2022-2023学年河北省邢台市高二上学期期末数学试题 解析版

邢台市2022~2023学年高二（上）教学质量检测

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

2．已知等比数列的前n项和为n，若，则（    ）

A．3 B．1 C． D．

3．在平行六面体中，，则（    ）

A． B． C． D．

4．某地全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的焦距为（    ）

A． B． C． D．

5．在长方体中，，，则（    ）

A．3 B．13 C．4 D．9

6．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为四个简单的图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律（小正方形的摆放规律相同）摆放，设第n个图形包含个小正方形，则（    ）

A．192 B．181 C．175 D．203

7．已知点，抛物线的焦点为F，射线与抛物线C相交于点M，与其准线交于点N，若，则（    ）

A．1 B．2 C． D．3

8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式．所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，数列1，3，6，10被称为二阶等差数列．已知数列，，，且，则下列结论中不正确的是（    ）

A．数列为二阶等差数列 B．

C．数列为二阶等差数列 D．数列的前n项和为

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知的圆心在直线上，且过点，，直线，则下列结论中正确的是（    ）

A．的方程为 B．圆心O到直线l的距离的最大值为

C．若直线l与相切，则或 D．若直线l被所截得的弦长为4，则

10．如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为PD的中点，则（    ）

A．直线CM与AD所成角的余弦值为 B．

C．  D．点M到直线BC的距离为

11．已知椭圆的右焦点为F，过F作x轴的垂线交椭圆C于点P（P在第一象限），直线OP（O是坐标原点）与椭圆C另交于点A，直线AF与椭圆C另交于点B，若，直线PA，PB，AB的斜率分别记为，，，椭圆C的离心率为e，则（    ）

A． B． C． D．

12．若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉命名，被称为欧拉函数，例如，，，则（    ）

A．，，成等差数列

B．数列是等比数列

C．数列的前n项和为，则存在，使成立

D．数列的前n项和为，则对任意，恒成立

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知等差数列的前n项和为，若，则______．

14．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为______．

15．在数列中，，，若，则M的一个值可能是______．

16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为______；若点Q为抛物线上的动点，抛物线C的焦点为F，则的最小值为______．（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知抛物线，直线l与抛物线C交于A，B两点，且，O是坐标原点．

（1）证明：直线AB过定点．

（2）求面积的最小值．

18．（12分）

如图，在直三棱柱中，已知，，．

（1）证明：．

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19．（12分）

已知是数列的前n项和，，，的等差中项为．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

20．（12分）

如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于点F．

（1）证明：．

（2）求二面角的余弦值．

21．（12分）

已知递增数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前n项和．

22．（12分）

已知，，动点满足直线与的斜率之积为3．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过原点O作直线l，直线l被曲线C截得的弦长为，将直线l向左、右分别平移2个单位长度得到直线，，且直线，被曲线C截得的弦长分别为，，证明：．

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数学参考答案

1．B  设双曲线C的一个焦点为，因为双曲线C的渐近线为，所以．因为，所以，，所以双曲线C的离心率为．

2．D  因为，所以．因为为等比数列，所以，所以．

3．A  因为，所以得，所以．

4．C  由图可知长轴长为，短轴长为，所以，，故焦距为．

5．D  因为，所以．

6．B  观察可知，，，，，所以可推出，故．

7．D  过M作C的准线的垂线，垂足为K（图略）．则，因为，所以，所以直线的斜率为，由，得．

8．C  因为，所以，

所以是首项为，公差为2的等差数列，

所以，所以数列为二阶等差数列，故A正确；

因为，

所以，故B正确；

因为，

所以，

所以不是二阶等差数列，故C错误；

数列的前项和，

所以，故D正确．

9．AC  因为的中点坐标为，所以直线的斜率，

所以直线的垂直平分线的方程为，即．

联立方程组解得即圆心，

半径，

所以的方程为，故A正确．

因为直线l过定点，当直线时，圆心O到直线l的距离最大，

且最大值为，故B错误．

圆心到直线l的距离，

当直线l与相切时，，解得或，故C正确．

若直线l被所截得的弦长为4，则，

解得或，故D错误．

10．ABD  过A作，垂足为E，则，以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．，，，，，．

因为，

所以直线CM与AD所成角的余弦值为，故A正确．

因为，所以B正确．

因为，所以BM与PC不垂直，故C不正确．

设点M到直线BC的距离为d，则，

即点M到直线BC的距离为，故D正确．

11．ABD  易知，，，设．

因为，所以．因为，所以．

因为A，F，B共线，所以，

所以，，，故A，B正确．

因为，且，

所以，

所以，故C错误，D正确．

12．ABD  因为，，，所以A正确．

因为2为质数，在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，

所以．

因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为，

所以，故B正确．

因为，所以是等比数列，

所以，故C错误．

因为，所以，

所以，

两式相减得，

所以，故D正确．

13．4046．

14．  因为，平面的一个法向量为，所以点P到平面的距离．

15．1（或8或13或16，只需写出一个答案即可）  当时，，所以，，，．

16．；2  设，则，即，化简得．因为等于Q到抛物线准线的距离，所以的最小值为2．

17．（1）证明：易知直线AB的斜率存在且不过原点，

设直线AB的方程为，，，

联立方程组可得，

则，．

因为，所以，

解得（舍去）或，

所以直线的方程为，过定点．

（2）解：由（1）知，

所以当时，的面积取得最小值，且最小值为1，

即面积的最小值为1．

18．解：以为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，，，．

（1）证明：因为，，

所以，

所以．

（2）设平面的法向量为，

因为，，

所以令，得．

因为，所以，

即直线的一个方向向量为．

设直线与平面所成的角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为．

19．解：（1）因为，的等差中项为，所以．

当时，，，

当时，，

所以，

所以．

因为，所以（当时不满足），

所以

（2）由（1）知所以．

因为，

所以．

20．（1）证明：连接，由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又平面，平面，所以平面．

因为平面，且平面平面，所以．

（2）解：由（1）知F为的中点，设．

以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，之轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．

设平面EFD的法向量为，

因为，，

所以令，得．

设平面的法向量为，

因为，，

所以令，得．

设二面角为，则为锐角，

，

所以二面角的余弦值为．

21．解：（1）因为，所以，

．

因为，所以，

所以．

因为，所以,

所以．

（2）因为，所以．

当时，，

当时，，

所以，所以（当时也满足）．

因为，

所以，

两式相减得

，

所以．

22．（1）解：因为，，，所以，，

所以，

所以，即动点P的轨迹C的方程为．

（2）证明：易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，

联立方程组得，

所以，，且．

因为，所以．

设，，直线的方程为，

联立方程组得，

则，，

所以．

由对称性可知，

所以，即．