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    江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题及答案
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    江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题及答案

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    苏州市2022~2023学年第一学期学业质量阳光指标调研卷

    高一数学

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1. 已知角,那么终边在(    )

    A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

    【答案】C

    【解析】

    【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同,从而得到的终边所在象限.

    【详解】因为,又,所以的终边在第三象限.

    故选:C

    2. 命题的否定为(    )

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.

    【详解】由全称命题的否定可知: 的否定为

    故选:D

    3. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为,则该扇形圆心角的弧度数为(    )

    A.  B.  C. 2 D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.

    【详解】设扇形的半径为,圆心角为

    ,解得.

    故选:B

    4. 已知,则成立的(    )

    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

    C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

    【答案】A

    【解析】

    【分析】由条件推结论可判断充分性,由结论推条件可判断必要性.

    【详解】若,则必成立;

    但是,未必有,例如.

    所以成立的充分不必要条件.

    故选:A.

    5. 下列四个函数中,以为最小正周期,且在区间上单调递减的是(    )

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.

    【详解】的最小正周期是,不符合题意.

    在区间上单调递增,不符合题意.

    对于

    所以在区间上单调递增,不符合题意.

    对于,画出图象如下图所示,由图可知的最小正周期为

    且在区间上单调递减,B选项正确.

    故选:B

    6. 已知的定义域为A,集合,若,则实数a的取值范围是(    )

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】先根据二次不等式求出集合A,再分类讨论集合B,根据集合间包含关系即可求解.

    【详解】的定义域为A

    所以

    所以

    ①当时,,

    满足

    所以符合题意;

    ②当时,

    所以若

    则有

    所以(舍)

    ③当时,

    所以若

    则有(舍),

    综上所述,

    故选:B.

    7. 三个数 之间的大小关系为(    )

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】结合指数函数、对数函数的单调性,以及临界值,求解即可.

    【详解】由题意,即

    ,即

    综上:

    故选:A

    8. 已知函数,若函数有两个零点,则实数a的取值范围是(    )

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】画出的图象,结合图象以及函数有两个零点求得的取值范围.

    【详解】函数有两个零点,

    有两个不相等的实数根,

    的图象有两个交点.

    画出的图象如下图所示,

    解得,设.

    解得,设.

    对于函数

    要使的图象有两个交点,结合图象可知,.

    故选:D

    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

    9. 设集合,集合,则下列对应关系中是从集合A到集合B的一个函数的有(    )

    A.  B.  C.  D.

    【答案】ACD

    【解析】

    【分析】根据函数的定义一一判断求解.

    【详解】对于A,任意

    即任意,都有唯一的与之对应,所以A正确;

    对于B,存在,所以B错误;

    对于C,任意

    即任意,都有唯一的与之对应,所以C正确;

    对于D,任意

    即任意,都有唯一的与之对应,所以D正确;

    故选:ACD.

    10. 已知函数,则下列结论中正确的有(    )

    A.  B. 的定义域为

    C. 在区间上单调递增 D. ,则的最小值为

    【答案】BC

    【解析】

    【分析】根据正切函数的性质周期,定义域,函数值和单调性等选项逐个判断即可.

    【详解】已知函数,函数的定义域为,
     

    即函数的定义域为,选项正确;

    ,选项错误;

    ,在区间上单调递增, 选项正确;

    因为的周期,
     

    所以若,则的最小值为,选项错误;

    故选: .

    11. ab均为正数,且满足,则(    )

    A. 的最大值为2 B. 的最小值为4

    C. 的最小值是6 D. 的最小值为

    【答案】AD

    【解析】

    【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析,从而确定正确答案.

    【详解】A选项,

    当且仅当时等号成立,A选项正确.

    B选项,

    ,但由解得,不满足

    所以等号不成立,所以B选项错误.

    C选项,

    当且仅当时等号成立,所以C选项错误.

    D选项,

    所以当时,

    取得最小值D选项正确.

    故选:AD

    12. 已知指数函数(,且)与对数函数(,且)互为反函数,它们的定义域和值域正好互换.若方程的解分别为,则(    )

    A.  B.  C.  D.

    【答案】ABC

    【解析】

    【分析】由题意可得,直线与两函数的交点横坐标分别为,结合图像即可判断各选项.

    【详解】由方程可化为

    即直线与两函数的交点横坐标分别为

    由于互为反函数,则它们的图像关于直线对称,

    如图所示,点关于点对称,,且

    所以,故A正确;

    因为,所以

    ,所以,故B正确;

    它们的图像关于直线对称,所以

    所以,故C正确;

    对于D,由,则,即,与矛盾,故D错误.

    故选:ABC.

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

    13. 求值:__________

    【答案】1

    【解析】

    【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果.

    【详解】

    故答案为:1

    14. 已知幂函数满足:①是偶函数;②在区间上单调递减,请写出一个这样的函数__________

    【答案】(答案不唯一)

    【解析】

    【分析】根据幂函数的性质即得.

    【详解】因为幂函数为偶函数,且在区间上单调递减,

    所以函数满足题意.

    故答案为:.

    15. 已知,则__________

    【答案】

    【解析】

    【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得,再求,进而运算求得结果.

    【详解】得:

    解得:

    得:

    又因为,,所以

    所以

    故答案为:.

    16. 我们知道,设函数的定义域为I,如果对任意,都有,且,那么函数的图象关于点成中心对称图形.若函数的图象关于点成中心对称图形,则实数c的值为__________;若,则实数t的取值范围是__________

    【答案】    ①. 2    ②.

