北师大版七年级下册第一章 整式的乘除6 完全平方公式课后练习题

北师大版七年级数学下册《1.6完全平方公式》自主达标测试题（附答案）

一．选择题（共7小题，满分35分）

1．若x2﹣2mx+16是完全平方式，则m的值等于（　　）

A．2 B．2或﹣2 C．4或﹣4 D．8或﹣8

2．计算（a+b）2﹣（a﹣b）2的结果是（　　）

A．4ab B．2ab C．2a2 D．2b2

3．若a+b＝﹣3，ab＝﹣10，则a﹣b的值是（　　）

A．0或7 B．0或﹣13 C．﹣7或7 D．﹣13或13

4．若实数m，n满足m2+n2＝4+2mn，m+n＝4．则mn的值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4

5．小刚把（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，把（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．4043 D．﹣4043

6．如图，某底板外围呈正方形，其中央是边长为x米的空白小正方形，空白小正方形的四周铺上小块正方形花岗石（即阴影部分），恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石，则边长x的值是（　　）

A．3米 B．3.2米 C．4米 D．4.2米

7．四张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a+b的正方形，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．a2+2b2 B．2ab﹣b2 C．2a2﹣b2 D．a2+b2

二．填空题（共7小题，满分35分）

8．已知B是含字母x的单项式，要使是完全平方式，那么B＝　   　．

9．若x，y满足（2x+4y﹣1）（x+2y+2）＝0，则x+2y＝　   　．

10．已知x+y＝6，xy＝7，那么（3x+y）2+（x+3y）2的值为 　   　．

11．计算：（a﹣b+2c）2＝　   　．

12．一个长方形的面积为10，设长方形的边长为a和b，且a2+b2＝29，则长方形的周长为 　   　．

13．若n满足（n﹣2022）2+（2023﹣n）2＝1，则（2023﹣n）（n﹣2022）的值是 　   　．

14．如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为26cm2，那么长方形ABCD的面积是 　   　．

三．解答题（共8小题，满分50分）

15．计算：（2a+b）（a﹣2b）﹣2（a﹣b）2．

16．已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．

（1）求x2+y2的值；

（2）求（x﹣y）2的值．

17．【初试锋芒】若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；

【再展风采】已知4a2+b2＝57，ab＝6，求2a+b的值；

【尽显才华】若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）2+（x﹣30）2的值是 　   　．

18．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．

（1）请你检验这个等式的正确性；

（2）若a＝2020，b＝2021，c＝2022，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？

19．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）

（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是．

（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，，求x﹣y的值．

（3）变式应用：若（2020﹣m）2+（m﹣2021）2＝7，求（2020﹣m）（m﹣2021）．

20．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；

解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；

（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝　   　；

②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　   　．

（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．

参考答案

一．选择题（共7小题，满分35分）

1．解：∵（x±4）2＝x2±8x+16，

∴﹣2m＝±8，

∴m＝±4，

故选：C．

2．解：原式＝[（a+b）+（a﹣b）][（a+b）﹣（a﹣b）]

