2021-2022学年重庆市荣昌校高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年重庆市荣昌校高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．若直线l经过点，斜率是，则直线l的方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可；

【详解】解：因为直线经过点，斜率是，所以直线方程为，即，

故选：C

2．椭圆的焦距为（    ）

A． B． C． D．8

【答案】C

【分析】利用求出，进而求出焦距.

【详解】由题意得：，，所以，所以，焦距为.

故选：C

3．已知两条平行直线与间的距离为3，则（    ）

A．9或21 B．或21

C．9或 D．9或3

【答案】B

【分析】由平行直线间的距离公式建立关系即可求解.

【详解】两条平行直线与间的距离为3，

则两平行直线间的距离为，解得或.

故选：B.

4．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于（    ）

A．5 B．±5

C．4 D．±4

【答案】C

【分析】由等比数列的性质有＝a3a7，再根据a5＝a3q2＞0及已知条件，即可确定a5.

【详解】∵＝a3a7＝2×8＝16，

∴a5＝±4，又a5＝a3q2＞0，

∴a5＝4.

故选：C

5．若平面的法向量分别为，，则（    ）

A． B．与相交但不垂直

C． D．或与重合

【答案】D

【分析】判断两个法向量共线，从而可判断出两个平面平行或重合.

【详解】由题意，，

，因为分别是平面的法向量，

或与重合.

故选：D

6．已知等差数列的前项和为，，则（    ）

A．24 B．28 C．30 D．36

【答案】D

【分析】根据等差数列的前项和公式以及等差数列的下标和性质，即可求解.

【详解】因为是等差数列，且，

所以.

故选：.

7．已知抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，为抛物线的焦点，若=3，则该双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出，利用抛物线的定义求出，代入双曲线方程渐近线方程，转化推出关系，即可得到双曲线的离心率.

【详解】设，则由抛物线的定义可得=，

，，，

将点代入双曲线的渐近线方程

， ，

  ，故选B.

【点睛】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，以及双曲线的方程与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．

8．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解出的最小值.

【详解】由题可知：，圆心，半径，

又，是的中点，所以，

所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，

若直线上存在两点，使得恒成立，

则以为直径的圆要包括圆，

点到直线的距离为，

所以长度的最小值为，

故选：B．

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值.

二、多选题

9．已知数列，则下列说法正确的是  （     ）

A．此数列的通项公式是

B．是它的第23项

C．此数列的通项公式是

D．是它的第25项

【答案】AB

【分析】根据已知条件求得数列的通项公式，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】数列，

所以，A选项正确，C选项错误.

，B选项正确，

，D选项错误.

故选：AB

10．下列说法中，正确的有（    ）

A．过点且在，轴截距相等的直线方程为

B．直线的纵截距是．

C．直线的倾斜角为60°

D．过点并且倾斜角为90°的直线方程为

【答案】BD

【分析】根据直线的截距的定义，倾斜角和斜率的关系，结合直线的方程，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】A：因为直线也过点且在，轴截距相等，故错误；

：对直线方程，令，可得，则其纵截距为，故B正确；

C：直线的斜率，设其倾斜角为，

则，又，故该直线的倾斜角为，故C错误；

D：过点并且倾斜角为90°的直线为，故正确.

故选：.

11．已知，，平面，则（    ）

A．点A到平面的距离为 B．与平面所成角的正弦值为

C．点A到平面的距离为 D．与平面所成角的正弦值为

【答案】BC

【分析】利用空间向量计算点到平面的距离、直线和平面夹角即可.

【详解】因为平面，所以是平面的一个法向量，

所以点A到平面的距离为，故A错误，C正确；

与平面所成角的正弦值为，故B正确，D错误．

故选：BC.

12．给出如下四个命题不正确的是（    ）

A．方程表示的图形是圆 B．椭圆的离心率

C．抛物线的准线方程是 D．双曲线的渐近线方程是

【答案】ABD

【分析】对于A选项，配方得其表示点，故错误；对于B选项，直接求解离心率，故错误；对于C选项，化标准形式，再求解即可判断；对于D选项，化为标准形式得，再求解即可判断；

【详解】解：对于A选项，，故，表示点，故错误；

对于B选项，由题知，所以，所以离心率，故错误；

对于C选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故正确；

对于D选项，双曲线化为标准形式得，所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故错误.

故选：ABD

三、填空题

13．已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．

【答案】

【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程.

【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得，

故双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

14．已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.

【答案】

【分析】根据的中点是圆心，是半径，即可写出圆的标准方程.

【详解】因为和，故可得中点为，

又，故所求圆的半径为，

则所求圆的标准方程是：.

故答案为：.

