安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模试题+数学+Word版含解析

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2023届安徽省“江南十校”联考

数  学

姓名__________    座位号__________

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号和座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.设为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

3.已知平面向量的夹角为，且，则（    ）

A.    B.    C.    D.

4.安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲､乙两人不相邻且丙､丁两人必须相邻，则不同的排法共有（    ）种.

A.40    B.24    C.20    D.12

6.已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A.点是曲线的对称中心

B.点是曲线的对称中心

C.直线是曲线的对称轴

D.直线是曲线的对称轴

7.在三棱锥中，底面，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数，则（    ）

A.是奇函数

B.的单调递增区间为和

C.的最大值为

D.的极值点为

10.在平行六面体中，已知，，则（    ）

A.直线与所成的角为

B.线段的长度为

C.直线与所成的角为

D.直线与平面所成角的正弦值为

11.已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物线上，连接并延长，与交于点，则（    ）

A.的准线方程为    B.点为线段的中点

C.直线与相切    D.在点处的切线与直线平行

12.已知函数和及其导函数和的定义域均为，若，，且为偶函数，则（    ）

A.    B.函数的图象关于直线对称

C.函数的图象关于直线对称    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中，常数项为__________（用数字作答）.

14.已知圆，直线（是参数），则直线被圆截得的弦长的最小值为__________.

15.已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是__________.

16.若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步㵵.

17.（10分）

在平面直角坐标系中，锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为.已知点的纵坐标为，点的横坐标为.

（1）求的值；

（2）记的内角的对边分别为.

请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.

①若，且，求周长的最大值.

②若，且，求的面积.

18.（12分）

已知在递增数列中，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，证明：.

19.（12分）渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3.某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：（如图）

根据海浪高度将海浪划分为如下等级：

海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.

（1）某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；

（2）气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为.现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.

20.（12分）

如图，四棱锥中，为等腰三角形，，.

（1）证明：；

（2）若，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.

21.（12分）

我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.

（1）求双曲线的方程；

（2）设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.

（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；

（ii）求的取值范围.

22.（12分）

已知函数.

（1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；

（2）当时，证明：.

2023届安徽省“江南十校”联考

数学试题评分参考

一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.C

【命题立意】本题考查不等式的解法､集合的交集､补集运算，体现了数学运算的核心素养.

【试题难度】易

【试题解析】

，故选C

2.D

【命题立意】本题考查复数的运算，体现了数学运算的核心素养.

【试题难度】易

【试题解析】

，故选D

3.C

【命题立意】本题考查向量的运算，体现了数学运算的核心素养.

【试题难度】易

【试题解析】

，故选C

4.A

【命题立意】本题以数学文化中的中国古代建筑为背景考查

异面直线所成角的求解问题，体现了直观想象的核心素养.

【试题难度】中

【试题解析】

如图所示，过三点的平面与平面的交线

，而与所成的角为，故选

5.B

【命题立意】本题考查利用排列组合知识解决相邻问题和插空问题，体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.

【试题难度】中

【试题解析】

由题意得，不同的排法共有种，故选

6.C

【命题立意】本题考查三角变换的相关公式和三角函数的性质，体现了数学运算的核心素养.

【试题难度】中

【试题解析】

由题意得，

由得，则的对称中心为，所以A，B错误.

由得，则的对称轴方程为正确，D错误，故选C

7.B

【命题立意】本题考查三棱锥外接球的综合问题，体现了直观想象､逻辑推理､数学运算的核心素养.

【试题难度】中

【试题解析】

如图所示，由得的外接圆半径为2，

又底面，取的中点，由得，即三

棱锥外接球半径为，所以，故选B

8.D

【命题立意】本题考查利用函数的单调性比较大小问题，体现了数学抽象､数学运算等核心素养.

【试题难度】难

【试题解析】

构造函数，令，，则，所以在单增，所以，所以，所以.同理，所以选D.

二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.AB

【命题立意】本题考查三次函数的性质，体现了数学运算的核心素养.

【试题难度】易

【试题解析】

A正确：因为对，所以是上的奇函数；

正确：由得或；

错误：因为时，，所以无最大值；

错误：由得，经检验是函数的极大值点，是函数的极小值点.

10.AC

【命题立意】本题考查空间角､空间距离的计算，体现了数学运算､直观想象､逻辑推理等核心素养.

【试题难度】中

【试题解析】

设，则，且

A正确：，

错误：因为，所以；

正确：因为，所以；

错误：因为平面，所以平面平面，则与平面所成的角为.在Rt中，，所以.

11.BCD

【命题立意】本题考查抛物线及其切线性质，体现了数学运算､数学抽象､逻辑推理等核心素养.

【试题难度】中

【试题解析】

A错误：将中点代入得，所以抛物线的准线方程为

B正确：将直线的方程代入得，所以为中点；

C正确：抛物线在点处的切线方程为：，令得，所以直线为的切线；

正确：抛物线在处的切线方程为：，其斜率与直线的斜率相等，所以在点处的切线与直线平行.

12.ABC

【命题立意】本题考查抽象函数的对称性､周期性以及导函数的相关性质，体现了数学抽象､数学运算等核心素养.

【试题难度】难

【试题解析】

A正确：由为偶函数得，则关于直线对称，即，两边同时求导得，令得；

正确：由关于直线对称得，由得，所以，即关于直线对称；

C正确：对两边同时求导得，由得，则，所以关于直线对称；

D错误：由得，所以函数的图像关于对称，结

合选项可知，4是函数的一个周期，由得，4也是函数的一个周期，由得，所以.

