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    2022-2023年北师大版数学八年级下册专项复习精讲精练:专题07 旋转模型(原卷版+解析版)
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    2022-2023年北师大版数学八年级下册专项复习精讲精练:专题07 旋转模型(原卷版+解析版)

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    专题07 旋转模型

    一、    奔驰模型

    二、    费马点模型

    一、奔驰模型

    旋转是中考必考题型,奔驰模型是非常经典的一类题型,且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型,提升利用旋转解决问题的能力,更重要的是要明白一点 :旋转的本质是把分散的条件集中化,从而解决问题

    二、费马点模型

    费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点.

    最值问题是中考常考题型,费马点属于几何中的经典题型,目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来,所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的.

    一、    奔驰模型

    一.选择题(共3小题)

    1.(2022春•历城区期中)如图,将△ABC绕点A逆时针方向旋转110°,得到△AB'C',若点B'在线段BC的延长线上,则∠BB'C'的度数为(  )

    A80° B75° C70° D65°

    【分析】根据旋转的性质求出∠BB'A和∠AB'C'的度数即可解决问题.

    【解答】解:根据旋转的性质可知∠BAB'110°,且ABAB',∠B=∠AB'C'

    ∵点B'在线段BC的延长线上,

    ∴∠BB'A=∠B35°.

    ∴∠AB'C'35°.

    ∴∠BB'C'=∠BB'A+AB'C'35°+35°=70°.

    故选:C

    【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

    2.(2022春•顺德区校级期中)如图,△ABC中,∠ACB90°,∠ABC22.5°,将△ABC绕若点C顺时针旋转,使得点A的对应点D落在边BC上,点B的对应点是点E,连接BE.下列说法中,正确的有(  )DEABBCE是旋转角;BED30°;BDE与△CDE面积之比是

    A1 B2 C3 D4

    【分析】由旋转的性质可得ACDCBCCE,∠ABC=∠CED22.5°,∠BCE是旋转角,可判断①②由等腰三角形的性质可判断③④

    【解答】解:如图,连接AD,延长EDAB于点F

    ∵将△ABC绕着点C顺时针旋转,使得点A的对应点D落在边BC上,

    ACDCBCCE,∠ABC=∠CED22.5°,∠BCE是旋转角,

    ∵∠ABC+BAC90°,

    ∴∠BAC+CED90°,

    ∴∠AFE90°,

    DEAB

    ①②正确;

    ∵∠BCE90°,BCCE

    ∴∠BEC45°,

    ∴∠BED=∠BEC﹣∠CED22.5°,

    错误;

    ACCD

    ADCD,∠DAC=∠ADC45°,

    ∵∠ADC=∠ABC+BAD

    ∴∠ABC=∠BAD22.5°,

    ADBDCD

    ∴△BDE与△CDE面积之比是 1

    正确.

    故选:C

    【点评】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,熟练运用旋转的性质是本题的关键.

    3.(2022春•顺德区期中)如图,等边△ABC中有一点P,且PA3PB4PC5,则∠APB的度数的为(  )

    A150° B135° C120° D165°

    【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,根据旋转的性质得BEBP4AEPC5,∠PBE60°,根据等边三角形的性质得到PEPB4,∠BPE60°,根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形,且∠APE90°,即可得到∠APB的度数.

    【解答】解:∵△ABC为等边三角形,

    BABC

    可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA

    EP,如图,

    BEBP4AEPC5,∠PBE60°,

    ∴△BPE为等边三角形,

    PEPB4,∠BPE60°,

    在△AEP中,AE5AP3PE4

    AE2PE2+PA2

    ∴△APE为直角三角形,且∠APE90°,

    ∴∠APB90°+60°=150°.

    故选:A

    【点评】本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理,求得∠APE90°是解题的关键.

    二.填空题(共7小题)

    4.(2022秋•长汀县期中)如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A'OB',若∠AOB15°,则∠AOB'的度数是  35° 

    【分析】根据旋转的性质可知,旋转角等于60°,从而可以得到∠BOB′的度数,由∠AOB15°可以得到∠AOB′的度数.

    【解答】解:∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△AOB′,

    ∴∠BOB′=50°.

    ∵∠AOB15°,

    ∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB50°﹣15°=35°.

    故答案为:35°.

    【点评】本题考查旋转的性质,解题的关键明确旋转角是什么,对应边旋转前后的夹角是旋转角.

