高考 第6讲 等差数列基本量的计算

这是一份高考 第6讲 等差数列基本量的计算，共11页。试卷主要包含了等差数列的有关概念，等差数列的有关公式等内容，欢迎下载使用。
第6讲   等差数列基本量的计算1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．(2)等差中项若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝．解决等差数列基本量计算问题的方法(1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝＝na1＋d，在这两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量． [典例 1]　(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．8解析：　设等差数列{an}的公差为d，则由得即解得d＝4．[典例 2]　(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)A．－12　　　　　　　　B．－10　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．12 解析：　由3S3＝S2＋S4，得：3(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a1＋a2＋a3＋a4，∴a1＋a2＋2a3＝a4，设公差为d，则4a1＋5d＝a1＋3d，∴d＝－a1＝－3．∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10．[典例 3]　(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(　　)A．8　　　　　　　　　B．10　　　　　　　　　C．12　　　　　　　　　D．14解析：　由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C．[典例 4]　(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)A．100　　　　　　　　B．99　　　　　　　　C．98　　　　　　　　D．97解析：　设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98．[典例 5]　设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．解析：　令bn＝nan，则2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，所以{bn}为等差数列，因为b1＝1，b2＝4，所以公差d＝3，则bn＝3n－2，所以b18＝52，则18a18＝52，所以a18＝．[典例 6]　设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________．解析：　法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，S4＝12，可得解得所以S6＝6a1＋15d＝30．法二　由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，由S3＝6，S4＝12可得解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30．[典例 7]　(2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．解析：　设等差数列{an}的公差为d，由a1＝－2，a2＋a6＝2，可得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－2＋d＋(－2)＋5d＝2，解得d＝1．所以S10＝10×(－2)＋×1＝－20＋45＝25．[典例 8]　(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．解析：　设bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，得n＝＝＝＋1，于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，则ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*．故Sn＝×n＝3n2－2n．[典例 9]　(2013·全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　)A．3　　　　　　　　　B．4　　　　　　　　　C．5　　　　　　　　　D．6解析：　由题意得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5．[典例 10]　数列{an}不是常数列，满足a1＝，a5＝，且a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝na1an＋1对任何的正整数n都成立，则＋＋…＋的值为(　　)A．1 475　　　　　　　B．1 425　　　　　　　C．1 325　　　　　　　D．1 275 解析：　因为a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝na1an＋1，所以当n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝(n－1)a1an，两式相减可得anan＋1＝na1an＋1－(n－1)a1an，即＝－，则＝－，则－＝－，即＋＝，即数列是等差数列，又由a1＝，a5＝可得数列{}的公差d＝1，则＝53，则＋＋…＋＝＝1 425．[典例 12]　在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a3·a1＝(2a2＋2)2．(1)求d，an；(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|．解析：　(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0，故d＝－1或d＝4，所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*．(2)设数列{an}的前n项和为Sn，因为d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝＝－n2＋n，当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a11－a12－a13－…－an＝－Sn＋2S11＝－＋2×＝n2－n＋110．综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝[典例 13]　已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)·(an＋n)(n∈N*)．(1)求证数列是等差数列，并求其通项公式；(2)设bn＝－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn．解析：　(1)证明：因为n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．所以nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)．所以－＝2，所以数列是等差数列，其公差为2，首项为2，所以＝2＋2(n－1)＝2n．(2)由(1)知an＝2n2，所以bn＝－15＝2n－15，则数列{bn}的前n项和Sn＝＝n2－14n．令bn＝2n－15≤0，解得n≤7.5．所以当n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n；当n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98．所以Tn＝ 【典例精练】1．已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为(　　)A．－3　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－2　　　　　　　　D．－4解析：　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为所以解得d＝－4．2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是(　　)A．　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　D．3解析：　∵Sn＝，∴＝，又－＝1，得－＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2．3．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于(　　)A．18　　　　　　　　　B．20　　　　　　　　　C．22　　　　　　　　　D．24解析：　因为S10＝S11，所以a11＝0．又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20．4．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　)A．12　　　　　　　　　B．13　　　　　　　　　C．14　　　　　　　　　D．15解析：　由题意得S5＝＝5a3＝25，故a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13．5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝4，S13＝104，则a10＝(　　)A．10　　　　　　　　B．12　　　　　　　　C．16　　　　　　　　D．20解析：　设{an}的公差为d，则S13＝13a1＋d＝104，a4＝a1＋3d＝4，解得a1＝0，d＝，所以a10＝a1＋9d＝12，故选B．6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝(　　)A．18　　　　　　　　B．16　　　　　　　　C．14　　　　　　　　D．12解析：　设{an}的公差为d，由可得解得所以a10＝－4＋9×2＝14，选C．7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，则a2 022的值为(　　)A．2 026　　　　　　　　B．4 038　　　　　　　　C．5 044　　　　　　　　D．3 020解析：　由题意得解得∴an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，∴a2 022＝2×2 022－6＝4 038．故选B．  8．(2019·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)A．an＝2n－5　　　B．an＝3n－10　　　C．Sn＝2n2－8n　　　D．Sn＝n2－2n解析：　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．由S4＝0，a5＝5可得解得所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n．故选A．9．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于(　　)A．18　　　　　　　　B．12　　　　　　　　C．9　　　　　　　　D．6解析：　由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D．10．