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.60

【命题立意】本题考查二项式定理，体现了数学运算的核心素养.

【试题难度】易

【试题解析】

，

展开式的通项为：

，当即时，，

所以的展开式中，常数项为60.

14.

【命题立意】本题考查直线和圆的相关性质，体现了数学运算､直观想象核心素养.

【试题难度】中

【试题解析】

易知过定点，当时，弦长取得最小值.此时

15.

【命题立意】本题考查直线和椭圆的位置关系，体现了数学运算､逻辑推理等核心素养.

【试题难度】中

【试题解析】

设，其中，记坐标原点为，直线的斜率分别为，又，两式相减整理可得，即.又，所以两式相比可得，即，代入，整理可得，所以离心率.

16.

【命题立意】本题考查导数的几何意义，曲线的切线方程，体现了数形结合思想和数学运算的核心素养.

【试题难度】难

【试题解析】

设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为

，将代入得.存在三条切线，即方程有三个不等实数根.设，又，

易得在上，单调递增；在

和上，单调递减，当或

时，，画出图象可得，

即

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.【命题立意】本题考查三角函数和解三角形相关知识.三角函数的定义为载体，考查学生和差角公式的应用，同时结合正余弦定理考查解三角形能力.本题以基础知识和基本技能立意，重点考查学生对基本概念和基本公式的掌握，同时考查了学生的计算能力.体现了数学运算､逻辑推理等核心素养.

【试题难度】易

【试题解析】

（1）由题意在单位圆上，且在第一象限可得，

由三角函数定义知.

故.

（2）（选①）

方法1：由（1）中结论可得，又.

由余弦定理可得，即.

，

，当时等号成立.

.

即当为等边三角形时，周长最大，最大值为6.

方法2：由（1）中结论可得角且.

又由正弦定理，可得.

故周长

即时，

周长取最大值6.

（选②）

由（1）可知

则.

由正弦定理，可得.

则.

18.【命题立意】本题考查了函数的零点､等差数列的定义､数列的通项.体现了数学运算､逻辑推理等核心素养.

【试题难度】易

【试题解析】

解：（1）由递增及得，则，

即是以5为首项，2为公差的等差数列.所以.

相加得

经检验也满足上式，所以.

（2）由（1）得：

.

由于，所以.

19.【命题立意】通过实际生活情境，考查频率分布直方图相关计算､全概率､分布列､期望，体现了数据分析､数学运算等核心素养.

【试题难度】中

【试题解析】

（1）解：记这天浪级是“微浪”为事件，浪级是“小浪”为事件，浪级是“中浪”为事件，浪级是“大浪”为事件.该渔船当天出海作业为事件，则由题意可知：

.

（2）依题意可知，的所有可能取值为，

，

，

，.

则的分布列为

数学期望.

20.【命题立意】本题考查线面垂直､面面垂直的判定与性质､平面与平面夹角余弦值的求解，体现了直观想象､逻辑推理､数学运算等核心素养.

【试题难度】中

【试题解析】

（1）取的中点，连接，

，

，

四边形为平行四边形，

又，

又平面，

又平面

又平面.

（2），且平面，

又，则平面，

分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

又，则，

又，则，则，

则有，

，

设平面的法向量为，则，即，

令，则平面的一个法向量为，

又平面的一个法向量为，则，

平面与平面夹角的余弦值为.

21.【命题立意】（1）本题是一道新定义问题，考查学生探究能力和创新能力；（2）本题考查了椭圆和双曲线的标准方程与离心率､双曲线的简单性质､直线与双曲线的位置关系､渐近线与双曲线的位置关系等.体现了数学运算､逻辑推理､直观形象等核心素养.

【试题难度】难

【试题解析】（1）由题意可设双曲线.

则，

解得.

所以双曲线的方程为.

（2）（i）设，直线的方程为，

由消元得.

则，且

或由韦达定理可得，即.

即与的比值定值.

（ii）方法1：设直线，代入双曲线方程并整理得.

由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为-2.

由韦达定理得：，解得.

因为点在双曲线的右支上，所以，

解得，即.

同理可得.

由（i）中结论可知，得.

所以.

故.

方法2：由于双曲线的渐近线方程为，如图

2，过点作两渐近线的平行线与，由于点在双曲线

的右支上，所以直线介于直线与之间（含轴，不含直线与），

所以.

同理，如图3，过点作两渐近线的平行线与，由于点在

双曲线的右支上，所以直线介于直线与之间（不含轴，不含直线与），

所以.

由（i）中结论可知，得，所以.

故.

22.【命题立意】本题考查导函数的应用和不等式的证明，突出了创新能力和函数同构思想.体现了逻辑推理､数学抽象､数学运算等核心素养.

【试题难度】难

【试题解析】

（1）由题意得的定义域为

.

若在定义域上单调递增，则恒成立，即在上恒成立，又

若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的不存在.

综上所述：在定义域上单调递增，且.

（2）方法一：要证成立，

只需证，只需证，

只需证，只需证，

当时，原不等式即证，

由（1）知在上单调递增，

，

又，则，

原不等式成立.

方法二：要证成立，

只需证，只需证，

只需证，

令，

则

.

在上单调递增，，

原不等式成立.