2022-2023年苏科版数学八年级下册专项复习精讲精练：专题05 分式的加减乘除及分式方程【考点梳理+专题训练】（原卷版+解析版）

专题05 分式的加减乘除及分式方程

知识点一、同分母分式的加减

 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；符号表示为：.

1. “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误；

2. 分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.

例：计算的结果是（　　）

A． B．a﹣3 C．2 D．﹣2

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【解答】解：原式

＝2，

故选：C．

知识点二、异分母分式的加减

 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为：.

1. 分式与整式相加减时，可以把整式看成分母是1的分式，然后由异分母分式加减法的法则进行计算；

2. 异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③合并，分子去括号、合并同类项；④约分，将最终结果化成最简分式.

例：并联电路中两个电阻的阻值分别为R1、R2，电路的总电阻R和R1、R2满足，已知R和R2，则R1的值为（　　）

A． B． C． D．

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【解答】解：∵，

∴，

∴R1．

故选：C．

知识点三、分式的乘除法

1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；

2. 用字母表示为；

3. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；

4. 用字母表示为.

（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式；

（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘；

（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分；

（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.

5. 分式的乘方

 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（n为正整数.）

（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成；

（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负；

（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分；

（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体，如.

例：化简x•结果是（　　）

A．1 B．xy C． D．

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【解答】解：原式

＝x••

．

故选：C．

知识点四、分式的混合运算

 分式的混合运算顺序：分式的混合运算顺序与分数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.

1. 在分式的运算过程中，可以用运算律，会使得运算简便点；

2. 分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面.

例：计算：．

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【解答】解：

＝1

＝1

．

知识点五、分式方程的概念

1. 分母中含有未知数的方程叫分式方程，如等这样的方程叫做分式方程.

2. 分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程，这里的字母a不是未知数，所以不是分式方程.

3. 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.

4. 在判断一个方程是否为分式方程时，不能先约分再判断，如在约分前是分式方程，约分后就变成了整式方程.

5. 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.

6. 分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.

例：下列方程中，是分式方程的是（　　）

A． B．1 C．2x＝x﹣5 D．x﹣2y＝6

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【解答】解：A，C，D选项的分母中不含未知数，故不符合题意；

B选项的分母中含未知数，故符合题意；

故选：B．

知识点六、分式方程的解法

1. 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.

2. 解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

3. 解分式方程产生增根的原因

方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.

产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.

（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根；

（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.

例：若关于x的方程2的解为正数，则m的取值范围是（　　）

A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8

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【解答】解：原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），

解得：x＝2，

因为关于x的方程2的解为正数，

可得：，

解得：m＜6，

因为x＝2时原方程无解，

所以可得，

解得：m≠0．

故选：C．

知识点七、列分式方程解决问题

1. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：

（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；

（2）设未知数；

（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；

（4）解这个分式方程；

（5）验根，检验是否是增根；

（6）写出答案.

2. 分式方程解决问题的主要类型：

（1）利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润/进价×100%；

（2）工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间；

（3）行程问题：路程＝速度×时间.

例：甲，乙两地相距360km，两人分别从甲地乘早7时出发的普通客车和早8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是4：3，两车的平均速度分别是多少？

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【解答】解：设豪华客车的平均速度为4xkm/h，则普通客车的平均速度为3xkm/h．

根据题意，得．

得x＝24．

经检验，x＝24是原分式方程的根，并符合题意．

由4x＝4×24＝96，3x＝3×24＝72．

答：豪华客车的平均速度为96km/h，普通客车的平均速度为72km/h．