2023年安徽省江南十校高考数学联考试卷（含答案解析）

2023年安徽省江南十校高考数学联考试卷

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.  设i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  已知平面向量的夹角为，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体已知该正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线所成角为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种.(    )

A. 40 B. 24 C. 20 D. 12

6.  已知函数，则下列说法正确的是(    )

A. 点是曲线的对称中心
B. 点是曲线的对称中心
C. 直线是曲线的对称轴
D. 直线是曲线的对称轴

7.  在三棱锥中，底面ABC，，，则三棱锥外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，则a，b，c的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数，则(    )

A. 是奇函数
B. 的单调递增区间为和
C. 的最大值为
D. 的极值点为

10.  在平行六面体中，已知，，则(    )

A. 直线与BD所成的角为
B. 线段的长度为
C. 直线与所成的角为
D. 直线与平面ABCD所成角的正弦值为
 

11.  已知O为坐标原点，点，，线段AB的中点M在抛物线C：上，连接OB并延长，与C交于点N，则(    )

A. C的准线方程为 B. 点B为线段ON的中点
C. 直线AN与C相切 D. C在点M处的切线与直线ON平行

12.  已知函数和及其导函数和的定义域均为R，若，，且为偶函数，则(    )

A.  B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于直线对称 D.

13.  的展开式中，常数项为______ 用数字作答

14.  已知圆C：，直线l：是参数，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为______ .

15.  已知直线l与椭圆交于M，N两点，线段MN中点P在直线上，且线段MN的垂直平分线交x轴于点，则椭圆E的离心率是______ .

16.  若过点有3条直线与函数的图象相切，则m的取值范围是______ .

17.  在平面直角坐标系Oxy中，锐角、的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O的交点分别为P，已知点P的纵坐标为，点Q的横坐标为
求的值；
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，
请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.
①若，且，求周长的最大值.
②若，，且，求的面积.

18.  已知在递增数列中，，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.
求数列的通项公式；
设数列的前n项和为，证明：

19.  渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：如图

根据海浪高度将海浪划分为如下等级：

海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.
某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为，“小浪”情况下出海作业的概率为，“中浪”情况下出海作业的概率为，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；
气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.

20.  如图，四棱锥中，为等腰三角形，，，，
证明：；
若，点M在线段PB上，，求平面DMC与平面PAD夹角的余弦值.

21.  我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点.
求双曲线的方程；
设过点的动直线l交双曲线右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，
试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
求的取值范围.

22.  已知函数
若在定义域上具有唯一单调性，求k的取值范围；
当时，证明：

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，，，则，
，，，，

故选：
分别将两个集合中的元素表示出来，再求补集，交集．
本题考查集合的运算，考查二次不等式的解法，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：因为，
所以复数对应的点为在第四象限，
故选：
利用复数的运算性质化简复数z，求出对应的点的坐标，由此即可求解．
本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的实际意义，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：已知平面向量的夹角为，且，
则，
则，
故选：
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：如图所示，在平面中，连接与DA交于H，则，

在平面中，连接与DC交于G，则，
则GH为平面与平面ABCD的交线l，且，
而在等边中AC与所成的角为，
故l与直线所成角为
故选：
作出平面与平面ABCD的交线l，再求l与直线所成角．
本题考查异面直线所成的角的求法，属基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
则不同的排法共有种，
故选：
根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
本题考查了排列组合的应用，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：
，
当，则，此时，则函数关于对称，故A错误，
当，则，此时，则函数关于对称，故B错误，
当，则，此时，则函数关于对称，故C正确，
当，则，此时，则函数关于点对称，故D错误，
故选：
利用辅助角公式进行化简，然后分别利用对称性进行判断即可．
本题主要考查三角函数对称性的判断，根据辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：在三棱锥中，底面ABC，
如图所示：