15．已知圆与圆外切，则______．

【答案】4

【分析】由两圆相外切可得圆心距等于两半径之和，从而可求出

【详解】因为，，圆的半径为1，圆的半径为，

所以，

因为两圆外切

所以，得．

故答案为：4

16．已知数列满足，，则___________.

【答案】

【分析】推导出是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出，推导出是首项为7，公差为6的等差数列，由此能求出．

【详解】解：数列满足，，

是首项为1，公差为2的等差数列，

，

则，，

则，

是首项为7，公差为6的等差数列，

．

故答案为：．

四、解答题

17．已知点、，直线.

（1）求线段的中点坐标及直线的斜率；

（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程.

【答案】（1）线段的中点坐标为，直线的斜率为；（2）.

【分析】（1）利用中点坐标公式可求出线段的中点坐标，由直线的斜率公式可计算出直线的斜率；

（2）根据题意，设直线的方程为，将的坐标代入其方程计算可得的值，即可得答案．

【详解】（1）根据题意，设的中点坐标为，

又由点、，则，，

所以，线段的中点坐标为，直线的斜率为；

（2）设直线的方程为，

又由直线经过点，则有，则.

即直线的方程为.

【点睛】本题考查线段中点坐标的计算，涉及直线的斜率计算，同时也考查了利用直线平行求直线方程，涉及平行直线系方程的应用，考查运算求解能力，属于基础题．

18．在棱长是2的正方体中，E，F分别为的中点.

(1)求的长；

(2)证明：平面；

(3)证明：平面.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出的长.

（2）利用向量法证得平面.

（3）利用向量法证得平面.

【详解】（1）以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

∵E，F分别为的中点，∴，

∴.

（2）∵，∴，

又平面平面，

∴平面.

（3），

∵，∴，

又，､平面，

∴平面.

19．已知数列中，且.

(1)求；

(2)求数列{}的前n项和的最大值.

【答案】(1)＝﹣4n+17；

(2)28.

【分析】(1)根据等差数列的定义判断为等差数列即可求其通项公式；

(2)根据等比数列前n项和的性质即可求其最值.

【详解】（1）由﹣4，可知，﹣＝﹣4，

∴数列{}是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列，

∴＝13﹣4(n﹣1)＝﹣4n＋17；

（2）由(1)可知，数列{}单调递减，且a4＞0，a5＜0，

∴当n＝4时，{}的前n项和取得最大值＝13＋9＋5＋1＝28.

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，.

(1)证明：平面平面PAC；

(2)求平面PCD与平面PAB夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）过点C作于点H，由平面几何知识证明，然后由线面垂直的性质得线线垂直，从而得线面垂直，然后可得面面垂直；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【详解】（1）在梯形ABCD中，过点C作于点H.

由，，，，可知，，，.

所以，即，①

因为平面ABCD，平面ABCD，所以，②

由①②及，平面PAC，得平面PAC.

又由平面PCD，所以平面平面PAC.

（2）因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3），，.

设平面PCD的法向量为，

则，取，则，，则.

平面PAB的一个法向量为，

所以，

所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为.

21．过原点O的圆C，与x轴相交于点A(4,0)，与y轴相交于点B(0,2)．

(1)求圆C的标准方程；

(2)直线l过B点与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）设圆的标准方程为：，则分别代入原点和，得到方程组，解出即可得到；（2）由（1）得到圆心为，半径，由于直线过点与圆相切，则分别讨论斜率存在与否，运用直线与圆相切的条件：，解方程即可得到所求直线方程.

【详解】(1)设圆C的标准方程为，则分别代入原点和， 得到 ，

解得则圆的标准方程为

(2)由(1)得到圆心为，半径， 由于直线过点与圆相切，

当时，到的距离为2，不合题意，舍去；

当斜率存在时，设，由直线与圆相切，得到，

即有，解得，故直线，即为

点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程的求法和直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题；圆的方程有一般形式与标准形式，在该题中利用待定系数法将其设为标准形式，列、解出方程组即可；当直线与圆相切时等价于圆心到直线的距离等于半径，已知直线上一点写出直线的方程需注意斜率不存在的情形.

22．已知椭圆：的右焦点和上顶点在直线上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求面积的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知可得椭圆的右焦点为，上顶点为， 可得，可求椭圆标准方程．

（2）设，直线的方程为，并与椭圆方程联立利用韦达定理得到，又，求得的最大值，即可得结果.

【详解】（1）椭圆：的右焦点和上顶点在直线上，

椭圆的右焦点为，上顶点为，

故，

∴所求椭圆标准方程为．

（2）设，

直线的方程为

联立得：，

，

即，

,

，

令，

函数在上为增函数，

故当，即时，，

此时三角形的面积取得最大值为.