠DEM=∠3+45°，∴∠CDM=∠CFE故（3）正确∵CE=AD，BE=CD∴AD+BE＝AC；故（4）正确（5）∵△ADM≌△CEM∴ ∴ 不变，故（5）错误故正确的有3个故选B3、D【详解】如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，∴，，，根据轴对称的性质可得，，∴的周长的最小值为长度，由轴对称的性质可得，∴等腰中，，∴，，，故选：D．4、C【详解】中，厘米，点为的中点，厘米，，若，则需厘米，（厘米），点的运动速度为3厘米秒，点的运动时间为：，（厘米秒）；若，则需厘米，，，解得：；的值为：2.25或3；故选C．5、C【详解】过作交于，，是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，，故选：C．6、C【详解】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，∵BD是AC边上的高，∴AD=CD=AC=3，∠DBC=∠ABC=30°，∵CE=CD，∴CE=AC=3，∴BE=BC+CE=6+3=9．故选：C．7、C【详解】延长AP交BC于点D，如图所示，∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，∴∠ABP=∠DBP，∠APB=∠DPB=90°，∴∠PAB=∠PDB，∴BA=BD，∵BP⊥AD，∴AP=DP，∴S△APB=S△DBP，S△APC=S△DPC，∴S△PBC＝S△ABC，∵△ABC的面积为8cm2，∴△PBC的面积为4cm2，故选：C．8、A【详解】选项A，一个角的平分线是对边的中线或高线，能判定该三角形是等腰三角形，不能判断该三角形是等边三角形；    选项B，两边相等，有一个内角是60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即可判定该三角形是等边三角形；选项C，两角相等，且两角的和是第三个角的2倍 ，根据三角形的内角和定理可求得该三角形的三个内角的度数都为60°，即可判定该三角形是等边三角形；选项D，三个内角都相等，根据三角形的内角和定理可求得该三角形的三个内角的度数都为60°，即可判定该三角形是等边三角形.故选A.9、C【详解】作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴M在AB上，∴MF=EF，∴EF+CF=MF+CF=CM，即此时EF+CF最小，且为CM，∵AE=2，∴AM=2，即点M为AB中点，∴∠ECF=30°，故选C．10、C【详解】如图：过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，AF＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ECF＝30°．故选：C．二、填空题1、故答案为：【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识的综合运用，证明EF＝CD是解题的关键．6．85°##85度【详解】∵O为△ABC的外心，∠BAC=70°，AB=AC，∴∠OAC=35°，AO=CO，∴∠OAC=∠OCA=35°，∴∠AOC=110°，∵△OCP为正三角形，∴∠COP =60°，∴∠AOP=∠AOC -∠COP =50°，∴∠ADP=∠OAD+∠AOD=85°．故选：85°．2、6【详解】设BE与AC、AD交于M、N．ABCDE是正五边形，内角和为，每一个内角为，，，，，，，．是黄金三角形．同理可求：，，也是黄金三角形．则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．3、或或【详解】如图，当时，，，当时，，当时，．故答案为：或或．4、30°或75°或52.5°【详解】当AD=AE时，∴∠AED=∠ADE=45°，∴∠DAE=180°-45°×2=90°，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠BAC=180°-30°×2=120°，∴∠DAC=∠BAC-∠DAE=120°-90°=30°；当EA=ED时，∴∠DAE=∠ADE=45°，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠BAC=180°-30°×2=120°，∴∠DAC=∠BAC-∠DAE=120°-45°=75°；当DA=DE时，∵∠ADE=45°，∴∠DAE=（180°-45°）÷2=67.5°，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠BAC=180°-30°×2=120°，∴∠DAC=∠BAC-∠DAE=120°-67.5°=52.5°．综上所述，∠DAC的大小为30°或75°或52.5°．故答案为：30°或75°或52.5°．5、4【详解】如图，连接D，∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，∴∠CB=60°，∴∠CB=∠B，∵BD=BD，∴△CBD≌△BD，∴CD=D，∴AD+CD=D+CD，∴当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4，故答案为：4．．