2023年人教版数学八年级下册期末复习《几何解答题》专项复习(含答案)

2023年人教版数学八年级下册期末复习

《几何解答题》专项复习

1.如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC＝AD，请你说明AB2＝AC2＋BC·BD.

2.如图，在△ABC中，∠ABC＝45º，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE＝∠CBE.

(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；

(2)求证：BG2﹣GE2＝EA2.

3.如图，已知∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于P.

求证：BP2＝AP2＋BC2.
 

4.在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF.

(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；

(2)若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长.

5.如图，已知四边形ABCD为矩形，AD＝20cm、AB＝10cm.M点从D到A，P点从B到C，两点的速度都为2cm/s；N点从A到B，Q点从C到D，两点的速度都为1cm/s.若四个点同时出发.

(1)判断四边形MNPQ的形状.

(2)四边形MNPQ能为菱形吗？若能，请求出此时运动的时间；若不能，说明理由.

6.如图，已知在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于M，过M作ME⊥CD于E，∠1＝∠2．

(1)若CE＝1，求BC的长；

(2)求证：AM＝DF＋ME．

7.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．

(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；

(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG＋PH的值，并说明理由．

8.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．

(1)猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；

(2)若AB＝3，AD＝4，求线段GC的长．

9.如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.

(1)求证：EO＝FO；

(2)当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论.

(3)在(2)问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，求△ABC的面积.

10.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H.

(1)求证：四边形AFHG为正方形；

(2)若BD＝6，CD＝4，求AB的长.

11.如图(1)，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．

(1)求证：△ABD≌△FBC；

(2)如图(2)，求证：AM2＋MF2＝AF2．

12.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.

(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；

(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.

13.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD=BC.

求证：四边形EFGH是菱形.

14.如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA=BC.

（1）证明：四边形DEFG为菱形；

（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由.

15.如图，已知把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后将三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.

(1)如图1，当三角板绕点A旋转到BM＝DN时，有BM＋DN＝MN.当三角板绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

(2)当三角板绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明.

参考答案

1.证明：作AE⊥BC于E，如图所示：

则∠AEB＝∠AEC＝90°，

由勾股定理得：AB2＝AE2＋BE2，AE2＝AD2﹣DE2，

∵AC＝AD，AE⊥DC，

∴DE＝CE，

∴AB2＝AC2＋BE2﹣DE2＝AC2＋(BE＋DE)(BE﹣DE)＝AC2＋BC•BD．

2.解：(1)BH＝AC

证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90º， ∠ABC＝45º，

∴∠BCD＝45º＝∠ABC，

∴DB＝DC.

又∵∠BHD＝∠CHE，

∴∠DBH＝∠DCA，

∴△DBH≌△DCA，

∴BH＝AC.

(2)证明：连接GC，

∴GC2﹣GE2＝EC2.

∵F为BC的中点，DB＝DC，

∴DF垂直平分BC，

∴BG＝GC，

∴BG2﹣GE2＝EC2.

∵∠ABE＝∠CBE，

∴EC＝EA，

∴BG2﹣GE2＝EA2

3.证明：连接BM，如图，

∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，

∴AB2＝BC2＋AC2，则AB2﹣AC2＝BC2．

又∵在直角△AMP中，AP2＝AM2﹣MP2，

∴AB2﹣AC2＋(AM2﹣MP2)＝BC2＋(AM2﹣MP2)．

又∵AM＝CM，

∴AB2﹣AC2＋(AM2﹣MP2)＝BC2＋(MC2﹣MP2)，①

∵△APM是直角三角形，

∴AM2＝AP2＋MP2，则AM2﹣MP2＝AP2，②

∵△BPM与△BCM都是直角三角形，

∴BM2＝BP2＋MP2＝MC2＋BC2，

MC2＋BC2﹣MP2＝BM2﹣MP2＝BP2，③

把②③代入①，得AB2﹣AC2＋AP2＝BP2，

即BP2＝AP2＋BC2．

4.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AD＝CB，

在△DAE和△BCF中，AD＝BC，∠A＝∠C，AE＝CF.

