2023年甘肃省兰州市中考一模数学试题（含答案）

2023年兰州市九年级诊断考试

数学

注意事项：

1．全卷共120分，考试时间120分钟．

2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．

3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．如果零上记作，那么零下记作（    ）

A．   B．   C．   D．

2．下列几何体中，主视图为矩形的是（    ）

A．  B．   C． D．

3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，在△ABC中，，BD平分∠ABC，交AC于点D．若，则∠BDC=（    ）

A．    B．    C．    D．

5．计算：（    ）

A．a    B．    C．   D．

6．一次函数的函数值y随x的增大而减小，则k的值为（    ）

A．2    B．3    C．4    D．5

7．2022年卡塔尔世界杯比赛门票按价格分为三个档次，其中小组赛第三档次门票每张1925元，淘汰赛（八分之一决赛）第三档次门票每张1313元．某球迷共购买两个阶段第三档次门票8张，总价13564元，设购买小组赛第三档次门票x张，淘汰赛第三档次门票y张，则可列方程组为（    ）

A．    B．

C．    D．

8．古希腊数学家埃拉托色尼发现，如图，夏至正午时分太阳光线直射进点A处塞尼城的一口深井，说明太阳光线过圆心O．而同一经度上另外一点B处的亚历山大城一个方尖塔却会投影下一定长度的阴影，他测得方尖塔与太阳光线的夹角为，方尖塔延长线BO经过圆心O．由太阳光线是平行光线，得到深井延长线AO和方尖塔延长线BO所夹圆心角的度数．因而得到球周长约为40000km（接近真实值40009km）．埃拉托色尼计算地球周长时用到的原理是（    ）

A．内错角相等，两直线平行    B．两直线平行，内错角相等

C．两直线平行，同位角相等    D．同位角相等，两直线平行

9．四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方并为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（    ）

A．4    B．5    C．6    D．7

10．亮亮在学校物理兴趣小组活动中设计了如下的电路图．已知电路图中有两个灯泡，，三个开关，，，随机闭合开关，，中的两个开关，能让灯泡发光的概率是（    ）

A．    B．    C．    D．

11．对于二次函数．下列说法错误的是（    ）

A．图象开口向上       B．顶点坐标为

C．当时，y随x的增大而减小  D．图象与x轴有两个交点

12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接CE交BD于点F，若，，则菱形ABCD的边长为（    ）

A．10    B．   C．   D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13．因式分解：______．

14．2022年12月29日，连接宁夏银川和甘肃兰州的银兰高铁中卫至兰州段正式开通，这也标志着全长431公里的银兰高铁正式开通运营，如图为银兰高铁中卫至兰州段示意图，若图中“中卫南（点P）”在“兰州西（点O）”的北偏东度方向，相距6cm，现以“兰州西”为坐标原点，1cm为单位长度，分别以正东、正北方向为正方向，建立平面直角坐标系，则“中卫南”在平面直角坐标系中的坐标是______．（参考数据：，，）

15．为确保产品质量，某厂质检部门定期对该厂生产的各类产品按一定比例进行随机检查．并统计产品的合格情况，下图表示的是A产品的部分质检数据：

估计该厂生产的A产品合格的概率是______．（结果精确到0.01）

16．如图，Rt△ABC中，，，以直角边AC为直径的⊙O交AB于点D，则所对圆心角的大小是______，若，则的长为______．

三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（4分）化简：．

18．（4分）计算：．

19．（4分）如图，已知点B，F，C，E在同一直线上．，．从下面①②③中选取一个作为已知条件，使得．

①；②；③．

你选择的已知条件是______（填序号），利用你选择的条件能判定吗？请说明理由．

20．（6分）阅读下列材料，回答问题．

如图1，小明将三角形纸片ABC折叠，使点B和C重合，折痕为DE，连接AD，展开纸片后小明认为△ABD和△ACD的面积相等．理由如下：

由折叠知，．

过点A作于点F，，，所以．

请你根据以上信息，利用无刻度的直尺和圆规将图2中的三角形分为面积相等的两个三角形．

21．（6分）如图，在△ABC中，，D是BC的中点，过点A作，且，连接CE．

（1）求证：四边形ADCE是矩形：

（2）若，，求CE的长．

22．（6分）青少年体重指数（BMI）是评价青少年营养状况、肥辟的一种衡量方式．其中体重指数BMI计算公式：．G表示体重（kg），h表示身高（m）．兰州市某中学为了解本校学生体重指数分布变化情况，调查小组参考《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（BMI）分成四个等级（如下表），对数据进行整理、描述和分析．

【收集数据】调查小组从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷如下：

【整理、描述数据】根据整理的数据绘制统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：

（1）所调查的女生体重指数（BMI）的中位数落在______等级；（只填字母）

（2）请根据以上信息，判断下列结论正确的是______；（只填序号）

①该调查是抽样调查，从全校随机抽取男、女生各100名作为样本，样木容量是200；

②经调查某男生的BMI值是15.6，说明该男生偏瘦；

③“标准”等级的男生人数少于女生人数，其它等级都是男生人数多于女生人数．

（3）每年5月11日是世界防治肥胖日，若了解全校2000名学生的体重情况，请你估计全校体重指标为“肥胖”的学生人数约为多少人？请对该校学生体重情况作出评价，并提出合理化建议．