6、2【详解】延长AC，使CP＝BM，连接DP．∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°，又∵△ABC等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，同理可得∠NCD＝90°，∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，又∵CP＝BM，∴△BDM≌△CDP，∴MD＝PD，∠MDB＝∠PDC，∵∠MDN＝60°，∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，即∠MDN＝∠PDN＝60°，∴△NMD≌△NPD（SAS），∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝1+1＝2，故答案为：2．7、60°【详解】根据三角形的内角和定理得，∠A+∠B+∠C=180°，∵∠A+∠B=∠C，∴∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，在Rt△ACB中，∵AB=2BC，∴∠A=30°，∴∠B=90°-30°=60°．故答案为：60°．8、【详解】如图，连接∵点B关于直线CD的对称点为，∴，．∵，∴．∴，．∵，∴．∵，∴．∴．∵．∴．∴．故答案为：．三、解答题1、(1)证明见解析(2)成立，理由见解析[思路]（1）根据等边三角形的三线合一性质由得到BE平分，则可求出，再由得到，利用外角的性质求出，最后利用等角对等边即可证明；（2）过点E作EF//BD交AB于点F，如图（见详解），根据平行得到同位角相等继而得到是等边三角形，利用边角边证明，最后根据全等三角形的性质即可证明．（1）证明：∵是等边三角形，，∴BE平分，．∵，∴，，∴，∴；（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵是等边三角形，过点E作EF//BD交AB于点F，如图所示，则，，∴是等边三角形．∵，∴，∴，即．∵是的外角，是的外角，∴，在和中，，∴．∴．2、(1)见解析(2)成立，证明见解析【详解】（1）证明：∵平分，∴∵∴∴，∴，∴．（2）证明：如图，延长到，使，连接，，，， ，，，平分，，，．3、(1)；(2)证明见解析(3)【详解】（1）解：∵∠1＝30°，∠2是∠1的倍余角，∴∠2＝2（90°−30°）＝120°；∵∠1＝α，∠2是∠1的倍余角，∴∠2＝2（90°−α）＝180°−2α．故答案为：120°；180°−2α．（2）设，∵CD＝CB，AE＝AD∴，∴，，∴即∠ABC是∠EDB的倍余角．（3）由（2）得，∵，∴，∵，∴，∴，∴，．4、(1)点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8）(2)B点坐标为（0，−8）或（0，16）或（0，−2）(3)2秒或4秒或（3+）秒【详解】（1）解：当x＝0时，y＝8，∴点C的坐标为（0，8），当y＝0时，x＝6，∴点A的坐标为（6，0），∴线段OA＝6，线段OC＝8；（2）解：①当AC＝AB时，此时x轴为线段BC的垂直平分线，∴OB＝OC＝8，∴点B的坐标为（0，−8）；②当AC＝CB且点B在点C上方时，由勾股定理可知，AC＝，∴BC＝10，∴点B的坐标为（0，16）；③当BC＝AC且点B在点C下方时，∴BC＝AC＝10，∵OC＝8，∴OB＝2∴点B的坐标为（0，−2）；综上，B点坐标为（0，−8）或（0，16）或（0，−2）；（3）解：设经过t秒后，△POQ的面积为8个平方单位，当t＜6时，OP＝6−t，OQ＝2t，S△POQ＝×OP×OQ＝×（6−t）×2t＝8，解得t＝2或4，∴当t为2秒或4秒时，△POQ的面积为8个平方单位，当t＞6时，OP＝t−6，OQ＝2t，S△POQ＝×OP×OQ＝×（t−6）×2t＝8，解得t＝3+或3−（舍去），∴当t为（3+）秒时，，△POQ的面积为8个平方单位．综上，当t为2秒或4秒或（3+）秒时，，△POQ的面积为8个平方单位，5、(1)见解析(2)见解析【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，∴．∴，即：，在和中，∴．∴；（2）证明：∵，∴，∴，∵，∴．在和中 ∴．∴．又∵，∴是等边三角形．6、证明过程见解析【详解】∵AB=BC，BD=BE，∴∠BAC=∠BCA，∠BDE=∠BED，由三角形内角和定理可知：∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC，∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE，由已知条件知∠BAC=∠BDE，∴∠ABC=∠DBE，且∠ABD=∠ABC+∠CBD，∠CBE=∠DBE+∠CBD，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD和△CBE中：，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴∠BAD=∠BCE．