2022-2023年北师大版数学八年级下册专项复习精讲精练:专题07 旋转模型(原卷版+解析版)
展开专题07 旋转模型
一、 奔驰模型
二、 费马点模型
一、奔驰模型
旋转是中考必考题型,奔驰模型是非常经典的一类题型,且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型,提升利用旋转解决问题的能力,更重要的是要明白一点 :旋转的本质是把分散的条件集中化,从而解决问题
二、费马点模型
费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点.
最值问题是中考常考题型,费马点属于几何中的经典题型,目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来,所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的.
一、 奔驰模型
一.选择题(共3小题)
1.(2022春•历城区期中)如图,将△ABC绕点A逆时针方向旋转110°,得到△AB'C',若点B'在线段BC的延长线上,则∠BB'C'的度数为( )
A.80° B.75° C.70° D.65°
【分析】根据旋转的性质求出∠BB'A和∠AB'C'的度数即可解决问题.
【解答】解:根据旋转的性质可知∠BAB'=110°,且AB=AB',∠B=∠AB'C'.
∵点B'在线段BC的延长线上,
∴∠BB'A=∠B=35°.
∴∠AB'C'=35°.
∴∠BB'C'=∠BB'A+∠AB'C'=35°+35°=70°.
故选:C.
【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
2.(2022春•顺德区校级期中)如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=22.5°,将△ABC绕若点C顺时针旋转,使得点A的对应点D落在边BC上,点B的对应点是点E,连接BE.下列说法中,正确的有( )①DE⊥AB;②∠BCE是旋转角;③∠BED=30°;④△BDE与△CDE面积之比是.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】由旋转的性质可得AC=DC,BC=CE,∠ABC=∠CED=22.5°,∠BCE是旋转角,可判断①②,由等腰三角形的性质可判断③④.
【解答】解:如图,连接AD,延长ED交AB于点F,
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转,使得点A的对应点D落在边BC上,
∴AC=DC,BC=CE,∠ABC=∠CED=22.5°,∠BCE是旋转角,
∵∠ABC+∠BAC=90°,
∴∠BAC+∠CED=90°,
∴∠AFE=90°,
∴DE⊥AB,
故①②正确;
∵∠BCE=90°,BC=CE,
∴∠BEC=45°,
∴∠BED=∠BEC﹣∠CED=22.5°,
故③错误;
∵AC=CD,
∴AD=CD,∠DAC=∠ADC=45°,
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD,
∴∠ABC=∠BAD=22.5°,
∴AD=BD=CD,
∴△BDE与△CDE面积之比是 :1.
故④正确.
故选:C.
【点评】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,熟练运用旋转的性质是本题的关键.
3.(2022春•顺德区期中)如图,等边△ABC中有一点P,且PA=3,PB=4,PC=5,则∠APB的度数的为( )
A.150° B.135° C.120° D.165°
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,根据旋转的性质得BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,根据等边三角形的性质得到PE=PB=4,∠BPE=60°,根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形,且∠APE=90°,即可得到∠APB的度数.
【解答】解:∵△ABC为等边三角形,
∴BA=BC,
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,
连EP,如图,
∴BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,
∴△BPE为等边三角形,
∴PE=PB=4,∠BPE=60°,
在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,
∴AE2=PE2+PA2,
∴△APE为直角三角形,且∠APE=90°,
∴∠APB=90°+60°=150°.
故选:A.
【点评】本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理,求得∠APE=90°是解题的关键.
二.填空题(共7小题)
4.(2022秋•长汀县期中)如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A'OB',若∠AOB=15°,则∠AOB'的度数是 35° .
【分析】根据旋转的性质可知,旋转角等于60°,从而可以得到∠BOB′的度数,由∠AOB=15°可以得到∠AOB′的度数.
【解答】解:∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A′OB′,
∴∠BOB′=50°.
∵∠AOB=15°,
∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=50°﹣15°=35°.
故答案为:35°.
【点评】本题考查旋转的性质,解题的关键明确旋转角是什么,对应边旋转前后的夹角是旋转角.
5.(2022春•盐湖区期中)如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论:
①△AED≌△AEF;②BE+DC=DE;③BE2+DC2=DE2.
