高考 第9讲 等比数列基本量的计算

这是一份高考 第9讲 等比数列基本量的计算，共11页。试卷主要包含了等比数列的有关概念，等比数列的有关公式等内容，欢迎下载使用。
第9讲   等比数列基本量的计算1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1．(2)前n项和公式：Sn＝ 解决等比数列基本量计算问题的方法(1)在等比数列{an}中，a1与q是最基本的两个量，一般可设出a1和q，利用等比数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等比数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an＝a1qn－1和前n项和公式Sn＝在这两个公式中共涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．如求和时要分q＝1和q≠1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论． [典例 1]　在等比数列{an}中，若a3＝2，a7＝8，则a5等于(　　)A．4　　　　　　　　B．－4　　　　　　　　C．±4　　　　　　　　D．5解析：　∵数列{an}为等比数列，且a3＝2，a7＝8，∴a＝a3·a7＝2×8＝16，则a5＝±4，∵等比数列奇数项的符号相同，∴a5＝4．[典例 2]　(2017·全国Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________． 解析：　设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，两式相除，得＝，解得q＝－2，a1＝1，所以a4＝a1q3＝－8．[典例 3]　(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)A．12　　　　　　　　B．24　　　　　　　　C．30　　　　　　　　D．32解析：　设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1，a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2，因此，a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝q5＝32．故选D．[典例 4]　(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)A．16　　　　　　　B．8　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．2解析：　设正数的等比数列{an}的公比为q，则解得∴a3＝a1q2＝4．故选C．[典例 5]　已知两个等比数列{an}，{bn}满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，则a的值为________．解析：　设数列{an}的公比为q，因为a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，所以b1＝a＋1，b2＝2＋aq，b3＝3＋aq2，故(2＋aq)2＝(a＋1)(3＋aq2)，得关于q的方程aq2－4aq＋3a－1＝0，因为a＞0，所以Δ＝4a2＋4a＞0，而数列{an}唯一，所以方程必有一根为零，故3a－1＝0，得a＝．[典例 6]　(2019·全国Ⅰ)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________．解析：　由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝＝3．所以S5＝＝＝． [典例 7]　等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝(　　)A．9　　　　　　　　B．15　　　　　　　　C．18　　　　　　　　D．30解析：　设数列{an}的公比为q(q>0)，则解得q＝2，a1＝2，所以S4＝＝30．[典例 8]　已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项的和S9＝________．解析：　由＝4(an＋1－an)得，a－4an＋1an＋4a＝0，∴(an＋1－2an)2＝0，＝2，∴数列{an}是首项a1＝2，公比为2的等比数列，∴S9＝＝1 022．[典例 9]　(多选题)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　)A．q＝2　　　　　B．an＝2n　　　　　C．S10＝2047　　　　　D．an＋an＋1＜an＋2解析：　根据题意，对于A，正项等比数列{an}满足2q3＝4q＋2q2，变形可得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又{an}为正项等比数列，则q＝2，故A正确；对于B，an＝2×2n－1＝2n，B正确；对于C，Sn＝＝2n＋1－2，所以S10＝2046，C错误；对于D，an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3×2n＝3an，而an＋2＝2n＋2＝4×2n＝4an＞3an，D正确．故选ABD．[典例 10]　(2015·全国Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．解析：　由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝＝126，解得n＝6．[典例 11]　(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　)A．2n－1　　　　　　B．2－21－n　　　　　　C．2－2n－1　　　　　　D．21－n－1解析：　方法一　设等比数列{an}的公比为q，由a5－a3＝12，a6－a4＝24得解得所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝＝2n－1．因此＝＝2－21－n．故选B．方法二　设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝2．由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1．所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝2n－1，所以＝＝2－21－n．方法三　设等比数列{an}的公比为q，则，得＝q＝2．将q＝2代入①，解得a3＝4．所以a1＝＝1，下同方法一．[典例 12]　设等比数列的前n项和为Sn，若S1＝a2－，S2＝a3－，则公比q＝(　　)A．1　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．4或0　　　　　　　　D．8解析：　∵S1＝a2－，S2＝a3－，∴解得或(舍去)，故所求的公比q＝4．[典例 13]　(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman．若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　)A．2　　　　　　　　B．3 　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．