在中，，，
利用余弦定理：，解得：，
设的外接圆的半径为R，利用正弦定理，解得，
过点E作的垂线和AP的垂直平分线交于点O，
即点O为三棱锥外接球的球心，设球的半径为r，
故；
所以
故选：
首先利用正弦定理和余弦定理求出三棱锥的外接球的半径，进一步利用球的表面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，求和三棱锥的关系，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：，，，
，
设，
，
所以在上单调递减，
因为，
所以，
所以，
，
令，，
，
所以在上单调递增，
又，
所以，
所以，
所以，
故选：
，，，则，设，，求导分析单调性，即可得出b与a的大小关系；，
令，，求导分析单调性，即可得出b与c的大小关系，即可得出答案．
本题考查函数的单调性，数的大小，属于基础题．
 

9.【答案】AB 

【解析】解：对于A，因为对，，所以是R上的奇函数，故A正确；
对于B，由得或，所以的单调递增区间为和，故B正确；
对于C，因为时，，所以无最大值，故C错误；
对于D，由得，经检验是函数的极大值点，是函数的极小值点，极值点是实数，故D错误，
故选：
根据奇偶性的定义可判断A；对函数求导，令可得函数的增区间，即可判断B；根据时，，所以无最大值，即可判断C；由得，检验可得为函数的极值点，即可判断
本题主要考查了三次函数的性质，属于基础题．
 

10.【答案】AC 

【解析】解：在平行六面体中，取，，，
，，
，，
对于A：，，
，则，
故直线与BD所成的角为，故A正确；
对于B：，则，即，故B错误；
对于C：，故，即，
故直线与所成的角为，故C正确；
对于D：在平行六面体中，四边形ABCD是菱形，则，
又，，平面，平面，
平面，
又平面ABCD，则平面平面ABCD，
连接AC交BD于点O，过点作于点E，如图所示：

平面平面，平面，
平面ABCD，
直线与平面ABCD所成角为，
，则，即，
在中，，故D错误，
故选：
在平行六面体中，取，，，利用空间向量的线性运算，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查直线与平面的夹角、异面直线的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】BCD 

【解析】解：对A，根据中点公式得，将其代入C：得，则，
所以抛物线C：的准线方程为，故A错误；
对B，因为，则直线OB的斜率为a，则直线OB的方程为，
将其代入C：得，解得或舍去，此时，
则，所以B为ON中点，故B正确；
对C，C：，即，则，
故抛物线C在点N处的切线的斜率为，
故切线方程为，
令得，所以直线AN为C的切线，故C正确；
对D，抛物线C：在处的切线方程的斜率为，
而直线ON的斜率为a，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，
所以C在点M处的切线与直线ON平行．
故选：
将代入抛物线得，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线OB的方程与抛物线方程即可得到，即可判断B，利用导数求出抛物线C在点N处的切线方程，令，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在处的切线斜率，则可判断
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
 

12.【答案】ABC 

【解析】解：对于A，由为偶函数得，即有，
则的图象关于直线对称，
对两边同时求导得：，
令，得，故A正确；
对于B，由关于直线对称得，
由，得，
所以，即的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，对两边同时求导得，
由，得，
则，即，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，由，得，
结合C选项可知，，
即，
所以，
所以4是函数的一个周期，
由，得4也是函数的一个周期，
由，得，
所以，故D错误．
故选：
根据为偶函数，可得，两边求导即可判断A；
由关于直线对称得，结合，即可判断B；
根据，两边同时求导得，从而可判断C；
先求出函数和的周期，再结合函数的对称性即可判断
本题考查了复合函数的奇偶性、周期性、对数性及复合函数的求导、导数的对称性及奇偶性，属于中档题．
 

13.【答案】60 

【解析】解：的展开式的通项公式为，，1，，
当，即时，；当时，无解；
展开式中的常数项为，
故答案为：
当前边括号取3时，后边括号取常数项；当前边括号取x时，后边括号取项，无解；由此计算出常数项即可．
本题考查二项式展开式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为
由直线l：，得，
联立，解得
直线l过定点，又，
点在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．
此时
直线l被圆C截得的弦长的最小值为
故答案为：
由圆的方程求出圆心坐标与半径，由直线方程可得直线过定点，求得，再由垂径定理求得直线l被圆C截得的弦长的最小值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查了垂径定理的应用，属中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意设MN中点，又，
直线的斜率为，又，
直线MN的斜率为，
设，，
则，两式相减可得：
，
，
，
椭圆E的离心率，
故答案为：
根据直线垂直的条件，点差法，方程思想，化归转化思想，即可求解．
本题考查椭圆的离心率的求解，点差法的应用，方程思想，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设切点为，则，
过点P的切线方程为，
代入点P坐标化简为，即这个方程有三个不等根即可，
令，求导得到，
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，当时，，
要使方程有三个不等实数根，则，
的取值范围是：
故答案为：
求出函数的导函数，可得函数的最值，即可求得实数m的取值范围．
本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键，是中档题．
 

