专题2.6 图形旋转与折叠-八年级数学下学期期末复习宝典（北师大版）

1．（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°

【分析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．

【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，

∴∠C＝40°，

∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，

∴∠AB'B＝∠B＝50°，

∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°，

故选：A．

2．（2020•滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据中位线定理可得AM＝2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M＝A′N＝2，过M点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得到OD．

【解答】解：∵EN＝1，

∴由中位线定理得AM＝2，

由折叠的性质可得A′M＝2，

∵AD∥EF，

∴∠AMB＝∠A′NM，

∵∠AMB＝∠A′MB，

∴∠A′NM＝∠A′MB，

∴A′N＝2，

∴A′E＝3，A′F＝2

过M点作MG⊥EF于G，

∴NG＝EN＝1，

∴A′G＝1，

由勾股定理得MG，

∴BE＝OF＝MG，

∴OF：BE＝2：3，

解得OF，

∴OD．

故选：B．

3．（2020•孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（　　）

A． B． C．4 D．

【分析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝EG＝8﹣x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即可得到CE的长．

【解答】解：如图所示，连接EG，

由旋转可得，△ADE≌△ABF，

∴AE＝AF，DE＝BF，

又∵AG⊥EF，

∴H为EF的中点，

∴AG垂直平分EF，

∴EG＝FG，

设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，

∴EG＝8﹣x，

∵∠C＝90°，

∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，

解得x，

∴CE的长为，

故选：B．

4．（2020•河北）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：

小明为保证嘉洪的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是

（　　）

A．嘉淇推理严谨，不必补充 

B．应补充：且AB＝CD 

C．应补充：且AB∥CD 

D．应补充：且OA＝OC

【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．

【解答】解：∵CB＝AD，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

故选：B．

5．（2020•天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF

【分析】依据旋转可得，△ABC≌△DEC，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．

【解答】解：由旋转可得，△ABC≌△DEC，

∴AC＝DC，故A选项错误，

BC＝EC，故B选项错误，

∠AEF＝∠DEC＝∠B，故C选项错误，

∠A＝∠D，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∴∠D+∠B＝90°，

∴∠BFD＝90°，即DF⊥AB，故D选项正确，

故选：D．

6．（2020•齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．

【解答】解：如图，设AD与BC交于点F，

∵BC∥DE，

∴∠CFA＝∠D＝90°，

∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，

∴∠BAD＝30°

故选：B．

7．（2020•苏州）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（　　）

A．18° B．20° C．24° D．28°

【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．

【解答】解：∵AB'＝CB'，

∴∠C＝∠CAB'，

∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，

∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，

∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，

∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，

∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，

∴3∠C＝180°﹣108°，

∴∠C＝24°，

∴∠C'＝∠C＝24°，

故选：C．

8．（2020•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A1，折痕为DE．若将∠B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1，则AB＝　　．

【分析】依据△A1DB1≌△A1DC（AAS），即可得出A1C＝A1B1，再根据折叠的性质，即可得到A1CBC＝2，最后依据勾股定理进行计算，即可得到CD的长，即AB的长．

【解答】解：由折叠可得，A1D＝AD＝4，∠A＝∠EA1D＝90°，∠BA1E＝∠B1A1E，BA1＝B1A1，∠B＝∠A1B1E＝90°，

∴∠EA1B1+∠DA1B1＝90°＝∠BA1E+∠CA1D，

∴∠DA1B1＝∠CA1D，

又∵∠C＝∠A1B1D，A1D＝A1D，

∴△A1DB1≌△A1DC（AAS），

∴A1C＝A1B1，

∴BA1＝A1CBC＝2，

∴Rt△A1CD中，CD，

∴AB，

故答案为：．

9．（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为　2　．

【分析】根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF＝3，AB＝6和勾股定理，可以得到DE的长，本题得以解决．

【解答】解：由题意可得，

△ADF≌△ABG，

∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，

∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠EAB＝45°，

∴∠BAG+∠EAB＝45°，

∴∠EAF＝∠EAG，

在△EAG和△EAF中，

，

∴△EAG≌△EAF（SAS），

∴GE＝FE，

设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，

∴EF＝3+x，

∵CD＝6，DF＝3，

∴CF＝3，

∵∠C＝90°，

∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，

解得，x＝2，

即CE＝2，

故答案为：2．

10．（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OPn（n为正整数），则点P2020的坐标是　                 　．

【分析】根据题意得出OP1＝1，OP2＝2，OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝8＝23，OP5＝16＝24…，OPn＝2n﹣1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P5的坐标在同一直线上，进而得出答案．

【解答】解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；

∴OP1＝1，OP2＝2，

∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，

∴OPn＝2n﹣1，

由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，

∵2020÷8＝252…4，

∴点P2020的坐标与点P5的坐标在同一直线上，正好在第三象限的角平分线上，

∴点P2020的坐标是（﹣22018，﹣22018）．

故答案为：（﹣22018，﹣22018）．

11．（2020•武威）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．

（1）求证：△AEM≌△ANM．

（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．

【分析】（1）想办法证明∠MAE＝∠MAN＝45°，根据SAS证明三角形全等即可．

（2）设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，在Rt△MCN中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵△ADN≌△ABE，

∴∠DAN＝∠BAE，DN＝BE，

∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，

∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，

∴∠MAE＝∠MAN，

∵MA＝MA，

∴△AEM≌△ANM（SAS）．

（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，

∵△AEM≌△ANM，

∴EM＝MN，

∵BE＝DN，

∴MN＝BM+DN＝5，

∵∠C＝90°，

∴MN2＝CM2+CN2，

∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，

解得，x＝6或﹣1（舍弃），

∴正方形ABCD的边长为6．