2022-2023学年上海市宝山中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市宝山中学高二上学期9月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市宝山中学高二上学期9月月考数学试题 一、单选题1．过点且与直线垂直的直线方程是A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两直线垂直的性质求得所求直线的斜率等于-2，再由所求直线过点（0，1），利用点斜式求得所求直线的方程，并化为一般式．【详解】∵直线的斜率等于，故所求直线的斜率等于﹣2，再由所求直线过点（0，1），利用点斜式求得所求直线的方程为y﹣1（x﹣0），即2x+y-1=0，故选A．【点睛】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于﹣1，用点斜式求直线方程，属于基础题．2．下列命题中，正确的是（    ）A．三点确定一个平面B．垂直于同一直线的两条直线平行C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则D．若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上【答案】D【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断.【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；B.由墙角模型，显然B错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不一定垂直，故C错误；D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D正确；故选：D.3．在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：①，②，③，④．其中恒成立的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】设，，则，，利用复数的乘法运算法则和复数的模判断①②；利用向量数量积公式和向量的模判断③④．【详解】设，，则，，对于①，，，，故①错误；对于②，，，，，故②正确；对于③，，，，故③正确；对于④，，，，，，故④错误．故正确的为：②③，共2个.故选：B.4．若函数的值域为，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题知，再结合函数值值域得，再结合余弦函数的单调性求解即可得答案【详解】解：，，令，则，因为，所以，因为函数的值域为，则所以，即，因为，函数单调递减，所以的取值范围为故选：A 二、填空题5．已知集合 ，，则___________.【答案】【分析】解分式不等式得集合，然后由交集定义计算．【详解】，又，所以．故答案为：6．已知，其中、分别为、轴正方向单位向量，若，则的值______．【答案】0【分析】等价于，代入利用数量积运算律求解【详解】因为，故，又、分别为、轴正方向单位向量，所以 即故答案为：7．直线经过点，其一个法向量是，则直线的一般方程是_____．【答案】【分析】设直线的方向向量，由可求得直线的斜率，利用点斜式方程写出直线方程，整理可得一般方程.【详解】设直线的方向向量，则，即，直线的斜率为，又过点，则直线的方程为：，则其一般方程为.故答案为：.8．已知复数满足(为虚数单位)，则________.【答案】【分析】先求出复数，再利用复数的模的计算公式即可求出．【详解】，，即．故答案为：．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则以及复数的模的计算公式的应用，属于基础题．9．设复数，，若，则的值等于______．【答案】【分析】利用复数的乘法将复数表示为一般形式，结合题意得出其虚部为零，由此可解出实数的值.【详解】，，，，，解得，因此，.故答案为.【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数的概念，考查计算能力，属于基础题.10．等边三角形边长为，平面且，则点到边的距离为___．【答案】30【分析】取BC的中点M，连接AM，PM，可证平面，从而，所以为到边的距离，在直角三角形中求解.【详解】取BC的中点M，连接AM，PM，因为三角形为等边三角形，所以，又平面，平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以，所以为到边的距离，又等边三角形边长为，所以 ，在直角三角形中，，所以到边的距离为30，故答案为：3011．已知，则______．【答案】【分析】由二倍角的余弦公式化简即可求出，代入即可得出答案.【详解】因为，所以，解得：或，因为，所以，则，.故答案为：12．用与球心距离为1的平面去截该球，所得截面面积为π，则该球的体积 _____________.【答案】【详解】截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知V球＝ 故答案为13．设，若，则的最大值为____________【答案】【分析】由指对互化 对数换地公式得，再根据基本不等式得，进而得.【详解】解：因为，所以，所以，因为，所以，故，所以故的最大值为.故答案为：.14．圆锥的底面圆直径为2，母线长为6，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为_____．【答案】【分析】要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】由题意知底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于 .