17.【答案】解：因为，是锐角，所以P，Q在第一象限，
又因为P，Q在单位圆上，点P的纵坐标为，点Q的横坐标为，
所以，
所以
故
选①：由中结论可得，又，，
由余弦定理可得，即，
，，
，当时，等号成立，
，
即当为等边三角形时，周长最大，最大值为
选②：由可知，
则，
由正弦定理，可得，
故，
则 

【解析】先利用三角函数的定义与同角的平方关系求得，，，，再利用余弦的和差公式即可得解；
选①：先结合中条件得到，再利用余弦定理与基本不等式推得，从而得解；
选②：先结合中条件求得，再利用正弦定理求得a，b，从而利用三角形面积公式即可得解．
本题考查了正余弦定理、三角函数的定义以及基本不等式的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：在递增数列中，，为函数的两个零点，
可得，，公差，
则数列是首项为5，公差为2的等差数列，则，
则；
证明：，
则，
因为，所以 

【解析】令，解方程可得，，再由等差数列的通项公式和数列的恒等式，等差数列的求和公式，计算可得所求通项公式；
求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质可得证明．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：记这天浪级是“微浪”为事件，浪级是“小浪”为事件，浪级是“中浪”为事件，浪级是“大浪”为事件，
该渔船当天出海作业为事件B，
则由题意可知：，，
，
所以




依题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
则X的分布列为：

所以 

【解析】根据频率分布直方图计算频率即可估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率；根据全概率公式可求得该渔船在这天出海作业的概率；
依题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列，根据期望公式求出期望．
本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：取AD的中点O，连接OP，OC，如图，因为，则，

又，即有，而，于是四边形ABCO为平行四边形，
又，则，又，PO，平面POC，
所以平面POC，又，因此平面POC，而平面POC，
所以；
解：因为，，且，AD，平面PAD，则平面PAD，
又，则平面PAD，分别以OC，OP，OD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

又，则，，又，则，
所以，，，，，
则，，
设平面DMC的法向量为，则，令，得，
又平面PAD的一个法向量为，则，
所以平面DMC与平面PAD夹角的余弦值为 

【解析】根据给定条件，取AD的中点O，利用线面垂直的判定证明平面POC即可推理作答；
以O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答．
本题考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意可设双曲线：，
则，解得，
双曲线的方程为；
设，，直线AB的方程为，
由，消去x得，则，，
且，，
；
设直线AM：，代入双曲线方程并整理得，
由于点M为双曲线的左顶点，此方程有一根为，
，解得，
点A在双曲线的右支上，，
解得，即，
同理可得，
由，
，
 

【解析】由题意可设双曲线：，利用，可求b；
设，，直线AB的方程为，与双曲线联立方程组可得，，进而计算可得为定值．
设直线AM：，代入双曲线方程可得，进而可得，，进而由可得，进而求得的取值范围．
本题考查椭圆和双曲线的标准方程与离心率，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，渐近线与双曲线的位置关系，属中档题．
 

22.【答案】解：由题意得的定义域为，
，
若在定义域上单调递增，则恒成立，即在上恒成立，
又，；
若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，
而这样的k不存在；
综上所述：在定义域上单调递增，且，
所以k的取值范围为；
证明：要证成立，
只需证，只需证，
只需证，只需证，
当时，，原不等式即证，
由知在上单调递增，
，，
又，则，
原不等式成立． 

【解析】求导后若在定义域上单调递增，则恒成立，若在定义域上单调递减，则恒成立，利用恒成立知识即可求解；
要证成立，只需证，通过整理只需证，再根据的单调性即可得证．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．