其中正确的是 ①③ .(填序号)
【分析】首先根据旋转的性质可得∠FAD=90°,DC=BF,∠FBE=90°,AD=AF,接下来结合全等三角形的判定定理可得△AED≌△AEF;然后利用全等三角形的性质与勾股定理进行解答即可.
【解答】解:∵△ADC绕点A顺时针90°旋转后,得到△AFB,
∴∠FAD=90°,DC=BF,∠FBE=90°,AD=AF.
∵∠DAE=45°,
∴∠EAF=90°﹣45°=45°,
∴△AED≌△AEF(SAS),
∴EF=ED.
在Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,
∴BE2+DC2=DE2.
∴①③正确.
故答案为:①③.
【点评】本题侧重考查关于旋转的题目,解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质.
6.(2022春•崇仁县期中)如图,把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE,若∠A=35°,则∠ADE为 125° .
【分析】先根据旋转的性质得∠E=∠A=35°,∠ACE=90°,然后根据三角形外角性质求∠ADE的度数.
【解答】解:∵△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE,
∴∠E=∠A=35°,∠ACE=90°,
∴∠ADE=∠E+∠DCE=35°+90°=125°.
故答案为:125°.
【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等
7.(2022春•相城区校级期中)如图,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使∠BAB′=50°,则∠ACC′的度数为 65 °.
【分析】首先根据性质得到∠CAC′、∠BAB′都是旋转角且相等,然后利用等腰三角形的性质即可求解.
【解答】解:∵将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置,∠BAB′=50°,
∴∠CAC′=∠BAB′=50°,CA=CA′
∴∠ACC′=∠AC′C=(180°﹣50°)=65°.
故答案为:65.
【点评】本题考查了旋转的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.
8.(2022春•福鼎市期中)如图,P是等边三角形ABC内的一点,且PA=3,PB=4,PC=5,以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA,连接PQ,则以下结论中正确有 ①②③ (填序号)
①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB=150° ④∠APC=120°
【分析】①根据△ABC是等边三角形,得出∠ABC=60°,根据△BQC≌△BPA,得出∠CBQ=∠ABP,PB=QB=4,PA=QC=3,∠BPA=∠BQC,求出∠PBQ=60°,即可判断①;
②根据勾股定理的逆定理即可判断得出②;
③根据△BPQ是等边三角形,△PCQ是直角三角形即可判断;
④求出∠APC=150°﹣∠QPC,和PC≠2QC,可得∠QPC≠30°,即可判断④.
【解答】解:①∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∵△BQC≌△BPA,
∴∠CBQ=∠ABP,PB=QB=4,
PA=QC=3,∠BPA=∠BQC,
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,
∴△BPQ是等边三角形,
所以①正确;
②PQ=PB=4,
PQ2+QC2=42+32=25,
PC2=52=25,
∴PQ2+QC2=PC2,
∴∠PQC=90°,
∴△PCQ是直角三角形,
所以②正确;
③∵△BPQ是等边三角形,
∴∠PQB=∠BPQ=60°,
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°,
所以③正确;
④∠APC=360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC=150°﹣∠QPC,
∵∠PQC=90°,PC≠2QC,
∴∠QPC≠30°,
∴∠APC≠120°.
所以④错误.
所以正确的有①②③.
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理,解决本题的关键是综合应用以上知识.
9.(2021春•聊城期中)如图,点P是等边△ABC内的一点,PA=6,PB=8,PC=10.若点P′是△ABC外的一点,且△P′AB≌△PAC,则∠APB的度数为 150° .
【分析】连接PP′,由△PAC≌△P′AB可知:PA=P′A,∠P′AB=∠PAC,然后依据等式的性质可得到∠P′AP=∠BAC=60°,从而可得到△APP′为等边三角形,得∠APP′=60°,在△PP′B中,用勾股定理逆定理证出直角三角形,得出∠P′PB=90°,可求∠APB的度数.
【解答】解:连接PP′,
由旋转可知,△PAC≌△P′AB,
∴PA=P′A,∠P′AB=∠PAC,
∴∠P′AP=∠BAC=60°,
∴△APP′为等边三角形,
∴PP′=AP=AP′=6;
∵PP′2+BP2=BP′2,
∴△BPP′为直角三角形,且∠BPP′=90°,
∴∠APB=90°+60°=150°.
故答案为:150°.
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用,证得△APP′为等边三角形、△BPP′为直角三角形是解题的关键.