∴△DAE≌△BCF(SAS)，

∴DE＝BF，

∵AB＝CD，AE＝CF，

∴AB﹣AE＝CD﹣CF，

即DF＝BE，

∵DE＝BF，BE＝DF，

∴四边形DEBF是平行四边形；

(2)∵AB∥CD，

∴∠DFA＝∠BAF，

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠BAF，

∴∠DAF＝∠AFD，

∴AD＝DF，

∵四边形DEBF是平行四边形，

∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，

∴AD＝5，

∵AE＝3，DE＝4，

∴AE2＋DE2＝AD2，

∴∠AED＝90°，

∵DE∥BF，

∴∠ABF＝∠AED＝90°，

∴AF＝4.

5.解：(1)四边形MNPQ是平行四边形. 理由如下：

在矩形ABCD中，AD＝BC＝20cm，AB＝CD＝10cm，且∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.

设运动时间为t秒，则AN＝CQ＝t cm，BP＝DM＝2t cm.

∴BN＝DQ＝(10﹣t)cm，CP＝AM＝(20﹣2t)cm.

由勾股定理可得，NP＝，MQ＝

∴NP＝MQ.

同理，可得MN＝PQ.

∴四边形MNPQ是平行四边形.

(2)能.理由如下：

∵当四边形MNPQ能为菱形时，NP＝QP，

∴＝，

∴＝，解得 t＝5.

即四边形MNPQ能为菱形时，运动时间是5 s.

6.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴∠1＝∠ACD，

∵∠1＝∠2，

∴∠ACD＝∠2，

∴MC＝MD，

∵ME⊥CD，

∴CD＝2CE，

∵CE＝1，

∴CD＝2，

∴BC＝CD＝2；

(2)证明：如图，∵F为边BC的中点，

∴BF＝CF＝BC，

∴CF＝CE，

在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，

∴∠ACB＝∠ACD，

在△CEM和△CFM中，

∵，

∴△CEM≌△CFM(SAS)，

∴ME＝MF，

延长AB交DF的延长线于点G，

∵AB∥CD，

∴∠G＝∠2，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠G，

∴AM＝MG，

在△CDF和△BGF中，

∵

∴△CDF≌△BGF(AAS)，

∴GF＝DF，由图形可知，GM＝GF＋MF，

∴AM＝DF＋ME．

7.解：(1)△AED≌△CEB′

证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴B′C＝BC＝AD，∠B′＝∠B＝∠D＝90°，

又∵∠B′EC＝∠DEA，

∴△AED≌△CEB′；

(2)由折叠的性质可知，∠EAC＝∠CAB，

∵CD∥AB，

∴∠CAB＝∠ECA，

∴∠EAC＝∠ECA，

∴AE＝EC＝8﹣3＝5．在△ADE中，AD＝4，

延长HP交AB于M，则PM⊥AB，

∴PG＝PM．

∴PG＋PH＝PM＋PH＝HM＝AD＝4．

8.解：(1)GF＝GC．理由如下：连接GE，

∵E是BC的中点，

∴BE＝EC，

∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE＝EF，

∴EF＝EC，

∵在矩形ABCD中，

∴∠C＝90°，

∴∠EFG＝90°，

∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，

∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL)，

∴GF＝GC；

(2)设GC＝x，则AG＝3＋x，DG＝3﹣x，

在Rt△ADG中，

42＋(3﹣x)2＝(3＋x)2，解得x＝．

9.证明：(1)∵EF∥BC，

∴∠OEC＝∠BCE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE＝∠OCE，

∴∠OEC＝∠OCE，

∴EO＝CO，

同理：FO＝CO，

∴EO＝FO；

(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；

理由如下：由(1)得：EO＝FO，

又∵O是AC的中点，

∴AO＝CO，

∴四边形CEAF是平行四边形，

∵EO＝FO＝CO，

∴EO＝FO＝AO＝CO，

∴EF＝AC，

∴四边形CEAF是矩形；

(3)解：由(2)得：四边形CEAF是矩形，

∴∠AEC＝90°，

∴AC＝＝5，

△ACE的面积＝AE×EC＝×3×4＝6，

∵122＋52＝132，即AB2＋AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

∴△ABC的面积＝AB•AC＝×12×5＝30.