    5.(2022春•盐湖区期中)如图,在RtABC中,ABACDE是斜边BC上两点,且∠DAE45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论:

    AED≌△AEFBE+DCDEBE2+DC2DE2

    其中正确的是  ①③ .(填序号)

    【分析】首先根据旋转的性质可得∠FAD90°,DCBF,∠FBE90°,ADAF,接下来结合全等三角形的判定定理可得△AED≌△AEF;然后利用全等三角形的性质与勾股定理进行解答即可.

    【解答】解:∵△ADC绕点A顺时针90°旋转后,得到△AFB

    ∴∠FAD90°,DCBF,∠FBE90°,ADAF

    ∵∠DAE45°,

    ∴∠EAF90°﹣45°=45°,

    ∴△AED≌△AEFSAS),

    EFED

    RtBEF中,BE2+BF2EF2

    BE2+DC2DE2

    ①③正确.

    故答案为:①③

    【点评】本题侧重考查关于旋转的题目,解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质.

    6.(2022春•崇仁县期中)如图,把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE,若∠A35°,则∠ADE  125° 

    【分析】先根据旋转的性质得∠E=∠A35°,∠ACE90°,然后根据三角形外角性质求∠ADE的度数.

    【解答】解:∵△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE

    ∴∠E=∠A35°,∠ACE90°,

    ∴∠ADE=∠E+DCE35°+90°=125°.

    故答案为:125°.

    【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等

    7.(2022春•相城区校级期中)如图,将△ABC在平面内绕点A旋转到△ABC′的位置,使∠BAB′=50°,则∠ACC′的度数为  65 °.

    【分析】首先根据性质得到∠CAC′、∠BAB′都是旋转角且相等,然后利用等腰三角形的性质即可求解.

    【解答】解:∵将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△ABC′的位置,∠BAB′=50°,

    ∴∠CAC′=∠BAB′=50°,CACA

    ∴∠ACC′=∠ACC180°﹣50°)=65°.

    故答案为:65

    【点评】本题考查了旋转的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.

    8.(2022春•福鼎市期中)如图,P是等边三角形ABC内的一点,且PA3PB4PC5,以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA,连接PQ,则以下结论中正确有 ①②③ (填序号)

    BPQ是等边三角形PCQ是直角三角形APB150° APC120°

    【分析】根据△ABC是等边三角形,得出∠ABC60°,根据△BQC≌△BPA,得出∠CBQ=∠ABPPBQB4PAQC3,∠BPA=∠BQC,求出∠PBQ60°,即可判断

    根据勾股定理的逆定理即可判断得出

    根据△BPQ是等边三角形,△PCQ是直角三角形即可判断;

    求出∠APC150°﹣∠QPC,和PC2QC,可得∠QPC30°,即可判断

    【解答】解:∵△ABC是等边三角形,

    ∴∠ABC60°,

    ∵△BQC≌△BPA

    ∴∠CBQ=∠ABPPBQB4

    PAQC3,∠BPA=∠BQC

    ∴∠PBQ=∠PBC+CBQ=∠PBC+ABP=∠ABC60°,

    ∴△BPQ是等边三角形,

    所以正确;

    PQPB4

    PQ2+QC242+3225

    PC25225

    PQ2+QC2PC2

    ∴∠PQC90°,

    ∴△PCQ是直角三角形,

    所以正确;

    ∵△BPQ是等边三角形,

    ∴∠PQB=∠BPQ60°,

    ∴∠APB=∠BQC=∠BQP+PQC60°+90°=150°,

    所以正确;

    APC360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC150°﹣∠QPC

    ∵∠PQC90°,PC2QC

    ∴∠QPC30°,

    ∴∠APC120°.

    所以错误.

    所以正确的有①②③

    【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理,解决本题的关键是综合应用以上知识.

    9.(2021春•聊城期中)如图,点P是等边△ABC内的一点,PA6PB8PC10.若点P′是△ABC外的一点,且△PAB≌△PAC,则∠APB的度数为  150° 

    【分析】连接PP′,由△PAC≌△PAB可知:PAPA,∠PAB=∠PAC,然后依据等式的性质可得到∠PAP=∠BAC60°,从而可得到△APP′为等边三角形,得∠APP′=60°,在△PPB中,用勾股定理逆定理证出直角三角形,得出∠PPB90°,可求∠APB的度数.

    【解答】解:连接PP′,

    由旋转可知,△PAC≌△PAB

    PAPA,∠PAB=∠PAC

    ∴∠PAP=∠BAC60°,

    ∴△APP′为等边三角形,

    PP′=APAP′=6

    PP2+BP2BP2

    ∴△BPP′为直角三角形,且∠BPP′=90°,

    ∴∠APB90°+60°=150°.

    故答案为:150°.