    【解析】

    【分析】(1)根据题意可得即可求出c的值;(2)根据解析式判断函数的单调性,并根据不等式得,利用函数的对称性和单调性即可求解不等式.

    【详解】因为函数的图象关于点成中心对称图形,

    所以

    ,所以

    所以在定义域上单调递减,

    因为函数的图象关于点成中心对称,

    所以的图象关于对称,

    单调递减,

    因为,即

    ,也即

    所以解得

    故实数t的取值范围是.

    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17. 设集合

    (1)

    (2)

    【答案】(1)   

    (2)

    【解析】

    【分析】(1)解不等式求得集合,由此求得.

    (2)根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.

    【小问1详解】

    ,所以,所以.

    ,解得,所以.

    ,则,所以.

    【小问2详解】

    ,则

    所以.

    18. 已知

    (1)若角的终边过点,求

    (2),分别求值.

    【答案】(1)   

    (2)

    【解析】

    【分析】(1)利用诱导公式化简,根据三角函数的定义求得.

    (2)根据齐次式的知识求得正确答案.

    【小问1详解】

    若角的终边过点,则

    所以.

    【小问2详解】

    所以

    .

    19. 某公司为了提升销售利润,准备制定一个激励销售人员的奖励方案.公司规定奖励方案中的总奖金额y(单位:万元)是销售利润x(单位:万元)的函数,并且满足如下条件:①图象接近图示;②销售利润x0万元时,总奖金y0万元;③销售利润x30万元时,总奖金y3万元.现有以下三个函数模型供公司选择:

    ABC

    (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适函数模型,并说明理由;

    (2)根据你在(1)中选择的函数模型,解决如下问题:

    ①如果总奖金不少于9万元,则至少应完成销售利润多少万元?

    ②总奖金能否超过销售利润的五分之一?

    【答案】(1)模型C,理由见解析   

    (2)210万元; ②不会.

    【解析】

    【分析】(1)根据函数的图象性质即可选择模型;

    (2)①令解对数不等式求解,②即,结合函数图象的增长速度解释.

    【小问1详解】

    模型A,因为,所以匀速增长,

    模型B,因为,先慢后快增长,

    模型C,因为,先快后慢增长,

    所以模型C最符合题意.

    【小问2详解】

    因为销售利润x0万元时,总奖金y0万元,

    所以,即

    又因为销售利润x30万元时,总奖金y3万元,

    所以,即

    解得,所以

    ①如果总奖金不少于9万元,即

    ,即,解得

    所以至少应完成销售利润210万元.

    ②设,即

    因为有交点

    增长速度比慢,

    所以当时,恒在的下方,

    所以无解,

    所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.

    20. 已知函数的图象经过点

    (1)在区间上的最大值和最小值;

    (2)记关于x的方程在区间上的解从小到大依次为,试确定正整数n的值,并求的值.

    【答案】(1)最大值为,最小值为   

    (2).

    【解析】

    【分析】(1)将代入,求出函数的解析式,根据求出的范围,即可求出函数的最大值和最小值;

    (2)由方程可得,利用余弦函数的性质,可求得n的值和的值.

    【小问1详解】

    代入

    ,即

    解得,,因为,所以

    所以

    时,

    所以,所以

    所以在区间上的最大值为,最小值为

    【小问2详解】

    因为,所以

    由余弦函数性质可知,上有4个解,

    所以,即

    累加可得,.

    21. 已知为奇函数.

    (1)判断函数在区间上的单调性,并证明你的判断;

    (2)若关于x的方程8个不同的解,求实数m的取值范围.

    【答案】(1)单调递增,在上单调递减;证明见解析.   

    (2)

    【解析】

    【分析】(1)根据奇函数的性质可求得的值,用单调性的定义即可证明函数的单调性.

    (2)将已知方程因式分解得,,作出的图像,数形结合即可得到的取值范围.

    【小问1详解】

    因为函数为奇函数,且定义域为,则,解得,所以

    时,,所以函数为奇函数.

    单调递增,在上单调递减.

    证明如下:

    ,且

    时,,所以,即,所以函数上单调递增;

    时,,所以,即,所以函数上单调递减.

    【小问2详解】

    因为,则,即

    解得,因为4个解,

    要使关于x的方程8个不同的解,则4个不同的解,如图所示,

    根据第一问函数单调性可知,当时,,所以的取值范围是综上,的取值范围是.

    22. 已知分别为定义在上的奇函数和偶函数,且

    (1)的解析式;

    (2)若函数上的值域为,求正实数a的值;

    (3)证明:对任意实数k,曲线与曲线总存在公共点.

    【答案】(1)   

    (2)   

    (3)证明见详解

    【解析】

    【分析】(1)利用解方程组法即可求得解析式.

    (2)构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值.

    (3)分类讨论利用零点存在性定理即可证明.

    【小问1详解】

    分别为定义在奇函数和偶函数

    所以,又因为①,

    所以②,

    有①②可知, .

    【小问2详解】

    ,由(1)知,

    又因为,令,所以

    所以

    函数上的值域为

    所以,故,

    时,得,又因为,所以

    【小问3详解】

    由(1)知,所以

    与曲线总存在公共点,

    有实数根,令

    时,易知为函数的零点,

    时,易知函数单调递减,

    又因为,由零点存在性定理可知:

    ,使得成立.

    时,

    又因为,所以.

    由零点存在性定理可知:,使得成立.

    故对任意实数函数有零点.

    即对任意实数曲线与曲线总存在公共点.


     

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