2021-2022学年重庆市荣昌永荣中学高二下学期期末数学试题（解析版）

2021～2022学年度永荣中学高二下期期末考试卷

数学

考试时间：120分钟

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）

1 设集合，2，3，，，则（    ）

A. ，2，3， B. ， C. ，3， D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用交集定义直接求解即可.

【详解】解：，2，3，，，

，3，，

故选：C.

2. 命题甲：是命题乙：的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可求解.

【详解】解：由命题乙：，可得，

所以命题甲：是命题乙：的充分不必要条件，

故选：A．

3. 若，则（       ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】由导数的定义即可求解.

【详解】解：由导数的定义，可得，

故选：A.

4. 若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】由单调性可直接得到，解不等式即可求得结果.

【详解】在上单调递增，，，解得：，

实数的取值范围为.

故选：C.

5. 已知，，且事件A、B相互独立，则（    ）

A. 0.18 B. 0.5 C. 0.3 D. 0.9

【答案】A

【解析】

【分析】由概率的乘法公式求解作答.

【详解】由题意得.

故选：A

6. 下表是年我国某地区新能源汽车的前个月销售量与月份的统计表：

由上表可知其线性回归方程为，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程可求得的值.

【详解】由表格中的数据可得，，

由题意可知，样本中心点在回归直线上，则，解得.

故选：A.

7. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小

【详解】因为，所以

故选：A

8. 已知m，n为正实数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数及幂函数的单调性可判断A，B，举反例可判断C，根据均值不等式判断D即可.

【详解】，为正实数，且，即

在上均为减函数，

在上为增函数.

当时，，故A错误；

当时，，故B错误；

取，此时，故C错误；

，，，

，，，故D正确.

故选：D

二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（       ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果．

【详解】随机变量服从两点分布，其中，，

，

，

在A中，，故A正确；

在B中，，故B正确；

在C中，，故C错误；

在D中，，故D错误．

故选：AB．

10. 以下函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】对各个选项逐个分析判断即可

【详解】对于A，由于对称轴为，且是开口向下的抛物线，所以函数在上单调递减，且不具有奇偶性，所以A不合题意，

对于B，是偶函数，而在上单调递减，所以B不合题意，

对于C，因为，所以此函数为偶函数，因为，所以此函数在上单调递增，所以C符合题意，

对于D，因为，所以此函数为偶函数，因为在上单调递增， 在定义域内单调递增，所以在上单调递增，所以D符合题意，

故选：CD

11. 已知函数在R上存在最小值，则实数m的可能取值为（    ）

A. －4 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】AB

【解析】

【分析】探讨分段函数的单调性，再根据给定条件求出m的取值范围即可判断作答.

【详解】当时，函数是单调递减的，，，

当时，是单调递增的，，，

因函数在R上存在最小值，则当且仅当，解得，

所以实数m的可能取值为-4，0，

故选：AB

12. 下列命题正确的是（    ）

A. ，

B. 若，则的最小值为4

C. 若，则的最小值为3

D. 若，则的最大值为2

【答案】AD

【解析】

【分析】由配方法和基本不等式依次判断4个选项即可.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，若，则，当且仅当即时取等，B错误；

对于C，，当且仅当时取等，

由于无解，则的最小值取不到3，C错误；

对于D，，整理得，当且仅当即时取等，D正确.

故选：AD.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）

13. 不等式的解集为________.

【答案】

【解析】

【分析】直接解不等式得到答案.

【详解】，解得.

故答案为：.

14. 随机变量服从正态分布，若，则___________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据正态曲线的性质计算可得；

【详解】解：因为随机变量服从正态分布且，

所以；

故答案为：

15. 函数在点处的切线方程为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意利用导数的几何意义求解即可

【详解】易知，又，所以切线的斜率，

所以函数在点处的切线方程为，

化简得.

故答案为：

16. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是______.

【答案】240

【解析】

【分析】根据二项式系数和为，求出，即可求出二项式展开式中常数项.

【详解】因为二项式系数和，

因此，

又，

令，常数项为.

故答案为：240.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18-22题每题12分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.

（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

【答案】（1）种；   

（2）种.

【解析】

【分析】（1）应用分步乘法求不同的取法；

（2）应用分类加法求不同的取法.

【小问1详解】

从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：

第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，

第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，

第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，

根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是.

【小问2详解】

第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法

第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法，

第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法

根据分类加法计数原理，不同取法的种数是.

18. 对于数据组：

（1）作散点图，你能直观上得到什么结论，两个变量之间是否呈现线性关系？

（2）求线性回归方程.

参考公式：，.

【答案】（1）散点图见解析，两个变量呈线性关系且正相关；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由数据画出散点图，根据图判断变量之间的关系即可；

（2）应用最小二乘法求线性回归方程

【小问1详解】

由图知：两个变量呈线性关系且正相关.

【小问2详解】

由数据知：，，

，，

所以，令，则，

综上，回归直线方程为.

19. 已知函数处有极值．

（1）求，的值；

（2）求函数在区间上的最大值．

【答案】（1）   

（2）2

【解析】

【分析】（1）求导后，根据和列式可求出结果；

（2）根据导数判断函数的单调性，根据单调性可求出最大值.

【小问1详解】

因为函数在处有极值，且，

所以，解得.

【小问2详解】

由（1）得：，

 ，

令，得，
令，得或，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

故的最大值是或，
而，
故函数的最大值是2．

20. 某科研团队对例新冠肺炎确诊患者的临床特征进行了回顾性分析.其中名吸烟患者中，重症人数为人，重症比例约为；名非吸烟患者中，重症人数为人，重症比例为.

（1）根据以上数据完成列联表；

（2）根据（1）中列联表数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为新冠肺炎重症与吸烟有关？附：

【答案】（1）列联表见解析   

（2）能在犯错误的概率不超过的前提下认为新冠肺炎重症与吸烟有关

【解析】

【分析】（1）根据题目所给数据填写列联表.

（2）计算的值，由此作出判断.

【小问1详解】

由题得：

【小问2详解】，

所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为新冠肺炎重症与吸烟有关.

21. 某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，整理得到如下频率分布直方图：

（1）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；

（2）若规定分数在为“良好”，为“优秀”.用频率估计概率，从该校高三年级随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望.

【答案】（1）0.1    （2）分布列见解析，期望为0.9.

【解析】

【分析】（1）由表可用减去及格人数的概率得到不及格人数的概率.

（2）设样本中“良好”或“优秀”为事件B,则,根据二项分布列出频率分布列,计算数学期望.

【小问1详解】

设“不及格”为事件A,则“及格”为事件

∴，

故该学生不及格的概率为0.1.

【小问2详解】

设“样本中“良好”或“优秀”为事件B,则

依题意可知：

,，

，

所以,X的分布列为

22. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且

（1）确定函数的解析式；

（2）用定义证明在上是增函数；

（3）解不等式．

【答案】（1）   

（2）证明过程见详解    （3）

【解析】

【分析】（1）先由函数的奇偶性得到，然后由求解；

（2）利用函数单调性定义证明；

（3）将，转化为，利用单调性求解.

【小问1详解】

由题意可得，解得

所以，经检验满足奇函数.

【小问2详解】

设，

则，

，

，且，则，

则，即，

所以函数在上是增函数．

【小问3详解】

，

，

是定义在上的增函数，

，得，

所以不等式的解集为．