2023年甘肃省兰州市中考一模数学试题(含解析)

这是一份2023年甘肃省兰州市中考一模数学试题(含解析)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年甘肃省兰州市中考一模数学试题

一、单选题
1．如果零上记作，那么零下记作（    ）
A． B． C． D．
2．下列几何体中，主视图为矩形的是（    ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，平分，交于点．若，则（    ）

A． B． C． D．
5．计算：（    ）
A．a B． C． D．
6．一次函数的函数值随的增大而减小，则的值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．2022年卡塔尔世界杯比赛门票按价格分为三个档次，其中小组赛第三档次门票每张元，淘汰赛（八分之一决赛）第三档次门票每张元．某球迷共购买两个阶段第三档次门票张，总价元，设购买小组赛第三档次门票张，淘汰赛第三档次门票张，则可列方程组为（    ）
A． B．
C． D．
8．古希腊数学家埃拉托色尼发现，如图，夏至正午时分太阳光线直射进点处塞尼城的一口深井，说明太阳光线过圆心．而同一经度上另外一点处的亚历山大城一个方尖塔却会投影下一定长度的阴影，他测得方尖塔与太阳光线的夹角为，方尖塔延长线经过圆心．由太阳光线是平行光线，得到深井延长线和方尖塔延长线所夹圆心角的度数．因而得到球周长约为（接近真实值）．埃拉托色尼计算地球周长时用到的原理是（    ）

A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
9．四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7
10．亮亮在学校物理兴趣小组活动中设计了如下的电路图．已知电路图中有两个灯泡，，三个开关，，，随机闭合开关，，中的两个开关，能让灯泡发光的概率是（    ）

A． B． C． D．
11．对于二次函数．下列说法错误的是（    ）
A．图象开口向上 B．顶点坐标为
C．当时，y随x的增大而减小 D．图象与x轴有两个交点
12．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接交于点，若，，则菱形的边长为（    ）

A．10 B． C． D．

二、填空题
13．因式分解：__________．
14．2022年12月29日，连接宁夏银川和甘肃兰州的银兰高铁中卫至兰州段正式开通，这也标志着全长431公里的银兰高铁正式开通运营，如图为银兰高铁中卫至兰州段示意图，若图中“中卫南（点）”在“兰州西（点）”的北偏东度方向，相距，现以“兰州西”为坐标原点，为单位长度，分别以正东、正北方向为正方向，建立平面直角坐标系，则“中卫南”在平面直角坐标系中的坐标是______．（参考数据：，，）

15．为确保产品质量，某厂质检部门定期对该厂生产的各类产品按一定比例进行随机检查．并统计产品的合格情况，下图表示的是A产品的部分质检数据：

估计该厂生产的A产品合格的概率是______．（结果精确到）
16．如图，中，，，以直角边为直径的交于点，则所对圆心角的大小是______，若，则的长为______．


三、解答题
17．化简：．
18．计算：．
19．如图，已知点B，F，C，E在同一直线上．，．从下面①②③中选取一个作为已知条件，使得．
①；②；③．
你选择的已知条件是______（填序号），利用你选择的条件能判定吗？请说明理由．

20．阅读下列材料，回答问题．
如图1，小明将三角形纸片折叠，使点和重合，折痕为，连接，展开纸片后小明认为和的面积相等．理由如下：
由折叠知，．
过点作于点，，，所以．
请你根据以上信息，利用无刻度的直尺和圆规将图2中的三角形分为面积相等的两个三角形．

21．如图，在中，，是的中点，过点作，且，连接．

(1)求证：四边形是矩形：
(2)若，，求的长．
22．青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥辟的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：．表示体重（），表示身高（）．兰州市某中学为了解本校学生体重指数分布变化情况，调查小组参考《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如下表），对数据进行整理、描述和分析．
等级性别
偏瘦（）
标准（）
超重（）
肥胖（）
男




女




【收集数据】调查小组从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷如下：
中学生身高与体重情况的调查问卷亲爱的同学。力了好大家身体健康情况。请你认宾回答下列问题，谢谢合作!
1．你的身高______m．
2．你的体重______kg．
【整理、描述数据】根据整理的数据绘制统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
(1)所调查的女生体重指数（BMI）的中位数落在______等级；（只填字母）
(2)请根据以上信息，判断下列结论正确的是______；（只填序号）
①该调查是抽样调查，从全校随机抽取男、女生各100名作为样本，样木容量是200；
②经调查某男生的BMI值是15.6，说明该男生偏瘦；
③“标准”等级的男生人数少于女生人数，其它等级都是男生人数多于女生人数．
(3)每年5月11日是世界防治肥胖日，若了解全校2000名学生的体重情况，请你估计全校体重指标为“肥胖”的学生人数约为多少人？请对该校学生体重情况作出评价，并提出合理化建议．
23．某校数学综合实践小组开展了测量某大厦楼体大屏广告牌高度的实活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告．报告的部分内容如下表．
综合实践活动报告
课题
利用直角三角形的边角关系测量物体高度
测量工具
测倾器、皮尺等测量工具
测量示意图