5解析：　∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n．又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4．[典例 14]　设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝2a，且S4＋S12＝λS8，则λ＝______．解析：　∵{an}是等比数列，a3a11＝2a，∴a＝2a，∴q4＝2，∵S4＋S12＝λS8，∴＋＝，∴1－q4＋1－q12＝λ(1－q8)，将q4＝2代入计算可得λ＝．[典例 15]　设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn．若对任意的n∈N*，有S2n＜3Sn，则q的取值范围是(　　)A．(0，1]　　　　　　B．(0，2) 　　　　　　C．[1，2) 　　　　　　D．(0，)解析：　当q≠1时，∵S2n＜3Sn，∴＜3×，∴qn＜2．若q＞1，则n＜logq2对任意的n∈N*恒成立，显然不成立．若0＜q＜1，则n＞logq2对任意的n∈N*恒成立，∴logq2＜nmin，∴logq2＜1，即0＜q＜2，又0＜q＜1，∴0＜q＜1．当q＝1时，对任意的n∈N*，有S2n＜3Sn成立．综上可得，0＜q≤1．故选A．[典例 16]　(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m．解析：　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1．由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2．故an＝(－2)n－1或an＝2n－1．(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝．由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1．由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6．综上，m＝6．[典例 17]　已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*．(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n．解析：　(1)∵an·an＋1＝n，∴an＋1·an＋2＝n＋1，∴＝，即an＋2＝an．∵bn＝a2n＋a2n－1，∴＝＝＝，∵a1＝1，a1·a2＝，∴a2＝，∴b1＝a1＋a2＝．∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．∴bn＝×n－1＝．(2)由(1)可知，an＋2＝an，∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－．[典例 18]　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，且S2＝6a2－42，S3＝a4－42，数列满足＋＋…＋＝1－(n∈N*)．(1)求an，bn；(2)若cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．解析：　(1)由得a3＝a4－6a2，即q2－q－6＝0．又∵q>0，∴q＝3．把q＝3代入S2＝6a2－42得a1＝3，∴an＝3n，又∵＋＋…＋＝1－(n∈N*)，当n≥2时，＋＋…＋＝1－，∴两式相减得＝1－－＝．因为当n＝1时，＝也满足，∴＝(n∈N*)．又∵an＝3n，∴bn＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知cn＝＝，∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋＝＝．  【典例精练】1．在等比数列{an}中，a1＝1，＝8，则a6的值为(　　)A．4　　　　　　　　B．8　　　　　　　　C．16　　　　　　　D．32解析：　设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，＝8，∴＝8，解得q＝2，则a6＝25＝32．故选D．2．在正项等比数列{an}中，若a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝(　　)A．2　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．8解析：　设数列{an}的公比为q．由已知得即＝，解得q＝或q＝2．当q＝时，a1＝－16，不符合题意；当q＝2时，a1＝1，所以a3＝a1q2＝4，故选B．3．在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝(　　)A．12　　　　　　　　B．18　　　　　　　　C．24　　　　　　　　D．30解析：　∵a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝6(1＋q2＋q4)＝78，解得q2＝3，∴a5＝a3q2＝6×3＝18．故选B．4．(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn．已知S3＝，S6＝，则a8＝________．解析：　设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则S3＝＝，S6＝＝，解得q＝2，a1＝，则a8＝a1q7＝×27＝32．5．已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝________．解析：　∵b1＝＝a2，b2＝，∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝，∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1 024．6．(2019·全国Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________．解析：　设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1．∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，则4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，∴S4＝＝．7．已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5＝(　　)A．1　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．解析：　由题意得＝3a1q2，解得q＝－或q＝1(舍)，所以S5＝＝＝．8．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．解析：　设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝．9．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2解析：　设等比数列的首项为a1，公比为q，则第2，3，4项分别为a1q，a1q2，a1q3，依题意得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝9，a1·a1q·a1q2·a1q3＝，化简得aq3＝，则＋＋＋＝＝2．