高考数学真题专题训练 01集合与常用逻辑用语（含解析）

专题01 集合与常用逻辑用语

1.（新课标Ⅰ）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ）

A. –4 B. –2 C. 2 D. 4

【答案】B

【解析】求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得：.

由于，故：，解得：.

2.（新课标Ⅱ）已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（    ）

A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3}

【答案】A

【解析】由题意可得：，则.

3.（新课标Ⅲ）已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

【答案】C

【解析】由题意，中的元素满足，且，

由，得，

所以满足的有，

故中元素的个数为4.

4.（北京卷）已知集合，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】，

5.（山东卷）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（    ）

A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3}

C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4}

【答案】C

【解析】

6.（天津卷）设全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】由题意结合补集的定义可知：，则.

故选C.

7.（山东卷）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（    ）

A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3}

C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4}

【答案】C

【解析】

8.（浙江卷）已知集合P=，，则PQ=（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

9.（天津卷）设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

10.（北京卷）已知，则“存在使得”是“”的（    ）．

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】(1)当存在使得时，

若为偶数，则；

若为奇数，则；

(2)当时，或，，即或，

亦即存在使得．

所以，“存使得”是“”的充要条件.

11.（浙江卷）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】依题意是空间不过同一点的三条直线，

当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.

当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.

综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.

12.（江苏卷）已知集合，则_____.

【答案】

【解析】∵,

∴

13.（新课标Ⅱ）设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是__________.

①②③④

【答案】①③④

【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，

同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题，若直线平面，

则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，

命题为真命题.

综上可知，为真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故答案为：①③④.

1．【全国Ⅰ卷】已知集合，则=

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】由题意得，

则．故选C。

2．【全国Ⅱ卷】设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=

A．(–∞，1) B．(–2，1)    

C．(–3，–1) D．(3，+∞)

【答案】A

【解析】由题意得，或，，则=(–∞，1)，故选A。

3．【全国Ⅲ卷】已知集合，则

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】∵∴，∴，

又，∴，故选A。

4．【天津卷】设集合，则(A∩C)∪B＝

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】因为A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}，故选D。

5．【浙江卷】已知全集，集合，，则=

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵，∴，故选A。

6．【浙江卷】若a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；

当时，满足，但此时，必要性不成立，

综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

故选A.

7．【天津卷】设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由可得，由可得，

易知由推不出，

由能推出，

故是的必要而不充分条件，

即“”是“”的必要而不充分条件.

故选B.

8．【全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行           B．α内有两条相交直线与β平行    

C．α，β平行于同一条直线              D．α，β垂直于同一平面

【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B．

9．【北京卷】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】∵A､B､C三点不共线，∴|+|>|||+|>|-|

|+|2>|-|2·>0与的夹角为锐角，

故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件.

故选C.

10．【江苏卷】已知集合，，则  ▲   .

【答案】

【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.

由题意知，.

1．【全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行           B．α内有两条相交直线与β平行    

C．α，β平行于同一条直线              D．α，β垂直于同一平面

【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；

由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.

故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.

故选B．

2．【北京卷】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】∵A､B､C三点不共线，∴|+|>|||+|>|-|

|+|2>|-|2·>0与的夹角为锐角，

故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件.

故选C.

3．【浙江卷】已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则

A．  B．{1，3}

C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}

【答案】C

【解析】因为全集，，

所以根据补集的定义得.

故选C．

4．【全国Ⅰ卷】已知集合，则

A．            B．  

C． D．  

【答案】B

【解析】解不等式得，所以，

所以可以求得.

故选B．

12．【全国Ⅲ卷】已知集合，，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】易得集合,

所以.

故选C．

5．【天津卷】设全集为R，集合，，则 

A．    B．  

C．     D．

【答案】B

【解析】由题意可得：，

结合交集的定义可得：.

故选B.

6．【全国Ⅱ卷】已知集合，则中元素的个数为

A．9 B．8

C．5 D．4

【答案】A

【解析】，

当时，；

当时，；

当时，,

所以共有9个元素.

选A．

7．【北京卷】已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则AB=

A．{0，1}        B．{–1，0，1}

C．{–2，0，1，2}      D．{–1，0，1，2}

【答案】A

【解析】

因此AB=.

故选A.

8．【浙江卷】已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.

由不能得出与内任一直线平行，

所以是的充分不必要条件.

故选A.