23．（6分）某校数学综合实践小组开展了测量某大厦楼体LED大屏广告牌AB高度的实活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告．报告的部分内容如下表．

根据以上信息，请你帮助数学综合实践小组求出广告牌AB的高度．（结果精确到0.1m）

（参考数据：，，）

24．（6分）如图1为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置OA，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高高度为3m．水柱落地处离池中心的水平距离为3m．小刚以柱形喷水装置OA与地面交点O为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，柱形喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2．

（1）求表示该抛物线的函数表达式：

（2）若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．

25．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（1，3），B两点，与y轴交于点C．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）若点P（t，0）是x轴负半轴上一点，过点P作轴交反比例函数的图象于点Q，连接CP，OQ．当时，求点P的坐标．

26．（7分）如图，在Rt△ABC中，，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB上，且以AD为直径的⊙O经过点E．

（1）求证，BC是⊙O的切线：

（2）当，且时，求⊙O的半径．

27．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，，若P，Q为某个直角三角形的两个顶点，且该直角三角形的两条直角边分别与坐标轴垂直，则称该直角三角形为点P，Q的“坐标直角三角形”，图1为点P，Q的“坐标直角三角形”示意图．

如图2，点A的坐标为（1，2）．

（1）若点B的坐标为，求点A，B的“坐标直角三角形”的面积；

（2）点C在y轴上，若点A，C的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，直接写出直线AC的表达式；

（3）点D在直线上，且点A，D的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，求点D的坐标．

28．（9分）如图，长方形纸片ABCD，，．点E是AB边上一点，将△BEF沿EF翻折得到△GEF．

【问题解决】

（1）如图1，点B落在边AD上的点G处，若，求AG和FG的长；

【类比探究】

（2）如图2，当点E和点A重合时，点B落在边AD上的点G处，折痕为AF．判定四边形ABFG的形状，并说明理由；

【拓展应用】

（3）如图3，当点E和点A重合时，点B落在长方形ABCD内部的点G处，折痕为AF，FM平分∠CFG交CD于点M，连接GM．当GM的长度最短时，求GM的长．

2023年兰州市九年级诊断考试

数学参考答案及评分参考

本答案仅供参考。

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13． 14． 15．0.95 16．，

三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（4分）解：原式．

18．（4分）解：原式

19．（5分）选择条件①或③，

选择条件①：在△ABC和△FED中，．

∴（SAS）

∴

∴

选择条件③：在△ABC和△FED中，．

∴（SSS）

∴

∴

20．（6分）解：

（作出以上图形中任意一种即可）

作出三角形其中一边的垂直平分线

作出中线

21．（6分）（1）证明：∵，且，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵，D是BC的中点，

∴，

∴，

∴平行四边形ADCE是矩形；

（2）解：∵，，，

∴，

在Rt△ABD中，

根据勾股定理得：，

由（1）可知，四边形ADCE是矩形，

∴，即CE的长为4．

22．（6分）（1）B

（2）结论正确的是①②③；

注：第（2）问每选对1个结论得1分．

（3）被抽查的200人中，体重指标为“肥胖”的学生人数为有9人，

（人），

所以全校体重指标为“肥胖”的学生人数约为90人，

该校大多数学生体重标准，存在少数同学体重不标准，甚至肥胖，这部分同学应该健康饮食，多锻炼身体（答案不唯一，言之有理即可）

23，（6分）解：在Rt△BDC中，∵，∴，

在Rt△ADC中，，

∴．

答：广告牌AB的高度为6．6m．

24．（6分}解：（1）由于点（1，3）为抛物线的顶．点，

因此可设该抛物线的函数表达式为，

由题意得，该抛物线经过点（3，0），可得，解得，

∴该抛物线函数表达式为或．

注：自变量范围不作要求．

（2）当时，，解得．

答：柱形喷水装置的高度为m．

25．（6分）解：（1）将A（1，3）代入中，得，

∴反比例函数的表达式为，

将A（1，3）代入，解得：，

∴一次函数的表达式为．

（2）∵中，当时，，

∴C（0，2），

∵，且

∴，∴

∵，∴P点的坐标．

26．（7分）（1）证明：如图，连接OE，

∵AE平分∠BAC，∴，

∵，∴，

∴

∴，

∵，∴，

即，

∵OE是⊙O半径，∴BC为⊙O的切线

（2）解：∵，设，∴，

在Rt△OBE中，根据勾股定理得：，

即，∴，∴⊙O半径为3．

27．（8分）（1）∵点A的坐标为（1，2），点B的坐标为，

∴．

（2）直线AC的表达式为或．

（3）∵点A，D的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形

∴由（2）可知点D一定在直线或上，

又∵点D在直线上，

∴可列方程组或，

解得或，∴点D的坐标为或．

28．（9分）解：（1）如图1，由折叠得：

∴，．

，

过点F作于点H，，

∵，

∴，

∵，

∴，

在△FGH中，．

（2）四边形ABFG是正方形，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，∴．

∵长方形纸片ABCD折叠，使边AB落在边AD，

∴，，

∴，

∴四边形ABCD是矩形

∵，∴四边形ABFE是正方形．

（3）如图2，连接AM．

∵（两点之间线段最短），

，

∴当A，G，M三点共线时，GM最短，

如图3，∵，

∴，

∵FM平分∠CFG．，

∴，

由（2）得，，

设，，

，

在Rt△ADM中，由勾股定理得：，

∴，解得，

即当GM最短时，．