10.(2022秋•黄骅市校级期中)如图,设P是等边△ABC内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,则∠APB的度数是 150° .
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,根据旋转的性质得BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,则△BPE为等边三角形,得到PE=PB=4,∠BPE=60°,在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形,且∠APE=90°,即可得到∠APB的度数.
【解答】解:∵△ABC为等边三角形,
∴BA=BC,
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,
连EP,如图,
∴BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,
∴△BPE为等边三角形,
∴PE=PB=4,∠BPE=60°,
在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,
∴AE2=PE2+PA2,
∴△APE为直角三角形,且∠APE=90°,
∴∠APB=90°+60°=150°.
故答案为150°.
【点评】本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理.
三.解答题(共1小题)
11.(2021春•高州市期中)如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB.
(1)求点P与点P′之间的距离;
(2)求∠APB的度数.
【分析】(1)由已知△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB,可得△PAC≌△P′AB,PA=P′A,旋转角∠P′AP=∠BAC=60°,所以△APP′为等边三角形,即可求得PP′;
(2)由△APP′为等边三角形,得∠APP′=60°,在△PP′B中,已知三边,用勾股定理逆定理证出直角三角形,得出∠P′PB=90°,可求∠APB的度数.
【解答】解:(1)连接PP′,由题意可知BP′=PC=10,AP′=AP,
∠PAC=∠P′AB,而∠PAC+∠BAP=60°,
所以∠PAP′=60度.故△APP′为等边三角形,
所以PP′=AP=AP′=6;
(2)利用勾股定理的逆定理可知:
PP′2+BP2=BP′2,所以△BPP′为直角三角形,且∠BPP′=90°
可求∠APB=90°+60°=150°.
【点评】本题考查旋转的性质,旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变.
二、 费马点模型
一.选择题(共1小题)
1.(2022春•山亭区期中)如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为( )
A.40° B.30° C.50° D.65°
【分析】根据两直线平行,内错角相等可得∠ACC′=∠CAB,根据旋转的性质可得AC=AC′,然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′,再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答.
【解答】解:∵CC′∥AB,
∴∠ACC′=∠CAB=65°,
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′,
∴AC=AC′,
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°,
∴∠CAC′=∠BAB′=50°.
故选:C.
【点评】本题考查了旋转的性质,等腰三角形两底角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.
二.填空题(共1小题)
2.(2022秋•洪山区校级期中)如图,以等边△ABC的一边BC为底边作等腰△BCD,已知AB=3,,且∠BDC=120°,在△BCD内有一动点P,则PB+PC+PD的最小值为 .
【分析】将△PBC绕点B逆时针旋转60°后,得到△P′BA,连接PP′、AD,根据旋转性质可得∠PBP′=60°,PB=P′B,PC=P′A,以此得到PB=PP′,根据两点之间线段最短得PB+PC+PD=PP′+P′A+PD≥AD,根据等边三角形和等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°,再根据勾股定理即可求解.
【解答】解:如图,将△PBC绕点B逆时针旋转60°后,得到△P′BA,连接PP′、AD,
根据旋转的性质得,∠PBP′=60°,PB=P′B,PC=P′A,
∴△PBP′为等边三角形,
∴PB=PP′,
∴PB+PC+PD=PP′+P′A+PD,
∵PP′+P′A+PD≥AD,
∴当A、P′、P、D四点共线时,PB+PC+PD有最小值,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∵△BCD为等腰三角形,∠BDC=120°,
∴∠CBD=30°,
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°,
在Rt△ABD中,AB=3,BD=,∠ABD=90°,
由勾股定理得AD==.
∴PB+PC+PD的最小值为.
故答案为:.
【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短、勾股定理,正确作出辅助线,利用两点之间线段最短得到PB+PC+PD≥AD是解题关键.
三.解答题(共2小题)
3.(2021秋•北碚区校级期中)如图1,D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点,连接AD、BE、CF,三条线段两两分别相交于D、E、F.已知AF=BD,∠EDF=60°.
(1)证明:EF=DF;
(2)如图2,点M是ED上一点,连接CM,以CM为边向右作△CMG,连接EG.若EG=EC+EM,CM=GM,∠GMC=∠GEC,证明:CG=CM.
