高考 第7讲 等差数列的性质及应用

这是一份高考 第7讲 等差数列的性质及应用，共15页。试卷主要包含了∴b8＝2×8－8＝8等内容，欢迎下载使用。
第7讲 等差数列的性质及应用
等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)，d＝(n≠m)．
(2)等距性：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq．
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap．
(3)单调性：d＞0⇔{an}为递增数列，若d＜0⇔{an}为递减数列．d＝0⇔{an}为常数列；
(4)若{an}是等差数列，公差为d，则等距离取出若干项也构成一个等差数列，
即ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(5)若{an}，{bn}(项数相同)是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(6)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列，d＝ (n≠m)．
(7)等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，公差为nd．
(8)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；
(9)若项数为2n－1(n≥2)，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝．
(10)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝．

考点一　性质(1)的应用
[典例 1]　在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于(　　)
A．3　　　　　　　　B．－6　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．－3
解析：　
由等差数列的性质得所以d＝＝－6．
[典例 2]　在等差数列{an}(n∈N*)中，若a1＝a2＋a4，a8＝－3，则a20的值是________．
解析：　
∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a5＝a2＋a4，又a1＝a2＋a4，∴a5＝0，
∴d＝＝＝－1，故a20＝a5＋15d＝－15．
[典例 3]　已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________．

解析：　
利用an＝am＋(n－m)d)设数列 {an}的公差为d，则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d，
所以d＝＝＝，所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24．
[典例 4]　已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________．
解析：　
方法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，则d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8．∴b8＝2×8－8＝8．
方法二　由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8．
[典例 5]　已知{an}为等差数列，且a100＝304，a300＝904，则a1 000＝________．
解析：　
因为{an}为等差数列，则d＝＝，解得a1 000＝3 004．
[典例 6]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是(　　)
A．30　　　　　　　　B．29　　　　　　　　C．28　　　　　　　　D．27
解析：　
由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝1，故a4＝a3＋d＝4，
所以S7＝＝＝7×4＝28．故选C．


考点二　性质(2)的应用
[典例 7]　在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是(　　)
A．15　　　　　　　　B．30　　　　　　　　C．31　　　　　　　　D．9
解析：　
由a3＋a4＋a5＝3及等差数列的性质，∴3a4＝3，则a4＝1．
又a4＋a12＝2a8，得1＋a12＝2×8．∴a12＝16－1＝15．
[典例 8]　在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．
解析：　
由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180．
[典例 9]　等差数列an中，若a2，a2 020为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 011＋a2 021等于(　　)
A．10　　　　　　　　B．15　　　　　　　　C．20　　　　　　　　D．40
解析：　
∵a2，a2 020为方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a2＋a2 020＝10，
由等差数列的性质得2a1 011＝10，即a1 011＝5，∴a1＋a1 011＋a2 021＝3a1 011＝15．
[典例 10]　数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．
解析：　
由3＋an＝an＋1，得an＋1－an＝3．所以{an}是公差为3的等差数列．
又a2＋a4＋a6＝9，且a2＋a6＝2a4，所以3a4＝9，则a4＝3，
所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2．
[典例 11]　在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________．
解析：　
∵在等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16，∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，
∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4．
[典例 12]　等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝________．
解析：　
由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，
所以＋＝＝＝＝1．
[典例 13]　等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，则S13＝(　　)
A．58　　　　　　　　B．54　　　　　　　　C．56　　　　　　　　D．52
解析：　
∵a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，∴a4＋a10＝8，∴a1＋a13＝8，
∴S13＝＝＝52．
[典例 15]　等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}的前9项和S9等于(　　)
A．99　　　　　　　　B．66　　　　　　　　C．144　　　　　　　　D．297
解析：　
由等差数列的性质可得a1＋a7＝2a4，a3＋a9＝2a6，
又∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39，3a6＝27，解得a4＝13，a6＝9，
∴a4＋a6＝22，∴数列{an}的前9项和S9＝＝＝＝99．
[典例 16]　设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为________．
解析：　
由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①，an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②，
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，
∴a1＋an＝36，又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18．
[典例 17]　在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________．
解析：　
方法一　设数列{an}的公差为d，首项为a1，则
解得所以S110＝110a1＋d＝－110．
方法二　因为S100－S10＝＝－90，所以a11＋a100＝－2，
所以S110＝＝＝－110．
[典例 18]　已知函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，且函数f(x)在(1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a4)＝f(a18)，则{an}的前21项和为(　　)
A．0　　　　　　　　B． 　　　　　　　　C．21 　　　　　　　　D．42
解析：　
函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，平移可得y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，
且函数f(x)在(1，＋∞)上单调，由数列{an}是公差不为0的等差数列，
且f(a4)＝f(a18)，可得a4＋a18＝2，
所以a1＋a21＝a4＋a18＝2，可得数列{an}的前21项和S21＝＝21．故选C．
[典例 19]　等差数列{an}的各项均不为零，其前n项和为Sn．若a＝an＋2＋an，则S2n＋1＝________．
解析：　
因为{an}为等差数列，所以an＋2＋an＝2an＋1，又a＝an＋2＋an，所以a＝2an＋1．
因为数列{an}的各项均不为零，所以an＋1＝2，
所以S2n＋1＝＝＝4n＋2．
[典例 20]　在数列{an}中，2an＋1＝an＋an＋2，且an≠0．若an－1－a＋an＋1＝0(n≥2)，且S2n－1＝38，则n＝(　　)
A．38　　　　　　　　B．20　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．9
解析：　
在数列{an}中，因为2an＋1＝an＋an＋2，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，
所以数列{an}为等差数列．
由an－1－a＋an＋1＝0(n≥2)，得2an－a＝0，又an≠0，解得an＝2．
又S2n－1＝38，即＝(2n－1)an＝38，即(2n－1)×2＝38，解得n＝10．
[典例 21]　设正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(1＋an)2(n∈N*)，则a5＋a6＋a7＋a8＝(　　)
A．24　　　　　　　　B．48　　　　　　　　C．64　　　　　　　　D．72
解析：　
当n＝1时，由S1＝a1＝，得a1＝1，
当n≥2时，得4an＝(1＋an)2－(1＋an－1)2，
∴a－a－2an－2an－1＝0，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0．
∵an>0，∴an－an－1＝2，∴{an}是等差数列，∴an＝2n－1，
∴a5＋a6＋a7＋a8＝2(a6＋a7)＝48．






【典例精练】
1．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于(　　)
A．3　　　　　　　　B．－3　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
解析：　
由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3．
2．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)
A．a1＋a101>0　　　　B．a1＋a101S6>S4．下列四个命题正确的是(　　)
A．数列{Sn}中的最大项为S10　　　B．数列{an}的公差d0　　　D．S11S6>S4，所以a60且a5＋a6>0，所以数列{Sn}中的最大项为S5，A错误；
数列{an}的公差d0，C正确；
S11＝＝11a6