10．已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an．若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________．解析：　由a－6a＝an＋1an，得(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，又an>0，所以an＋1＝3an，又a1＝2，所以{an}是首项为2，公比为3的等比数列，故Sn＝＝3n－1．11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)A．4n－1 　　　　　　B．4n－1　　　　　　C．2n－1 　　　　　　D．2n－1解析：　因为所以由①除以②可得＝2，解得q＝，代入①得a1＝2，所以an＝2×n－1＝，Sn＝＝4，所以＝＝2n－1．故选D．12．正项等比数列{an}满足a2a4＝1，S3＝13，则其公比是(　　)A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．解析：　设{an}的公比为q，因为a2a4＝1，且a2a4＝a，所以a＝1，易知q>0，所以a3＝1．由S3＝1＋＋＝13，得13q2＝1＋q＋q2，即12q2－q－1＝0，解得q＝．故选C． 13．已知正项等比数列{an}的公比为q，若a1＝q≠1，且am＝a1a2a3…a10，则m＝(　　)A．19　　　　　　　　B．45　　　　　　　　C．55　　　　　　　　D．100解析：　∵正项等比数列{an}的公比为q，a1＝q≠1，∴an＝q·qn－1＝qn，∵am＝a1a2a3…a10，∴qm＝q·q2·q3·…·q10＝q1＋2＋3＋…＋10＝q55．∴m＝55．故选C．14．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．解析：　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝－．15．已知数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝3n＋1，则an＝________，a1＋a2＋a3＋…＋an＝________．解析：　由题意可得，当n＝1时，a1＝4，解得a1＝12．当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－2，所以an＝3，n≥2，即an＝3n＋1，n≥2，又当n＝1时，an＝3n＋1不成立，所以an＝当n≥2时，a1＋a2＋…＋an＝12＋＝．16．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范围是(　　)A．[12，16] 　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．解析：　因为{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，所以q3＝＝，q＝，a1＝4，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－q2n)∈，故选C． 17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1．解析：　(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2．当n＝1时a1＝1，不适合上式．∴an＝(2)∵a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝．∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝．18．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4．(1)证明数列{an＋4}是等比数列；(2)求数列{|an|}的前n项和Sn．解析：　(1)证明：∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，∴＝2，∵a1＝－2，∴a1＋4＝2．∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)，可知an＋4＝2n，∴an＝2n－4．当n＝1时，a1＝－2<0，∴S1＝|a1|＝2；当n≥2时，an≥0．∴Sn＝－a1＋a2＋…＋an＝2＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝2＋22＋…＋2n－4(n－1)＝－4(n－1)＝2n＋1－4n＋2．又当n＝1时，也满足上式．∴数列{|an|}的前n项和Sn＝2n＋1－4n＋2．19．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn．(1)若对任意n∈N*，Sn＝都成立，求an；(2)若a1＝1，a2＝2，bn＝a2n－1＋a2n，且数列{bn}是公比为3的等比数列，求S2n．解析：　(1)由Sn＝，得Sn－1＝，n≥2，两式相减得an＝n，n≥2，又a1＝S1＝，不满足an＝n， ∴an＝(2)S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)＝b1＋b2＋…＋bn，∵b1＝a1＋a2＝3，{bn}是公比为3的等比数列，∴S2n＝b1＋b2＋…＋bn＝＝(3n－1)．20．(2020·新高考Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8．(1)求{an}的通项公式；(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．解析：　(1)由于数列{an}是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q，依题意有解得(舍)或所以{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*．(2)由于21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，所以b1对应的区间为(0，1]，则b1＝0；b2，b3对应的区间分别为(0，2]，(0，3]，则b2＝b3＝1，即有2个1；b4，b5，b6，b7对应的区间分别为(0，4]，(0，5]，(0，6]，(0，7]，则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22个2；b8，b9，…，b15对应的区间分别为(0，8]，(0，9]，…，(0，15]，则b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23个3；b16，b17，…，b31对应的区间分别为(0，16]，(0，17]，…，(0，31]，则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4；b32，b33，…，b63对应的区间分别为(0，32]，(0，33]，…，(0，63]，则b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25个5；b64，b65，…，b100对应的区间分别为(0，64]，(0，65]，…，(0，100]，则b64＝b65＝…＝b100＝6，即有37个6．所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480．