2021-2022学年重庆市荣昌校高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年重庆市荣昌校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知向量=(1，2，3)， =(-1，0，1)，则=（    ）

A．(-1，2，5) B．(-1，4，5)

C．(1，2，5) D．(1，4，5)

【答案】A

【分析】结合空间向量的加法运算求解即可

【详解】=(1，2，3)+2(-1，0，1)=(1，2，3)+(-2，0，2)=(-1，2，5)，

故选：A.

2．已知向量，，且，则实数等于（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量垂直的坐标运算得到方程，解之即可求出结果.

【详解】，得.

故选：A.

3．直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．，

【答案】D

【分析】将直线的一般式化为斜截式，结合斜率与倾斜角的关系，求解即可.

【详解】解：直线，化为斜截式为.

设直线的倾斜角为，则，

因为，所以.

故选：D.

4．若直线平分圆，则的值为（    ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】A

【分析】将圆转化为标准形式，依据题意可知直线过圆心，代点计算即可.

【详解】圆，即，圆心坐标为

由题可知：直线过圆心，所以

故选：A

5．直线与平行，则实数的值是

A．-1或3 B．-1 C．-3或1 D．3

【答案】D

【详解】由两条直线平行的充要条件得到

∴

当时两条直线重合，舍去

∴

故选D

点睛:本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）,需检验不重合；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.

6．直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可.

【详解】联立方程，解得：

所以两直线的交点为，所以直线的斜率为，

则直线的方程为：，即.

故选：B

7．已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据空间向量的线性运算，将和用、、表示，再根据空间向量的数量积运算可得解.

【详解】，，

则

.

故选：C．

【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的数量积，属于基础题.

8．已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切

C．相离 D．无法确定

【答案】A

【分析】求圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断.

【详解】由圆，可得圆心，半径，

因为圆心到直线的距离，

所以直线与圆相交，

故选：A.

二、多选题

9．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】求出实数的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】由已知条件可得，即，解得.

故选：AD.

10．过点作圆的切线l，则直线l的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】先化圆方程的圆心与半径，再设直线l的方程（注意讨论斜率不存在情况），利用圆心到切线距离等于半径列式求解，即得结果.

【详解】

圆心到直线距离等于1，所以直线l的方程可以为

当直线l的斜率存在时，设

所以

故选：BC

【点睛】本题考查圆的切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.

11．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求.

【详解】当直线过坐标原点时，直线方程为；

当直线不过坐标原点时，设直线方程为，代入点可得，

即.

故选：AC.

【点睛】直线在两坐标轴上截距相等时，有两种情况：一是直线经过坐标原点；二是直线斜率为.

12．若圆上至少有三个不同点到直线l：的距离为，则直线l的倾斜角的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABCD

【解析】求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径的关系列出不等式求出斜率的范围，再由四个选项的斜率得出答案.

【详解】解：圆整理为，

圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为

当圆心到直线的距离是时恰好圆上存在3个点到直线的距离为

则圆心到直线的距离应不大于等于，，

，，

故选：ABCD

三、填空题

13．两条平行线和的距离为_____.

【答案】

【分析】利用平行线间的距离公式可求得结果.

【详解】两条平行线和间的距离为.

故答案为：.

14．已知圆与圆外切，则______．

【答案】4

【分析】由两圆相外切可得圆心距等于两半径之和，从而可求出

【详解】因为，，圆的半径为1，圆的半径为，

所以，

因为两圆外切

所以，得．

故答案为：4

15．圆关于直线对称的圆的标准方程为______.

【答案】

【分析】两圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变，根据题意运算求解.

【详解】∵圆的圆心，半径为，

则关于直线对称的点为，

∴对称圆的圆心为，半径为，

故对称圆的方程为：.

故答案为：.

16．已知、、，则原点到平面的距离为______.

【答案】

【分析】计算出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可求得原点到平面的距离.

【详解】由已知可得，，

设平面的法向量为，

由，取，可得，

而，所以，原点到平面的距离为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知点，直线

(1)求A点到直线l距离；

(2)求过点A且与直线l平行的直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据点到直线的距离公式计算即可；

（2）设过点A且与直线l平行的直线方程为，再将代入即可.

【详解】（1）A点到直线l距离；

（2）设过点A且与直线l平行的直线方程为，

把点A的坐标代入可得：，解得，

所以所求直线方程为.

18．三角形的三个顶点分别是．

(1)求边所在的直线方程；

(2)求边上的高所在的直线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)用直线方程的截距式求方程；

(2)利用两直线垂直，斜率相乘等于－1求解﹒

【详解】（1）由，．可得边所在的直线方程是：，

即．

（2）因为边上的高垂直于，(1)由已知

高所在的直线方程斜率为

又边上的高过点，

故所求直线方程为

故边上的高所在的直线方程是．

19．已知圆心为的圆经过点和，圆心在直线上，求圆的方程.

【答案】

【分析】首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；

【详解】设圆心，则，

圆经过点和，

，

解可得，，，即圆心，，

故圆的方程为：；

20．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．

（1）求异面直线EF与所成角的大小．

（2）证明：平面．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；

（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.

【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：

，，，，，

∴，，，．

（1），

∴

∴异面直线EF和所成的角为．

（2）

∴，即

，

∴即．

又∵，平面且

∴平面．

21．已知点，，以为直径的圆记为圆.

（1）求圆的方程；

（2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）根据中点坐标公式求出圆心，然后利用两点间的距离公式求出半径，进而可求出结果；

（2）根据几何性质求出弦心距，然后结合点到直线的距离公式即可求出结果.

【详解】（1）由，，得的中点坐标为，即圆心坐标为，

半径，

圆的方程为

（2）由，

可得弦心距为

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

圆心到直线的距离为2，所以满足题意;

当直线的斜率存在时，设直线方程为

即.

圆心到直线的距离，

解得，

直线的方程为

直线的方程为或.

22．如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，.

(1)求证：∥平面；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由面面平行判断定理证平面BFC平面ADE，再证∥平面即可；

（2）建立空间直角坐标系如图，由向量法即可求

【详解】（1）证明：四边形为矩形，∴，又，平面，平面ADE，故平面ADE，平面ADE，

又平面BFC，∴平面BFC平面ADE，

∵平面BFC，∴∥平面；

（2）建立空间直角坐标系如图，则，

设平面CDF的法向量为，则，取得，

平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，则，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为