重庆市七校2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021-2022学年度第一学期期末七校联考

高一数学试题

命题学校：重庆市合川中学    命题人：朱光玖、代静雯   审题人：何珊

一、单项选择题（每小题5分，共8小题，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1. 已知集合，且，则等于（　 　）

A. ﹣3 B. ﹣2 C. 0 D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合间的关系即可得到答案.

【详解】因为，所以，经验证，满足题意.

故选：B.

2. 如果点位于第一象限，那么角所在象限是（　 　）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】由点位于第一象限可得,，即可判断所在象限.

【详解】由题,因为点位于第一象限，

所以，，

所以在第一象限,

故选：A

3. “”是“”的（        ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用分式不等式的解法将解得或，再利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】因为，

所以 ，

所以，

即，

解得或，

所以 “”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4. 若定义在实数集上的函数满足：时，，且对任意，都有成立，则等于（　 　）

A.  B.

C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由可得函数的周期为4，则，然后根据已知的解析式求解即可

【详解】因为对任意，都有成立，

所以的周期为4，

所以，

因为函数满足：时，，

所以，

故选：D

5. 已知扇形的半径为，面积为，则该扇形的圆心角为（　 　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据扇形面积公式先求出弧长，进而求出圆心角的弧度.

【详解】设该扇形的弧长、半径及圆心角的弧度分别为，则r=2，扇形面积.

故选：C.

6. 函数的图象大致是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可

【详解】当x=0时，f(x)=0，排除D选项

当 时， 排除C选项

根据定义域 可排除A选项

故选B

【点睛】本题考查了根据解析式判断函数的图像，从特殊值、单调性、奇偶性等方面考虑，属于基础题．

7. 已知关于的函数在上是单调递减的函数，则的取值范围为（　 　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复合函数的单调性判断方法和对数函数的真数大于零可得答案.

【详解】令，则，

因为的单调递增函数，函数在上是单调递减的函数

由复合函数的单调性判断方法可得是单调递减函数，

所以，又在上是单调递减的函数，

所以，得，

故选：D.

8. 设均为正数，且，，．则（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象，

与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．

考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．

【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．

【详解】

二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列四个函数中，以为周期的函数有（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A、B：利用周期公式直接求周期；

对于C：利用周期函数的定义进行验证；

对于D：利用函数的图像判断出不是周期函数.

【详解】对于A：的最小正周期为，故A正确；

对于B：的最小正周期为，故B正确；

对于C：对于，因为，所以为函数的周期，故C正确；

对于D：由的图像为：

得到的图像为：

所以不是周期函数，故D错误.

故选：AC

10. 下列函数中，最小值为4的是（　　）

A.  B.

C  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A，利用基本不等式分析判断即可，对于B，举例判断，对于CD，利用基本不等式分析判断

【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4，所以A正确，

对于B，当时，，所以B错误，

对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而，所以不成立，所以取不到等号，所以的最小值不是4，所以C错误，

对于D，由题意得，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4，所以D正确，

故选：AD

11. 下列各式正确的是（    ）

A. 设，则

B. 已知，则

C. 若，，则

D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据指数的运算法则可以判断A,B，根据对数的运算法并结合换底公式可以判断C,D.

【详解】，A正确；

，B正确；

，，则，C正确；

，D错误.

故选：ABC.

12. 定义：若对于定义域内任意x，总存在正常数a，使得恒成立，则称函数为“a距”增函数，以下判断正确的有（    ）

A. 函数是“a距”增函数

B. 函数是“1距”增函数

C. 若函数是“a距”增函数，则a的取值范围是

D. 若函数是“2距”增函数，则k的取值范围是

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据“距”增函数的定义，对各项进行分析即可．

【详解】对于A，，

当时，，所以是“距“增函数，故A正确；

对于B，对任意，，

因为，所以，

所以，即是“1距”增函数，故B正确；

对于C，

，

因为是“距”增函数，所以恒成立，

因为，所以，

所以，

解得，

因为，所以，故C错误；

对于D，是“2距“增函数，

则在时恒成立，

变形可得，

即在时恒成立，

当时，，化简得，

所以，

当时，，化简得，

综上可知，的范围是，故D正确，

故选：ABD

三、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）

13. 函数的定义域为__________.

【答案】(0,2

【解析】

详解】要使函数有意义,则

得0<x⩽2，即函数的定义域为(0,2.

14. 已知角终边上一点的坐标为，则=_______

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数定义可得,将点坐标代入即可求解

【详解】由题,

故答案为：

15. 若正数x，y满足xy＝x+y+3，则xy的取值范围是_______

【答案】

【解析】

【分析】利用均值不等式、一元二次不等式可得答案.

【详解】因为，

由均值不等式得：，

即，解得，

.

故答案为：.

16. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是_________

【答案】

【解析】

【分析】可由题意，根据对数函数的定义域和单调性确定其范围，要满足值域为，指数函数的值域也就确定了，然后把指数部分的二次三项式重新设函数，通过分类讨论去求解对应的取值范围.