    【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用,证得△APP′为等边三角形、△BPP′为直角三角形是解题的关键.

    10.(2022秋•黄骅市校级期中)如图,设P是等边△ABC内的一点,PA3PB4PC5,则∠APB的度数是 150° 

    【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,根据旋转的性质得BEBP4AEPC5,∠PBE60°,则△BPE为等边三角形,得到PEPB4,∠BPE60°,在△AEP中,AE5AP3PE4,根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形,且∠APE90°,即可得到∠APB的度数.

    【解答】解:∵△ABC为等边三角形,

    BABC

    可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA

    EP,如图,

    BEBP4AEPC5,∠PBE60°,

    ∴△BPE为等边三角形,

    PEPB4,∠BPE60°,

    在△AEP中,AE5AP3PE4

    AE2PE2+PA2

    ∴△APE为直角三角形,且∠APE90°,

    ∴∠APB90°+60°=150°.

    故答案为150°.

    【点评】本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理.

    三.解答题(共1小题)

    11.(2021春•高州市期中)如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA6PB8PC10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△PAB

    1)求点P与点P′之间的距离;

    2)求∠APB的度数.

    【分析】1)由已知△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△PAB,可得△PAC≌△PABPAPA,旋转角∠PAP=∠BAC60°,所以△APP′为等边三角形,即可求得PP′;

    2)由△APP′为等边三角形,得∠APP′=60°,在△PPB中,已知三边,用勾股定理逆定理证出直角三角形,得出∠PPB90°,可求∠APB的度数.

    【解答】解:(1)连接PP′,由题意可知BP′=PC10AP′=AP

    PAC=∠PAB,而∠PAC+BAP60°,

    所以∠PAP′=60度.故△APP′为等边三角形,

    所以PP′=APAP′=6

     

    2)利用勾股定理的逆定理可知:

    PP2+BP2BP2,所以△BPP′为直角三角形,且∠BPP′=90°

    可求∠APB90°+60°=150°.

    【点评】本题考查旋转的性质,旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变.

    二、    费马点模型

    一.选择题(共1小题)

    1.(2022春•山亭区期中)如图,在△ABC中,∠CAB65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△ABC′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为(  )

    A40° B30° C50° D65°

    【分析】根据两直线平行,内错角相等可得∠ACC′=∠CAB,根据旋转的性质可得ACAC′,然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′,再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答.

    【解答】解:∵CC′∥AB

    ∴∠ACC′=∠CAB65°,

    ∵△ABC绕点A旋转得到△ABC′,

    ACAC′,

    ∴∠CAC′=180°﹣2ACC′=180°﹣2×65°=50°,

    ∴∠CAC′=∠BAB′=50°.

    故选:C

    【点评】本题考查了旋转的性质,等腰三角形两底角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.

    二.填空题(共1小题)

    2.(2022秋•洪山区校级期中)如图,以等边△ABC的一边BC为底边作等腰△BCD,已知AB3,且∠BDC120°,在△BCD内有一动点P,则PB+PC+PD的最小值为   

    【分析】将△PBC绕点B逆时针旋转60°后,得到△PBA,连接PP′、AD,根据旋转性质可得∠PBP′=60°,PBPBPCPA,以此得到PBPP′,根据两点之间线段最短得PB+PC+PDPP+PA+PDAD,根据等边三角形和等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ABC+CBD90°,再根据勾股定理即可求解.

    【解答】解:如图,将△PBC绕点B逆时针旋转60°后,得到△PBA,连接PP′、AD

    根据旋转的性质得,∠PBP′=60°,PBPBPCPA

    ∴△PBP′为等边三角形,

    PBPP′,

    PB+PC+PDPP+PA+PD

    PP+PA+PDAD

    ∴当AP′、PD四点共线时,PB+PC+PD有最小值,

    ∵△ABC为等边三角形,

    ∴∠ABC60°,

    ∵△BCD为等腰三角形,∠BDC120°,

    ∴∠CBD30°,

    ∴∠ABD=∠ABC+CBD90°,

    RtABD中,AB3BD,∠ABD90°,

    由勾股定理得AD

    PB+PC+PD的最小值为

    故答案为:

    【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短、勾股定理,正确作出辅助线,利用两点之间线段最短得到PB+PC+PDAD是解题关键.

    三.解答题(共2小题)

    3.(2021秋•北碚区校级期中)如图1DEF是等边三角形ABC中不共线三点,连接ADBECF,三条线段两两分别相交于DEF.已知AFBD,∠EDF60°.