(3)如图3,在(2)的条件下,当点M与点D重合时,若CD⊥AD,GD=4,请问在△ACD内部是否存在点P使得P到△ACD三个顶点距离之和最小,若存在请直接写出距离之和的最小值;若不存在,试说明理由.
【分析】(1)可先推出∠CAF=∠ABD,再证△ACF≌△BAD,即可得出结论;
(2)在EF上截取EN=EM,连接MN,可推出△EMN是等边三角形,可证△NCM≌△EGM,然后推出△CMG是等边三角形,从而问题得证;
(3)先求得AD=,将△DPC绕点D顺时针旋转60°至△DQG,连接AG,可得△PDQ是等边三角形,于是AP+PD+CP=AP+PQ+QG,故当A、P、Q、G共线时,AP+PD+CP最小=AG,最后解斜三角形ADG,从而求得.
【解答】(1)证明:如图1,
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=AB,
∠ACB=60°,
∴∠CAF+∠DAB=60°,
∵∠EDF=60°,
∴∠DAB+∠ABD=60°,
∴∠CAF=∠ABD,
∵AF=BD,
∴△ACF≌△BAD(SAS),
∴EF=DF;
(2)证明:如图2,
由(1)知,
EF=DF,∠EDF=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴∠DEF=60°,
在EF上截取EN=EM,连接MN,
∴CN=CE+EN=CE+EM=EG,
∴△EMN是等边三角形,
∴∠CNM=60°,
∵∠GMC=∠GEC,∠α=∠β,
∴∠NCM=∠EGM,
∵CM=GM,
∴△NCM≌△EGM(SAS),
∴∠MEG=∠CNM=60°,
∴∠CEG=180°﹣∠MEG﹣∠FED=60°,
∴∠GME=∠GEC=60°,
∵CM=GM,
∴△CMG是等边三角形,
∴CG=CM;
(3)解:如图3,
由(1)(2)知,
△DEF和△CDG是等边三角形,
∴∠CFD=60°,CD=GD=4,
∵CD⊥AD,
∴∠CDF=90°,
∴AD=CF==,
将△DPC绕点D顺时针旋转60°至△DQG,连接AG,
∴AD=DQ,CP=QG,
∴△PDQ是等边三角形,
∴PD=PQ,
∴AP+PD+CP=AP+PQ+QG,
∴当A、P、Q、G共线时,AP+PD+CP最小=AG,
作GH⊥AD于H,
在Rt△DGH中,
GH=DG=2,
DH=DG=2,
∴AH=AD+DH=+2=,
∴AG=
=
=,
∴AP+PD+CP的最小值是.
【点评】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,旋转的性质和应用等知识,解决问题的关键是掌握“费马点”模型及“截长补短”等题型.
4.(2022秋•静安区校级期中)如图①,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.
(1)求证:△AMB≌△ENB;
(2)若AM+BM+CM的值最小,则称点M为△ABC的费马点.若点M为△ABC的费马点,试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数;
(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费马点的简便方法:如图②,分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CE、BF,设交点为M,则点M即为△ABC的费马点.试说明这种作法的依据.
【分析】(1)结合等边三角形的性质,根据SAS可证△AMB≌△ENB;
(2)连接MN,由(1)的结论证明△BMN为等边三角形,所以BM=MN,即AM+BM+CM=EN+MN+CM,所以当E、N、M、C四点共线时,AM+BM+CM的值最小,从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数;
(3)根据(2)中费马点的定义,又△ABC的费马点在线段EC上,同理也在线段BF上.因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点.
【解答】解:(1)证明:∵△ABE为等边三角形,
∴AB=BE,∠ABE=60°.
而∠MBN=60°,
∴∠ABM=∠EBN.
在△AMB与△ENB中,
∵,
∴△AMB≌△ENB(SAS).
(2)连接MN.由(1)知,AM=EN.
∵∠MBN=60°,BM=BN,
∴△BMN为等边三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
∴当E、N、M、C四点共线时,AM+BM+CM的值最小.
此时,∠BMC=180°﹣∠NMB=120°;
∠AMB=∠ENB=180°﹣∠BNM=120°;
∠AMC=360°﹣∠BMC﹣∠AMB=120°.
(3)由(2)知,△ABC的费马点在线段EC上,同理也在线段BF上.
因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点.
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质,是一道综合性的题目难度很大.
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