9．【天津卷】设，则“”是“”的  

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】绝对值不等式 ，

由 .

据此可知是的充分而不必要条件.

故选A.

10．【北京卷】设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】，

因为a，b均为单位向量，所以，

即“”是“a⊥b”的充分必要条件.

故选C.

11．【江苏卷】已知集合，，那么________．

【答案】{1，8}

【解析】由题设和交集的定义可知：.

12．【北京卷】能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

【答案】 （答案不唯一）

【解析】对于，其图象的对称轴为，

则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，

但f（x）在［0，2］上不是单调函数.

1．【全国Ⅰ卷】已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由可得，则，即，

所以，

.

故选A．

2．【全国Ⅱ卷】设集合，．若，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由得，

即是方程的根，所以，

.

故选C．

3．【全国Ⅲ卷】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为

A．3 B．2

C．1 D．0

【答案】B

【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.

4．【北京卷】若集合A={x|–2<x<1}，B={x|x<–1或x>3}，则AB=

A．{x|–2<x<–1} B．{x|–2<x<3}

C．{x|–1<x<1} D．{x|1<x<3}

【答案】A

【解析】利用数轴可知.故选A.

5．【浙江卷】已知集合，，那么

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用数轴，取中的所有元素，得．

故选A.

6．【天津卷】设集合，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】.故选B．

7．【山东卷】设函数的定义域为，函数的定义域为,则

A．（1,2）          B．

C．（-2,1）          D．[-2,1)

【答案】D

【解析】由得，由得，故.故选D.

8．【浙江卷】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充分必要条件，故选C．

27．【北京卷】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，

即不一定存在负数，使得，所以“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件.

故选A.

9．【山东卷】已知命题p：；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是

A．          B．

C．           D．

【答案】B

【解析】由时得，知p是真命题.由但可知q是假命题，则是真命题，故选B.

10．【全国Ⅰ卷】设有下面四个命题

：若复数满足，则；

：若复数满足，则；

：若复数满足，则；

：若复数，则.

其中的真命题为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令，则由得，所以，故正确；

当时，因为，而知，故不正确；

当时，满足，但，故不正确；

对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.

11．【江苏卷】已知集合，，若，则实数的值为   ▲   ．

【答案】1

【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1。

1.【新课标1卷】设集合  ,,则 （   ）

（A）    （B）   （C）   （D）

【答案】D

【解析】因为所以故选D.

2.【新课标3卷】设集合 ，则（     ）

(A) [2，3]       (B)（- ，2] [3,+）     (C) [3,+）   (D)（0，2] [3,+）

【答案】D

【解析】由解得或，所以，所以，故选D．

3.【四川卷】设集合，Z为整数集，则中元素的个数是（   ）

（A）3      （B）4        （C）5      （D）6

【答案】C

【解析】由题意，，故其中的元素个数为5，选C.

4.【山东卷】设集合 则=（   ）

（A）    （B）   （C）  （D）

【答案】C

【解析】，，则，选C.

5.【新课标2卷】已知集合，，则（    ）（A）            （B）          （C）         （D）

【答案】C

【解析】集合，而，所以，故选C.

6.【北京卷】已知集合，，则（      ）

A.B.      C.    D.

【答案】C

【解析】由，得，故选C.

7.【浙江卷】已知集合 则（   ）

A．[2,3]          B．( -2,3 ]         C．[1,2)           D．

【答案】B

【解析】根据补集的运算得．故选B．

8. 【浙江卷】命题“，使得”的否定形式是（   ）

A．，使得               B．，使得

C．，使得                D．，使得

【答案】D

【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．

9.【山东卷】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（   ）

（A）充分不必要条件        （B）必要不充分条件   

（C）充要条件               （D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】直线a与直线b相交,则一定相交,若相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A.

10.【天津卷】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n−1+a2n<0”的（    ）

（A）充要条件           （B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件   （D）既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.

11.【天津卷】已知集合则=（   ）

（A）  （B）  （C）  （D）

【答案】D

【解析】选D.

12.【江苏卷】已知集合则____▲_____.

【答案】

【解析】

13.【上海卷】设，则“”是“”的（    ） 

（A）充分非必要条件         （B）必要非充分条件

（C）充要条件               （D）既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】，所以是充分非必要条件，选A.

14．【山东卷】设集合 则=

（A）    （B）   （C）  （D）

【答案】C

【解析】，，则，选C.