    1)证明:EFDF

    2)如图2,点MED上一点,连接CM,以CM为边向右作△CMG,连接EG.若EGEC+EMCMGM,∠GMC=∠GEC,证明:CGCM

    3)如图3,在(2)的条件下,当点M与点D重合时,若CDADGD4,请问在△ACD内部是否存在点P使得P到△ACD三个顶点距离之和最小,若存在请直接写出距离之和的最小值;若不存在,试说明理由.

     

    【分析】1)可先推出∠CAF=∠ABD,再证△ACF≌△BAD,即可得出结论;

    2)在EF上截取ENEM,连接MN,可推出△EMN是等边三角形,可证△NCM≌△EGM,然后推出△CMG是等边三角形,从而问题得证;

    3)先求得AD,将△DPC绕点D顺时针旋转60°至△DQG,连接AG,可得△PDQ是等边三角形,于是AP+PD+CPAP+PQ+QG,故当APQG共线时,AP+PD+CP最小=AG,最后解斜三角形ADG,从而求得.

    【解答】1)证明:如图1

    ∵△ABC是等边三角形,

    ACAB

    ACB60°,

    ∴∠CAF+DAB60°,

    ∵∠EDF60°,

    ∴∠DAB+ABD60°,

    ∴∠CAF=∠ABD

    AFBD

    ∴△ACF≌△BADSAS),

    EFDF

    2)证明:如图2

    由(1)知,

    EFDF,∠EDF60°,

    ∴△DEF是等边三角形,

    ∴∠DEF60°,

    EF上截取ENEM,连接MN

    CNCE+ENCE+EMEG

    ∴△EMN是等边三角形,

    ∴∠CNM60°,

    ∵∠GMC=∠GEC,∠α=∠β

    ∴∠NCM=∠EGM

    CMGM

    ∴△NCM≌△EGMSAS),

    ∴∠MEG=∠CNM60°,

    ∴∠CEG180°﹣∠MEG﹣∠FED60°,

    ∴∠GME=∠GEC60°,

    CMGM

    ∴△CMG是等边三角形,

    CGCM

    3)解:如图3

    由(1)(2)知,

    DEF和△CDG是等边三角形,

    ∴∠CFD60°,CDGD4

    CDAD

    ∴∠CDF90°,

    ADCF

    将△DPC绕点D顺时针旋转60°至△DQG,连接AG

    ADDQCPQG

    ∴△PDQ是等边三角形,

    PDPQ

    AP+PD+CPAP+PQ+QG

    ∴当APQG共线时,AP+PD+CP最小=AG

    GHADH

    RtDGH中,

    GHDG2

    DHDG2

    AHAD+DH+2

    AG

    AP+PD+CP的最小值是

    【点评】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,旋转的性质和应用等知识,解决问题的关键是掌握“费马点”模型及“截长补短”等题型.

    4.(2022秋•静安区校级期中)如图,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AMBMCM.以AB为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN

    1)求证:△AMB≌△ENB

    2)若AM+BM+CM的值最小,则称点M为△ABC的费马点.若点M为△ABC的费马点,试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数;

    3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费马点的简便方法:如图,分别以△ABCABAC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CEBF,设交点为M,则点M即为△ABC的费马点.试说明这种作法的依据.

    【分析】1)结合等边三角形的性质,根据SAS可证△AMB≌△ENB

    2)连接MN,由(1)的结论证明△BMN为等边三角形,所以BMMN,即AM+BM+CMEN+MN+CM,所以当ENMC四点共线时,AM+BM+CM的值最小,从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数;

    3)根据(2)中费马点的定义,又△ABC的费马点在线段EC上,同理也在线段BF上.因此线段ECBF的交点即为△ABC的费马点.

    【解答】解:(1)证明:∵△ABE为等边三角形,

    ABBE,∠ABE60°.

    而∠MBN60°,

    ∴∠ABM=∠EBN

    在△AMB与△ENB中,

    ∴△AMB≌△ENBSAS).

     

    2)连接MN.由(1)知,AMEN

    ∵∠MBN60°,BMBN

    ∴△BMN为等边三角形.

    BMMN

    AM+BM+CMEN+MN+CM

    ∴当ENMC四点共线时,AM+BM+CM的值最小.

    此时,∠BMC180°﹣∠NMB120°;

    AMB=∠ENB180°﹣∠BNM120°;

    AMC360°﹣∠BMC﹣∠AMB120°.

     

    3)由(2)知,△ABC的费马点在线段EC上,同理也在线段BF上.

    因此线段ECBF的交点即为△ABC的费马点.

    【点评】本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质,是一道综合性的题目难度很大.


     

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