设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，展开后扇形的弧长为根据底面周长等于展开后扇形的弧长得＝，故所以展开图中，在中， 由余弦定理得所以小虫爬行的最短距离为.故答案为：15．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：（1）AC⊥BD； （2）△ACD是等边三角形；（3）AB与平面BCD所成的角为60°； （4）AB与CD所成的角为60°．则正确结论的序号为_______【答案】（1）（2）（4）【分析】作出此直二面角，由二面角的平面角的定义和线面垂直的判断和性质可判断（1）；由等边三角形的判断可判断（2）；由线面角的定义可得为所求角，可判断（3）；取中点，的中点，连接，，，可得，所成角或补角即为所求角，计算可判断（4）．【详解】解：如图，其中，是的中点，由，，可得即为此直二面角的平面角．对于命题（1），由于面，故，此命题正确；对于命题（2），在等腰直角三角形中， ，故是等边三角形，此命题正确；对于命题（3），与平面所成的线面角的平面角是，故与平面成的角不正确；对于命题（4），可取中点，的中点，连接，，，由于，是中位线，可得其长度为正方形边长的一半，而是直角三角形的中线，其长度是的一半即正方形边长的一半，故是等边三角形，由此即可证得与所成的角为；综上知（1）（2）（4）是正确的．故答案为：（1）（2）（4）16．设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若函数在区间上零点的个数是8个，则实数a的取值范围是___________.【答案】【分析】分别作出与直线的图像，观察交点个数即可.【详解】作出，的图像如下：令，则，则函数在区间上零点的个数，即为与直线的图像交点个数，由图可知当是，图像有8个交点.故答案为：. 三、解答题17．在直三棱柱中，，.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)若与平面所成角为，求三棱锥的体积.【答案】(1)；(2). 【分析】(1)由，知为异面直线与所成的角；(2)由平面知为与平面所成角，根据几何关系即可求出三棱柱的棱长.【详解】（1）∵，∴为异面直线与所成的角(或其补角).由，，得.因此异面直线与所成角的大小为.（2）∵平面，∴为与平面所成角，即.由，，得，于是.因此三棱锥的体积.18．关于的实系数一元二次方程．(1)若方程有一个根是，求的值；(2)当时，方程的两个虚根满足，求的值．【答案】(1)9(2) 【分析】（1）将代入方程，根据实部、虚部为0求得的值；（2）用求根公式直接求出两个虚根，代入求的值．【详解】（1）因为为方程的一根，所以，即 ，所以且 ，故 ，所以（2）方程有两个虚根，则，故 ，因为的两个虚根为，所以，故 ，所以满足条件.综上：19．某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.(1)求岸线上点与点之间的直线距离；(2)如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）【答案】(1)米(2)55076元 【分析】（1）由余弦定理计算即可；（2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值.【详解】（1），岸线上点与点之间的直线距离为米.（2）△中，，，，（），设两段网箱获得的经济总收益为元，则 ，当，即时， （元）所以两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元.20．已知复数，，(1)若，求角；(2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围；(3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)角(2)(3) 【分析】(1)利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解(2)由向量的数量积运算结合两角差的正弦整理，再由角度的范围求出相位范围后即可求出的取值范围(3)利用向量数量积的坐标运算进行化简等式，转化为和三角函数的表达式，求出三角函数的整体范围后再计算表达式的范围，进而求出最后结果【详解】（1），，由，得，，又，（2）由复数的坐标表示得，，，则，又，，当时，取最大值为4，当时，取最小值为，所以的取值范围为（3）由题意得，，，，又，，化简得，，由小问2的结论可得，，当，得 恒成立，当，得，或，综合所述，的取值范围为21．已知函数对任意的实数x满足且，则称为M函数．(1)判断是否为M函数，并说明理由；(2)函数为M函数，且当时，，求在时的解析式；(3)函数为M函数，且当时，，则当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．【答案】(1)判断见解析；(2)(3) 【分析】（1）由“M函数”的定义即可判断是不是M函数；（2）由“M函数”的定义，结合函数的周期，即可得到所求函数的解析式；（3）根据已知条件得函数在上的图象，结合图象对称性和周期性及值域即可求解.【详解】（1）不是M函数；证明如下：，，所以不是M函数；（2）因为函数对任意的实数x满足，所以函数的周期为，，所以，因为当时，，，所以在时的解析式为（3）由（2）知，在时的解析式为，，，，，，作出函数的图象，如图所示，关于x的方程（a为常数）有解等价于函数与的图象有交点，由图可知，当时，方程（a为常数）有3个解，其方程所有解的和为，当或时，方程（a为常数）有4个解，其方程所有解的和为，当时，方程（a为常数）有6个解，其方程所有解的和为，当时，方程（a为常数）有8个解，其方程所有解的和为，综上所述，当，关于x的方程（a为常数）所有有解的和为S，则【点睛】解决此题的关键，第一问利用已知条件给出M函数定义即可，第二问主要利用周期性求函数的解析式，注意变量范围即可；第三问利用函数的周期性求解出所在范围的解析式，再将方程的根转化为函数与函数的图象交点的个数，进而利用对称性即可求解.