测量步骤及结果
如图，步骤如下：①该小组使用皮尺，测得
②选择在点处安置测倾器，在点处测得广告牌顶部点的仰角．在点处测得广告牌底部点的仰角．（点，，在同一条直线上）
…
…
根据以上信息，请你帮助数学综合实践小组求出广告牌的高度．（结果精确到）
（参考数据：，，）
24．如图为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，柱形喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y()与水平距离x()之间的函数关系如图．

(1)求表示该抛物线的函数表达式：
(2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．
25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)若点是轴负半轴上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．当时，求点的坐标．
26．如图，在中，，的平分线交于点，点在上，且以为直径的经过点．

(1)求证，是的切线：
(2)当，且时，求的半径．
27．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若，为某个直角三角形的两个顶点，且该直角三角形的两条直角边分别与坐标轴垂直，则称该直角三角形为点，的“坐标直角三角形”，图1为点，的“坐标直角三角形”示意图．
如图2，点A的坐标为．

(1)若点的坐标为，求点，的“坐标直角三角形”的面积；
(2)点在轴上，若点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，直接写出直线的表达式；
(3)点在直线上，且点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，求点的坐标．
28．如图，长方形纸片，，．点是边上一点，将沿翻折得到．
【问题解决】
（1）如图1，点落在边上的点处，若，求和的长；
【类比探究】
（2）如图2，当点和点重合时，点落在边上的点处，折痕为．判定四边形的形状，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，当点和点重合时，点落在长方形内部的点处，折痕为，平分交于点，连接．当的长度最短时，求的长．


参考答案：
1．A
【分析】根据正负数的意义即可求解．
【详解】解：依题意，零下记作，
故选：A．
【点睛】本题考查了正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．
2．B
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
【详解】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
B、圆柱体的主视图是矩形，符合题意；
C、四棱锥的主视图是三角形，不符合题意；
D、球的主视图是圆形，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视图有一定的空间想象能力．
3．D
【分析】先解不等式，然后根据不等式的解集判断即可求解．
【详解】解：∵
解得：
在数轴上表示，如图所示，

故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
4．C
【分析】根据等边对等角，以及三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∵平分，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．A
【分析】根据分式的约分进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质和约分是解题的关键．
6．A
【分析】根据题意得出，解不等式即可求解．
【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴
解得：，
只有比少
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
7．C
【分析】设购买小组赛第三档次门票张，淘汰赛第三档次门票张，根据共购买两个阶段第三档次门票张，总价元，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：设购买小组赛第三档次门票张，淘汰赛第三档次门票张，根据题意得，

故选：C．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找到等量关系列出二元一次方程组是解题的关键．
8．B
【分析】根据太阳光线是平行光线，得出，根据，可得用到的原理是两直线平行，内错角相等，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵
∴圆心角
∴用到的原理是：两直线平行，内错角相等
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．A
【分析】根据题意得出，代入数据即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
∴，
∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．
∴
解得：，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10．B
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：依题意，列表如下，
















共有6种等可能结果，能让灯泡发光的结果是（，）或（，）共2种结果，
∴能让灯泡发光的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
11．C
【分析】由二次函数的图像和性质直接判断即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数．,
∴抛物线开口向上，故A选项正确，不合题意；
∵，顶点坐标为，
故B选项正确，不合题意；
当时，y随x的增大而增大，故C选项错误，符合题意，
∵时，，
即的图象与x轴有两个交点
故D选项正确，不合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．D
【分析】勾股定理求得，根据，得出，即求得，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴
∵点为的中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
解得：
在中，.
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13．
【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：原式=3(x2−4)=3(x+2)(x−2)；
故答案为：3(x+2)(x−2)．
【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
14．
【分析】过点作轴于点，然后根据三角函数的定义得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，

过点作轴于点，
依题意，，
∴，，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坐标与图形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
15．
【分析】根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率解答即可．
【详解】解：在大量重复试验的情况下，频率的稳定值作为概率的估计值，即次数越多，频率越接近于概率，则这种幼树移植成活的概率约为
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比及运用样本数据去估计总体数据的基本解题思想．
16．
【分析】（1）连接，根据题意得出，根据圆周角定理得出，含30度角的直角三角形的性质，得出，进而勾股定理得出，求得半径，进而根据弧长公式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵中，，，
∴，
∵，
∴
∵是直径，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴的长为，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求弧长，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17．
【分析】根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项即可求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
18．
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式



【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握是解题的关键．
19．①或③证明见解析
【分析】选择条件后证明，得出，即可证明
【详解】选择条件①或③，
选择条件①：在和中，
．
∴（），
∴，
∴，
选择条件③：在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
20．作图见解析
【分析】作（或）的垂直平分线交（或）于，连接（），即可求解．
【详解】解：如图，即为所作

【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，作线垂直平分线，熟练掌握基本作图以及三角形中线的性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)4