等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于(　　)A．3 　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．log318　　　　　　　　D．log324解析：　∵log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)成等差数列，∴log3(2x)＋log3(4x＋2)＝2log3(3x)，∴log3[2x(4x＋2)]＝log3(3x)2，则2x(4x＋2)＝9x2，解之得x＝4，x＝0(舍去)．∴等差数列的前三项为log38，log312，log318，∴公差d＝log312－log38＝log3，∴数列的第四项为log318＋log3＝log327＝3．11．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，则a6＝________．解析：　将an－an＋1＝2anan＋1两边同时除以anan＋1，－＝2．所以是以＝1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋5×2＝11，即a6＝．12．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6等于(　　)A．36　　　　　　　　B．32　　　　　　　　C．28　　　　　　　　D．24  解析：　设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得d＝2，a1＝1，故S6＝6＋×2＝36，选A．13．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6等于(　　)A．16　　　　　　　　　B．24　　　　　　　　　C．36　　　　　　　　　D．48解析：　∵S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，故S6＝3＋15d＝48．14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－3，2a4＋3a7＝9，则S7的值等于(　　)A．21　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．－42　　　　　　　　D．0解析：　设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝－3，2a4＋3a7＝9，∴2(－3＋3d)＋3(－3＋6d)＝9，∴d＝1，∴S7＝7×(－3)＋×1＝0，故选D．15．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a1≠0，a2＝3a1，则＝________．解析：　因为数列{an}是等差数列，且a2＝3a1，所以公差d＝a2－a1＝2a1，故＝＝4．16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(　　)A．9　　　　　　　　B．10　　　　　　　　C．11　　　　　　　　D．15解析：　设等差数列{an}的公差为d，依题意得解得∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10．17．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0．其中一定正确的结论是(　　)A．①②　　　　　　B．①③④　　　　　　　C．①③　　　　　　　D．①②④ 解析：　∵a1＋5a3＝S8，∴a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，∴a1＝－9d，∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，∴a10＝0，故①一定正确．Sn＝na1＋＝－9nd＋＝(n2－19n)，∴S7＝S12，故③一定正确．显然②④不一定正确，故选C．18．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．解析：　由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130．19．在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为(　　)A．2　　　　　　　　　B．10　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．解析：　由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝，所以数列{an}是首项为－2，公差为的等差数列，所以S10＝10×(－2)＋×＝．20．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则＋＋…＋＝________．解析：　令n＝1，得＝4，所以a1＝16．当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1)．与已知式相减，得＝(n2＋3n)－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2．所以an＝4(n＋1)2，当n＝1时，a1适合an，所以an＝4(n＋1)2，所以＝4n＋4，所以＋＋…＋＝＝2n2＋6n．21．(多选)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则(　　)A．d<0　　　　　B．a16<0　　　　　C．Sn≤S15　　　　　D．当且仅当n≥32时，Sn<0解析：　设等差数列{an}的公差为d，由S10＝S20，得10a1＋d＝20a1＋d，化简得a1＝－d．因为a1>0，所以d<0，故A正确；因为a16＝a1＋15d＝－d＋15d＝d，又d<0，所以a16<0，故B正确；因为a15＝a1＋14d＝－d＋14d＝－d>0，a16<0，所以S15最大，即Sn≤S15，故C正确；Sn＝na1＋d＝d，若Sn<0，又d<0，则n>30，故当且仅当n≥31时，Sn<0，故D错误．22．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n>1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(　　)A．a9＝17　　　　　B．a10＝19　　　　　C．S9＝81　　　　　D．S10＝91解析：　∵对于任意n>1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，∴an＋1－an＝2．∴数列{an}在n>1，n∈N*时是等差数列，公差为2，又a1＝1，a2＝2，an＝2＋(n－2)×2＝2n－2(n>1，n∈N*)，∴a9＝2×9－2＝16，a10＝2×10－2＝18，S9＝1＋8×2＋×2＝73，S10＝1＋9×2＋×2＝91．故选D．23．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前2n项和T2n．解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d，由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2．∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1．(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)．∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1)＝(－2)×n＝－2n．24．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn．解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，所以所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2．(2)令cn＝13－an＝11－2n，bn＝|cn|＝|11－2n|＝设数列{cn}的前n项和为Qn，则Qn＝－n2＋10n．当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n．当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50．∴Tn＝25．设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*．(1)求通项公式an；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．解析：　(1)由题意得得又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，又a2＝3a1，∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*．(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1，当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3．设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3，当n≥3时，Tn＝3＋－＝，经验证T2符合上求．∴Tn＝26．已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；(2)求数列{an}的通项公式．解析：　(1)令n＝1得2a1a2＝4a1－3，又a1＝1，∴a2＝．由题可得，2anan＋1＝4Sn－3，①2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3．②，②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1．∵an≠0，∴an＋2－an＝2．(2)由(1)可知：数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为2，首项为1，∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即n为奇数时，an＝n．数列a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为2，首项为，∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，即n为偶数时，an＝n－．综上所述，an＝27．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－1anan＋1，求数列{bn}的前2n项和T2n．解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d，由S3＋S4＝S5，可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，故3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2．∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1．(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)·(2n＋1)＝(－1)n－1·(4n2－1)．∴T2n＝(4×12－1)－(4×22－1)＋(4×32－1)－(4×42－1)＋…＋(－1)2n－1·[4×(2n)2－1]＝4[12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2]＝－4(1＋2＋3＋4＋…＋2n－1＋2n)＝－4×＝－8n2－4n．