安徽省“江南十校”2023届高三下学期数学一模试卷【含答案】

 一模试卷

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B．

C． D．

2．已知为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知平面向量的夹角为，且，则（　　）

A． B． C． D．

4．安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（　　）

A． B． C． D．

5．为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（　　）种．

A．40 B．24 C．20 D．12

6．已知函数，则下列说法正确的是（　　）

A．点是曲线的对称中心

B．点是曲线的对称中心

C．直线是曲线的对称轴

D．直线是曲线的对称轴

7．在三棱锥中，底面，则三棱锥外接球的表面积为（　　）

A． B． C． D．

8．已知，则的大小关系为（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知函数，则（　　）

A．是奇函数

B．的单调递增区间为和

C．的最大值为

D．的极值点为

10．在平行六面体中，已知，，则（　　）

A．直线与所成的角为

B．线段的长度为

C．直线与所成的角为

D．直线与平面所成角的正弦值为

11．已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物线上，连接并延长，与交于点，则（　　）

A．的准线方程为

B．点为线段的中点

C．直线与相切

D．在点处的切线与直线平行

12．已知函数和及其导函数和的定义域均为，若，，且为偶函数，则（　　）

A．

B．函数的图象关于直线对称

C．函数的图象关于直线对称

D．

三、填空题

13．的展开式中，常数项为　     　（用数字作答）.

14．已知圆，直线（是参数），则直线被圆截得的弦长的最小值为　     　.

15．已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是　     　.

16．若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是　          　.

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为.已知点的纵坐标为，点的横坐标为.

（1）求的值；

（2）记的内角的对边分别为.

请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.

①若，且，求周长的最大值.

②若，且，求的面积.

18．已知在递增数列中，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，证明：.

19．渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3.某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：（如图）

根据海浪高度将海浪划分为如下等级：

海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.

（1）某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；

（2）气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为.现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.

20．如图，四棱锥中，为等腰三角形，，.

（1）证明：；

（2）若，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.

21．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.

（1）求双曲线的方程；

（2）设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.

（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；

（ii）求的取值范围.

22．已知函数.

（1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；

（2）当时，证明：.

1．C

2．D

3．C

4．A

5．B

6．C

7．B

8．D

9．A,B

10．A,C

11．B,C,D

12．A,B,C

13．60

14．

15．

16．

17．（1）解：因为是锐角，所以在第一象限，

又因为在单位圆上，点的纵坐标为，点的横坐标为，

所以，

所以，

故.

（2）解：选①：

由（1）中结论可得，又，

由余弦定理可得，即.

，

，当时，等号成立，

，

即当为等边三角形时，周长最大，最大值为6.

选②：

由（1）可知，

则，

由正弦定理，可得，故，

则.

18．（1）解：函数的零点为3，8，而数列递增，则，，

因此数列是以5为首项，2为公差的等差数列，则，

当时，

，而也满足上式，

所以数列的通项公式是.

（2）证明：由（1）得，

因此

，而，

所以.

19．（1）解：记这天浪级是“微浪”为事件，浪级是“小浪”为事件，浪级是“中浪”为事件，浪级是“大浪”为事件.该渔船当天出海作业为事件，则由题意可知：，

.

.

（2）解：依题意可知，的所有可能取值为，

，

，

，

则的分布列为

数学期望.

20．（1）证明：取的中点，连接，如图，因为，则，

又，即有，而，于是四边形为平行四边形，

又，则，又平面，

所以平面，又，因此平面，而平面，

所以.

（2）解：因为，且平面，则平面，

又，则平面，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

又，则，又，则，

所以，则，

，，

设平面的法向量为，则，令，得，

又平面的一个法向量为，则，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

21．（1）解：由题意可设双曲线，

则，解得，

所以双曲线的方程为.

（2）解：（i）设，直线的方程为，

由，消元得.

则，且，

；

或由韦达定理可得，即，

，

即与的比值为定值.

（ii）设直线，代入双曲线方程并整理得，

由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.

由韦达定理得：，解得.

因为点A在双曲线的右支上，所以，

解得，即，

同理可得，

由（i）中结论可知，

得，所以，

故，

设，其图象对称轴为，

则在上单调递减，故，

故的取值范围为.

另解：由于双曲线的渐近线方程为，

如图，过点作两渐近线的平行线与，由于点A在双曲线的右支上，

所以直线介于直线与之间（含轴，不含直线与），

所以.

同理，过点作两渐近线的平行线与，由于点在双曲线的右支上，

所以直线介于直线与之间（不含轴，不含直线与），

所以.

由（i）中结论可知，

得，所以，

故.

22．（1）解：由题意得的定义域为

.

若在定义域上单调递增，则恒成立，得，即在上恒成立，又，当且仅当时等号成立，；

若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的不存在.

综上所述：在定义域上单调递增，且.

（2）证明：方法一：要证成立，

只需证，只需证，

只需证，只需证，

当时，原不等式即证，

由（1）知在上单调递增，

，

又，则，

原不等式成立.

方法二：要证成立，

只需证，只需证，

只需证，

令，

则.

在上单调递增，，

原不等式成立.