重庆市南开中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题含答案

重庆南开中学高2023级高二（上）期中考试

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间

120分钟。第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上。

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）

1.下列直线中，倾斜角最大的是（    ）

A． 　B． 　　C． 　　D．

2. 双曲线焦点到渐近线距离为，则此双曲线虚轴长为（    ）

A．                B． 　　           C． 　       　    D．

3. 已知点在椭圆上，与分别为左右焦点，若,

则的面积为（    ）

A． 　B． 　　C． 　　D．

4. 圆锥的轴截面为面积为的直角三角形，则圆锥的侧面积为（    ）

A． 　B． 　　C． 　　D．

5. 圆与圆相交得到公共弦，则（    ）

A． 　B． 　　C． 　　D．

6. 由抛物线上一点朝准线作垂线，垂足为，抛物线的焦点为，

已知，则（    ）

A．                  B． 　            　C． 　        　D．

7. 已知是双曲线上的动点，是圆上的动点，则两点间的最短距离为（    ）

A．  B． 　

C．            D．

8. 以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴,轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，，若，，则直线的斜率为（    ）

A．  B． 　C．         D．

二.多选题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．已知双曲线的渐近线方程为，并且焦距为，则它的方程可以是（    ）

A． 　B． 　　C． 　　D．

10．曲线的离心率满足方程，则实数的值可以是（    ）

A．              　 B． 　 　C． 　　 D．

11. 已知正方体的棱长为，点，分别是棱和的中点，点在四边形内，若，则下列结论正确的有(     )

A．              

B．//　 　

C．点的轨迹的长度为  　

D．的最小值是

12. 已知为椭圆外一点，,分别为椭圆的左,右焦点，

,，线段,分别交椭圆于，，

,设椭圆离心率为,则下列说法正确的有(     )

A.越大，则越大              B.若,则

C.若,则         D.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上）

13. 顶点在原点的抛物线，其焦点关于准线的对称点坐标为，则焦准距    

14. 已知一圆柱的上下两底面圆都在一个球的球面上，圆柱的高为，体积为，

则此球的表面积为                         

15. 已知两条直线和同时与一个圆相交且将整个圆分成四段长度相等的圆弧，则满足条件的圆半径的最大值为             

16. 过双曲线右焦点作斜率为正的直线交渐近线于,两点,为坐标原点，若的面积为，则直线的斜率为_______

四．解答题(本大题共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤)

17.（10分）在平面直角坐标系中，.

（1）若三点共线，求的值；

（2）若，求外接圆圆心坐标.

18．（12分）已知双曲线的方程为，直线.

（1）求双曲线的渐近线方程、离心率；

（2）若直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围.

19．（12分）已知圆.

（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；

（2）若是直线上的动点，是圆的两条切线，

是切点，恒成立，求的取值范围.

20.（12分）如图所示，已知平行四边形中，，，，

,垂足为，沿直线将翻折成，使得平面平面；连接，是上的点．

（1）当时，求证：平面；

（2）当时，求二面角的余弦值.

21.（12分）已知椭圆：左右焦点分别为,在椭圆上且活动于第一象限，垂直于轴交轴于，为中点；连接交轴于，连接并延长交直线于.

（1）求直线与的斜率之积；

（2）已知点，求的最大值.

22.（12分）椭圆经过点，其右焦点为抛物线

的焦点；直线与椭圆交于,两点，且以为直径的圆过原点.

（1）求椭圆的方程； 

（2）若过原点的直线与椭圆交于两点，

且,求四边形面积的最大值.

重庆南开中学高2023级高二（上）期中考试

参考答案

一、  选择题： 1-8   BBAD     CDCA

           9-12    BC      ABC      ACD     BC

二、填空题：

13、             14、      

15、             16、  或

三、解答题：

17.（1）三点共线，

则即，所以

（2)，即，则线段垂直平分线方程为，

中点为，线段垂直平分线方程为即，

两条中垂线交点坐标为，

所以外接圆圆心坐标为

18. ⑴由得，

∴双曲线的渐近线方程为和

，∴，∴双曲线的离心率为

⑵把代入双曲线得

由得

解得.

19. （1）圆化为标准方程，

过点的直线设为即，

直线与圆相切则，

解得或者，

所以直线方程为或者

（2）设，由图可知，，

恒成立即则恒成立，

最短即为点到直线的距离，

，解得或者，

则的取值范围为

20.（Ⅰ）∵，平面平面，∴．

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，， ，，

，，.

∵，，

∴，.

又，∴平面 ．

（Ⅱ）设 ，则

由得： ，解得

∴ ．

设面的法向量为 ，则 ．

取 ，则 ，

又平面的法向量为 ，

设二面角的大小为，则．

21.（1）椭圆：左右焦点分别为，设点为，

则点为，，点在椭圆上，

满足方程，即，所以

（2）设，直线方程为；

，直线方程为

则点坐标为，点坐标为，

，

即①

由（1）问知，点为为直线与直线得交点，满足方程，则有关系式代入①式可得因为点在第一象限，则，则的取值范围为

22..（1）抛物线的焦点为，则，

点在椭圆上，即，

解得，

所以椭圆的方程为。

（2）当直线斜率存在时，设其方程为，,

联立可得则①

②，     ③

以为直径的圆过原点即

化简可得，代入②③两式，

整理得即

将④式代入①式，得恒成立则

设线段中点为，由，由观察可知，，

又由，则点坐标为，

化简可得，代回椭圆方程可得即

则，

另外，当直线斜率不存在时，方程为，直线过中点，即为轴，

易得，,

综上，四边形面积的最大值为。