2023年人教版数学八年级下册期末复习《图形的折叠问题》专项复习(含答案)

2023年人教版数学八年级下册期末复习

《图形的折叠问题》专项复习

一              、选择题

1.如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为(　　)

A.20°      B.30°    C.35°     D.55°

2.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝(  )

A.4cm                                                     B.6cm                                                       C.8cm                                                      D.10cm

3.如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE.若BE平分∠ABC，且AB＝5，BE＝4，则AE＝(       )

A.2                         B.3                           C.4                            D.5

4.在△ABC中，AB＝10，AC＝12，BC＝9，AD是BC边上的高，将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为(　　)

A.9.5         B.10.5         C.11         D.15.5

5.如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E.如果AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为(　　)

A.7cm       B.10cm       C.12cm       D.22cm

6.如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(　　)

A.8 cm         B.5 cm         C.5.5 cm         D.1 cm

二              、填空题

7.如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为　      　.

8.如图，将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2 cm，∠BAD＝120°，则EF的长为         .

9.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为　         

10.把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E、F两点均在BD上)，折痕分别为BH、DG．若AB＝6cm，BC＝8cm，则线段FG的长为     

11.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF面积为________.

12.把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处(如图二)．已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为______．
 

三              、解答题

13.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已AB＝32cm，BC＝40cm，求CE的长.

14.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处.

(1)求EF的长；

(2)求四边形ABCE的面积.

15.如图①，将矩形ABCD沿DE折叠使点A落在A′处，然后将矩形展平，如图②沿EF折叠使点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处.

(1)求证：EG＝CH；

(2)已知AF＝，求AD和AB的长.

16.如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.

(1)当m＝3时，点B的坐标为_________，点E的坐标为_________； 

(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上?若能，请求出m的值；若不能，请说明理由.

17.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H.

(1)求证：四边形AFHG为正方形；

(2)若BD＝6，CD＝4，求AB的长.

18.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.

(1)求证：四边形CEFG是菱形；

(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积.

19.在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．

(1)如图1，求证：AE⊥BF；

(2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB＝4，

求QF的值.

20.如图1，在△OAB中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

(1)求点B的坐标；

(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；

(3)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

21.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝12 cm，AD＝20 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.

(1)求证：四边形BFEP为菱形；

(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动；

①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；

②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.

图1　　　　　　　　　图2

参考答案

1.A.

2.A

3.B.

4.D.

5.C.

6.A

7.答案为：36°.

8.答案为：(cm).

9.答案为：(10，3)．

10.答案为：3cm.

11.答案为：2.

12.答案为：28.8.

13.解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝40cm，DC＝AB＝32cm；∠B＝90°，

由题意得：AF＝AD＝40cm；

DE＝EF(设为x)，EC＝40﹣x；

由勾股定理得：BF2＝402﹣322＝576，

∴BF＝24，CF＝40﹣24＝16；

由勾股定理得：x2＝162＋(40﹣x)2，解得：x＝23.2，

∴EC＝32﹣23.2＝8.8.

14.解：(1)设EF＝x依题意知：△CDE≌△CFE，

∴DE＝EF＝x，CF＝CD＝6.

∵在Rt△ACD中，AC＝10，

∴AF＝AC﹣CF＝4，AE＝AD﹣DE＝8﹣x.

在Rt△AEF中，有AE2＝AF2＋EF2

即(8﹣x)2＝42＋x2

解得x＝3，即：EF＝3.

(2)由(1)知：AE＝8﹣3＝5，

∴S梯形ABCE＝(5＋8)×6÷2＝39.

15.解：(1)证明：由折叠知△AEF≌△GEF，△BCE≌△HCE，

∵AE＝A′E＝BC，∠AEF＝∠BCE，

∴△AEF≌△BCE，

∴△GEF≌△HCE，

∴EG＝CH；

(2)∵AF＝FG＝，∠FDG＝45°，

∴FD＝2，AD＝2＋；

∵AF＝FG＝HE＝EB＝，AE＝AD＝2＋，

∴AB＝AE＋EB＝2＋＋＝2＋2.

16.解：(1)(3，4)；(0，1)

(2)点E能恰好落在x轴上.理由如下：

∵四边形OABC为长方形，

∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCE＝90°，

由折叠的性质可得DE＝BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3，AE＝AB＝OC＝m.

如图，假设点E恰好落在x轴上.

在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝2，则有OE＝OC﹣CE＝m﹣2.

在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，即42＋(m﹣2)2＝m2，解得m＝3.

17.证明：(1)∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°；

由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，

∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，

∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°；

∴∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°；

∴四边形AFHG是正方形，

解：(2)∵四边形AFHG是正方形，

∴∠BHC＝90°，

又GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4；

设AD的长为x，

则BH＝GH﹣GB＝x﹣6，CH＝HF﹣CF＝x﹣4.

在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，

∴(x﹣6)2＋(x﹣4)2＝102，解得x1＝12，x2＝﹣2(不合题意，舍去)，

∴AD＝12，

∴AB＝6.

18.证明：(1)由题意可得，△BCE≌△BFE，

∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，

∵FG∥CE，

∴∠FGE＝∠CEB，

∴∠FGE＝∠FEG，

∴FG＝FE，

∴FG＝EC，

∴四边形CEFG是平行四边形，

又∵CE＝FE，

∴四边形CEFG是菱形；

(2)∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，

∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，

∴AF＝8，

∴DF＝2，

设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，

∵∠FDE＝90°，

∴22＋(6﹣x)2＝x2，解得，x＝，

∴CE＝，

∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝×2＝.

19.证明：(1)∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF＝BE，

在△ABE和△BCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS)，

∴∠BAE＝∠CBF，

又∵∠BAE＋∠BEA＝90°，

∴∠CBF＋∠BEA＝90°，

∴∠BGE＝90°，

∴AE⊥BF；

(2)解：∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，

∴FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠CFB＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠PFB，

∴QF＝QB，

设QF＝x，PB＝BC＝AB＝4，CF＝PF＝2，

∴QB＝x，PQ＝x﹣2，

在Rt△BPQ中，

∴x2＝(x﹣2)2＋42，

解得：x＝5，即QF＝5．

20.解：(1)∵在△OAB中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB＝8，

∴OA＝4，AB＝4.

∴点B的坐标为(4，4).

(2)∵∠OAB＝90º，

∴AB⊥x轴，

∴AB∥EC.

又∵△OBC是等边三角形，

∴OC＝OB＝8.

又∵D是OB的中点，即AD是Rt△OAB斜边上的中线，

∴AD＝OD，

∴∠OAD＝∠AOD＝30º，

∴OE＝4.

∴EC＝OC－OE＝4.

∴AB＝EC.

∴四边形ABCE是平行四边形.

(3)设OG＝x，则由折叠对称的性质，得GA＝GC＝8－x. 

在Rt△OAG中，由勾股定理，得GA2=OA2+OG2，

即，解得，x＝1.

∴OG的长为1.

21. (1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，

∴点B与点E关于PQ对称，

∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF.

又∵EF∥AB，

∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，

∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，

∴四边形BFEP为菱形.

(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝20，CD＝AB＝12，∠A＝∠D＝90°.

∵点B与点E关于PQ对称，

∴CE＝BC＝20.

在Rt△CDE中，DE＝＝16，

∴AE＝AD－DE＝20－16＝4.

在Rt△APE中，AE＝4，AP＝12－PB＝12－PE，

∴EP2＝42＋(12－EP)2.

解得EP＝，

∴菱形BFEP的边长为 cm.

②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝4.

当点P与点A重合时，如图，

点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝12，

∴点E在边AD上移动的最大距离为8 cm.