10.证明：(1)∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°；

由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，

∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，

∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°；

∴∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°；

∴四边形AFHG是正方形，

解：(2)∵四边形AFHG是正方形，

∴∠BHC＝90°，

又GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4；

设AD的长为x，

则BH＝GH﹣GB＝x﹣6，CH＝HF﹣CF＝x﹣4.

在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，

∴(x﹣6)2＋(x﹣4)2＝102，解得x1＝12，x2＝﹣2(不合题意，舍去)，

∴AD＝12，

∴AB＝6.

11.解：(1)∵四边形ABFG、BCED是正方形，

∴AB＝FB，CB＝DB，∠ABF＝∠CBD＝90°，

∴∠ABF＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠ABD＝∠CBF，

在△ABD和△FBC中，

，

∴△ABD≌△FBC(SAS)；

(2)∵△ABD≌△FBC，

∴∠BAD＝∠BFC，

∴∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠CNA＝180°﹣(∠BFC＋∠BNF)＝180°﹣90°＝90°，

∴AM2＋MF2＝AF2．

12.解：(1)PB＝PQ.证明：连接PD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝∠ACD，∠BCD＝90°，BC＝CD，

又∵PC＝PC，

∴△DCP≌△BCP(SAS)，

∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC，

∵∠PBC＋∠PQC＝180°，∠PQD＋∠PQC＝180°，

∴∠PBC＝∠PQD，

∴∠PDC＝∠PQD，

∴PQ＝PD，

∴PB＝PQ

(2)PB＝PQ.证明：连接PD，

同(1)可证△DCP≌△BCP，

∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC，

∵∠PBC＝∠Q，

∴∠PDC＝∠Q，

∴PD＝PQ，

∴PB＝PQ.

13.证明：∵E，F分别是AB，BD的中点，

∴EF=0.5AD.

同理可得：GH=0.5AD，GF=0.5BC，HE=0.5BC，

又AD=BC，∴EF=GF=GH=HE.

∴四边形EFGH是菱形.

14.（1）证明：∵D、E分别为AC、AB的中点，

∴ED∥BC，ED=BC.

同理FG∥BC，FG=BC，

∴ED∥FG，ED=FG，

∴四边形DEFG是平行四边形，

∵AE=BE，FH=BF，

∴EF=HA，

∵BC=HA，

∴EF=BC=DE，

∴▱DEFG是菱形；

（2）解：猜想：AC=AB时，四边形DEFG为正方形，

理由是：∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

∵BD、CE分别为AC、AB边上的中线，

∴CD=AC，BE=AB，

∴CD=BE，

在△DCB和△EBC中，

∵，

∴△DCB≌△EBC（SAS），

∴∠DBC=∠ECB，

∴HC=HB，

∵点G、F分别为HC、HB的中点，

∴HG=HC，HF=HB，

∴GH=HF，

由（1）知：四边形DEFG是菱形，

∴DF=2FH，EG=2GH，

∴DF=EG，

∴四边形DEFG为正方形.

15.解：(1)中的结论仍然成立，即 BM＋DN＝MN.

证明：如图1，在MB的延长线上截取BE＝DN，连结AE.

易证△ABE≌△ADN(SAS).

∴ AE＝AN，∠EAB＝∠NAD.

∵∠BAD＝90°，∠NAM＝45°，

∴∠BAM＋∠NAD＝45°，

∴∠EAB＋∠BAM＝45°.

∴∠EAM＝∠NAM.又AM为公共边，

∴△AEM≌△ANM.

∴ME＝MN.

∴MN＝ME＝BE＋BM＝DN＋BM，即DN＋BM＝MN.

(2)猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN－BM＝MN.

证明：如图2，在DN上截取DE＝MB，连结AE.

易证△ABM≌△ADE(SAS).

∴AM＝AE，∠MAB＝∠EAD.

易证△AMN≌△AEN(SAS).

∴MN＝EN.

∵DN－DE＝EN，

∴DN－BM＝MN.