【详解】函数，所以当时，，

所以时，得取遍所有大于1的数，故其指数得取遍所有大于0的数.

因为，，

当时，不成立；

当时，其开口向下，有最大值，无法去到正无穷，舍去；

当时，其开口向上，对称轴大于0，故需对称轴对应的值小于等于0，故有：且

，综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】二次三项式在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论.

四、解答题（共6小题，共70分.17题10分，18-20每小题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知全集，集合，．

（1）当时，求；

（2）如果，求实数的取值范围．

【答案】（1）＝{x|x＜3或x≥4}   

（2）（﹣∞，2）

【解析】

【分析】(1)根据一元二次不等式的解法求出集合A，根据不等式的性质求出集合B，结合集合交并补的运算即可得出结果；

(2)将A∪B＝A转化为B⊆A，分类讨论B＝∅和B≠∅时的情况，列出对应的不等式(组)，解之即可.

【小问1详解】

A＝{x|0＜x＜4}，m＝3时，B＝{x|3≤x≤7}.

∴A∩B＝{x|3≤x＜4}，且U＝R.

∴（A∩B）＝{x|x＜3或x≥4}.

【小问2详解】

∵A∪B＝A，∴B⊆A.

①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1

②B≠∅时，，解得1≤m＜2.

综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）

18. 已知是第三象限角，且

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由的值求出的值，然后利用诱导公式对化简计算即可，

（2）先利用二倍角公式求出的值，然后利用两角和的正弦公式求解即可

【小问1详解】

由是第三象限角，且得.

原式=..

【小问2详解】

因为

所以

.

19. 已知函数的最小正周期为．

（1）求的单调递减区间；

（2）求函数在区间上的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据诱导公式、二倍角和辅助角公式可整理得到；

根据可求得，进而得出，结合正弦函数的单调性即可得出结果；

（2）利用的范围求得的范围，利用正弦函数的单调性即可求得的范围，代入可求得的取值范围.

【小问1详解】

函数的最小正周期为，得到=1．则

由，得到

故的递减区间为..

【小问2详解】

因为，

所以，

因此，即的取值范围为.

20. 某企业常年生产一种出口产品，最近几年以来，该产品的产量平稳增长．记2018年为第一年，且前4年中，第年与年产量（单位：万件）之间的关系如表所示：

若近似符合以下三种函数模型之一：，，．

（1）写出你认为最适合的函数模型（不用说明理由），然后选取表中你认为最适合的数据并求出相应的解析式；

（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2023年的年产量比预计减少30%，根据所建立的函数模型，确定2023年的年产量．

【答案】（1）选，；   

（2）135.1万件.

【解析】

【分析】（1）根据表格的变化趋势结合三种函数模型即可选择函数，进而求出函数的解析式；

（2）由（1）求出不影响的产量，进而求出影响后的产量.

【小问1详解】

选，代入数据（1，7）和（3，25）可得，

故.

理由如下：从表格可以判断函数为增函数，所以排除；若选，代入数据（1，7）和（3，25）可得：，则，则，这与49.13相差太远.

【小问2详解】

2023年对应x＝6，因此预计2023年产量约为（万件），受影响后实际年产量约为193×（1﹣30%）＝135.1（万件），故2023年的年产量约为135.1（万件）.

21. 已知函数

（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）当时，解关于x的不等式．

【答案】（1）；   

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）由题设可得，即可求a取值范围；

（2）讨论的大小关系，求一元二次不等式的解集即可.

【小问1详解】

由题设，令，由的定义域为R，

∴，可得.

∴a的取值范围为.

【小问2详解】

由题意，，

当，即时，解集为；

当，即时，解集为；

当，即时，解集为；

22. 已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）若函数，讨论函数的零点个数．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由已知得函数为上单调递减函数，将所求不等式转化为，代入利用对数函数的性质可得，解不等式可得解；

（2）令，则，分类讨论，，，时，t分别对应的零点个数，进而得解.

【小问1详解】

由，可得，故函数定义域为，关于原点对称，

又，即为奇函数.

又

利用复合函数的单调性质知，当时，为单调递减函数，

可知在上单调递减，且的值域为R，

不等式，转化为

则，即，即

即，解得，

则原不等式的解集为.

【小问2详解】

由，得，令

令，则，作出图象，

当时，如图①，只有一个，对应3个零点；

当时，如图②，只有一个，对应1个零点；

当时，如图③，只有一个，对应1个零点；

当时，，此时，，，

由，

得在，，三个t分别对应一个零点，共3个，

在时，，三个t分别对应1个，1个，3个零点，共5个，

综上所述：当或时，只有1个零点

当或时，有3个零点..

当时，有5个零点.

  ①                     ②                    ③

【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性，方法是：

（1）把不等式转化为的模型；

（2）判断的单调性，再根据函数的单调性将“”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别.