＝2a•2b

＝4ab．

故选：A．

3．解：∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，

∴（a﹣b）2＝（﹣3）2﹣4×（﹣10）＝49，

∴a﹣b＝±7．

故选：C．

4．解：∵m+n＝4，

∴（m+n）2＝16，

∴m2+2mn+n2＝16，

∵m2+n2＝4+2mn，

∴4+2mn+2mn＝16，

∴4mn＝12，

∴mn＝3．

故选：A．

5．解：∵（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，

∴a＝20222，

∵（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，

∴m＝20212，

∴a﹣m＝20222﹣20212＝（2022+2021）（2022﹣2021）＝4043，

故选：C．

6．解：阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，

即（3.2+x+3.2）2﹣x2＝（3.2+x+3.2﹣x）（3.2+x+3.2+x）＝6.4×（6.4+2x）＝144×0.8×0.8，

解得：x＝4，

故选：C．

7．解：由图知，阴影部分的面积＝（a+b）2﹣×b×（a+b）﹣a×b﹣×b×（a+b）﹣a×b﹣（a﹣b）2，

整理得阴影部分的面积＝2ab﹣b2，

故选：B．

二．填空题（共7小题，满分35分）

8．解：∵（x±）2＝x2±x+，

∴B＝±x，

故答案为：±x．

9．解：∵（2x+4y﹣1）（x+2y+2）＝0，

∴2x+4y﹣1＝0或x+2y+2＝0，

∴或x+2y＝﹣2；

故答案为：或﹣2．

10．解：原式＝9x2+6xy+y2+x2+6xy+9y2

＝10x2+12xy+10y2

＝10（x2+y2）+12xy

＝10（x+y）2﹣8xy，

当x+y＝6，xy＝7，原式＝10×62﹣8×7＝304．

故答案为：304．

11．解：原式＝（a﹣b）2+4c（a﹣b）+4c2＝a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．

故答案为：a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．

12．解：由于长方形的面积为10，长方形的边长为a和b，所以ab＝10，

∵a2+b2＝29，

∴（a+b）2﹣2ab＝29，

即（a+b）2＝29+2ab，

∴（a+b）2＝49，

∵a＞0，b＞0，

∴a+b＝7，

∴2（a+b）＝14，

即周长为14，

故答案为：14．

13．解：∵（n﹣2022）2+（2023﹣n）2＝[（n﹣2022）+（2023﹣n）]2﹣2（n﹣2022）（2023﹣n）＝1，

∴12﹣2（n﹣2022）（2023﹣n）＝1，

∴（2023﹣n）（n﹣2022）＝0．

故答案为：0．

14．解：∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为26cm2，

∴AB2+AD2＝26，

∵长方形ABCD的周长是12cm，

∴AB+AD＝×12＝6，

∴（AB+AD）2＝36，

∴AB2+AD2+2AB•AD＝36，

∴AB•AD＝5，

∴长方形ABCD的面积是5cm2．

故答案为：5cm2．

三．解答题（共6小题，满分50分）

15．解：原式＝2a2﹣4ab+ab﹣2b2﹣2（a2﹣2ab+b2）

＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣2a2+4ab﹣2b2

＝ab﹣4b2．

16．解：（1）∵x+y＝﹣5，xy＝﹣3，

∴x2+y2

＝（x+y）2﹣2xy

＝（﹣5）2﹣2×（﹣3）

＝25+6

＝31；

（2）∵xy＝﹣3，x2+y2＝31，

∴（x﹣y）2

＝x2+y2﹣2xy

＝31﹣2×（﹣3）

＝37．

17．解：（1）x+y＝8，x2+y2＝40，

xy＝[（x+y）2﹣x2﹣y2]×＝（82﹣40）×＝12；

（2）4a2+b2＝57，ab＝6，

（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝81，

∴2a+b＝±9；

（3）设a＝20﹣x，b＝x﹣30，

则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，

a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝﹣10，

所以（20﹣x）2+（x﹣30）2

＝a2+b2

＝（a+b）2﹣2ab

＝（﹣10）2﹣2×10

＝80．

18．解：（1）

＝

＝

＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac．

∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]．

（2）由（1）得，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]．

当a＝2020，b＝2021，c＝2022时，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝＝3．

19．解：（1）∵图2面积可表示为（a+b）2或（a﹣b）2+4ab，

∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；

（2）由（1）题结论（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab可得，

（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，

∴a﹣b＝±，

∴当x+y＝5，时，

x﹣y＝±4，

（3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，

∴ab＝，

∴当（2020﹣m）2+（m﹣2021）2＝7时，

（2020﹣m）（m﹣2021）

＝

＝

＝

＝﹣3．

20．解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝24，

∴xy＝12．

（2）①令a＝4﹣x，b＝x，

则a+b＝4，ab＝5，

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\，

∴（4﹣x）2+x2＝6，

故答案为：6．

②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，

则a﹣b＝﹣1，ab＝8，

∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17，

∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17，

故答案为：17．

（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，

令a＝25﹣x，b＝15﹣x，

则：a﹣b＝10，ab＝200，

∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500，

∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500，

所以阴影部分的面积和为500平方米．