【分析】（1）根据题意可得四边形是平行四边形，根据三线合一得出，可得，即可得证；
（2）根据得出，在中，根据勾股定理得出，根据矩形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：，且，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：，，，
，
在中，
根据勾股定理得：，
由（）可知，四边形是矩形，
，即的长为．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，三线合一，已知余弦求边长，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)B
(2)①②③
(3)全校体重指标为“肥胖”的学生人数约为90人，该校大多数学生体重标准，存在少数同学体重不标准，甚至肥胖，这部分同学应该健康饮食，多锻炼身体

【分析】（1）根据等级的占比与人数求得总人数，进而求得等级的女生人数，然后根据中位数的定义即可求解；
（2）由（1）可得从全校随机抽取男、女生各100名作为样本，样本容量为，即可判断①，根据统计表即可判断②；根据条形统计图即可判断③；
（3）根据样本估计总体即可求解；然后结合题意提出合理化建议．
【详解】（1）解：总人数为（人）
则等级的女生人数为，
则女生人数为：，
∴第50个与第51个数据落在等级，
故答案为：B．
（2）解：①该调查是抽样调查，从全校随机抽取男、女生各100名作为样本，样木容量是200，故正确；
②经调查某男生的BMI值是15.6，说明该男生偏瘦，故正确；
③“标准”等级的男生人数为，“标准”等级的女生人数为，
∴“标准”等级的男生人数少于女生人数，
等级的男生人数为，等级的女生人数为
等级的男生人数为，等级的女生人数为
等级的男生人数为，等级的女生人数为
即其它等级都是男生人数多于女生人数．
结论正确的是①②③；
（3）被抽查的人中，体重指标为“肥胖”的学生人数为有人，
（人），
所以全校体重指标为“肥胖”的学生人数约为人，
该校大多数学生体重标准，存在少数同学体重不标准，甚至肥胖，这部分同学应该健康饮食，多锻炼身体（答案不唯一，言之有理即可）
【点睛】本题考查了频数分布表与扇形统计图，样本估计总体，中位数，从统计图表中获取信息是解题的关键．
23．广告牌的高度为
【分析】根据题意在中，，在中，根据三角函数关系得出，根据，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
在中，
∴．
答：广告牌的高度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
24．(1)抛物线函数表达式为或
(2)m

【分析】（1）根据顶点坐标，设该抛物线的函数表达式为,由题意得，该抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解．
（2）当时，代入解析式，解得．
【详解】（1）解：由于点为抛物线的顶点，
因此可设该抛物线的函数表达式为，
由题意得，该抛物线经过点，可得，
解得，
∴该抛物线函数表达式为或．
（2）当时，，解得．
答：柱形喷水装置的高度为m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
25．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
(2)P点的坐标

【分析】（1）将代入中，得，将代入，解得：，即可求解；
（2），当时，，得出，根据，列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：将代入中，得，
反比例函数的表达式为，
将代入，解得：，
一次函数的表达式为．
（2）中，当时，，
，
，且
，

，
点的坐标．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，求得函数解析式是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)半径为

【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得出，由得出，等量代换得出则，根据得出，即可得证；
（2）设，则，根据中，勾股定理得出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，

平分，
，
，
，

，
，，
即，
是半径，
为的切线
（2）解：，设，则，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
，
半径为．
【点睛】本题考查了切线性质的判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
27．(1)
(2)或
(3)点D的坐标为或

【分析】（1）根据坐标与图形，结合新定义，根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）根据新定义得出是斜边，且与坐标轴的夹角为，则或，进而待定系数法求解析式即可求解；
（3）由（2）可知点一定在直线或上，又点在直线上，联立解方程组即可求解．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴．
（2）解：∵点的坐标为，点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形，
是斜边，且与坐标轴的夹角为
∵到轴的距离为，
∴或，
设经过，的解析式为，
则，解得，
∴，
设经过，的解析式为，
则，解得：，
∴，
综上所述，直线的表达式为或．

（3）∵点，的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形
∴由（2）可知点一定在直线或上，
又∵点在直线上，
∴可列方程组或，
解得或，
∴点D的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数交点问题，理解新定义，等腰三角形的性质，一次函数的性质是解题的关键．
28．（1），（2）四边形是正方形，理由见解析；（3）
【分析】（1）过点作于点，根据折叠的性质得出，勾股定理得出，根据，得出，在中，求得，即可求解；
（2）根据折叠的性质得出，可得四边形是矩形，根据，即可得出结论；
（3）连接．根据，可得当，，三点共线时，最短，根据角平分线的性质得出，设，，在中，由勾股定理得：，解方程得出
【详解】解：（1）如图1，由折叠得：

∴，．
，
过点F作于点H，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，．
（2）四边形是正方形，理由如下：
四边形是矩形，
．
长方形纸片折叠，使边落在边，
，，
，
四边形是矩形
，
四边形是正方形．
（3）如图2，连接．
（两点之间线段最短），
，
当，，三点共线时，最短，
如图，，
，
平分．，
，
由（）得，，
设，，
，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
即当最短时，．

【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．