2021-2022学年福建省泉州高二年级下册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年福建省泉州高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．在二项式的展开式中，含的项的二项式系数为（    ）

A．28 B．56 C．70 D．112

【答案】A

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于1，求得的值，即可求得展开式中含的项的二项式系数.

【详解】∵二项式的展开式中，通项公式为，

令，求得，可得含的项的二项式系数为，

故选：A.

2．已知随机变量的分布列如表，若，则（    ）

A． B．4 C．6 D．12

【答案】C

【分析】结合分布列的性质，以及期望公式，即可求解.

【详解】由分布列的性质可得：，解得，

∵，解得.

故选：C.

3．甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一排，甲乙相邻，且甲不站中间的方法种数有（    ）

A．24 B．36 C．42 D．48

【答案】B

【分析】首先将甲乙之外的3人全排列，再分甲在排头或甲在排尾和乙在中间两种情况，即可得到答案.

【详解】根据题意，分两步分析，

①将甲乙之外的3人全排列，共有种排法，排好后有4个空位，

②甲乙相邻，将甲乙看成一个整体，甲不站中间，

则甲乙在排头或甲乙在排尾，共种排法，乙在中间，共2种排法，

所以甲不站中间的方法种数共有种.

故选：B

4．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分别讨论与两种情况，利用导数与函数的关系研究的图像，从而得解.

【详解】因为，

当时，，则，

令，得；令，得；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，从而排除B；

当时，，则，

所以在上单调递增，从而排除D；

又，从而排除C；

由于排除了选项BCD，而选项A又满足上述的性质，故A正确.

故选：A.

5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，问题转化为，根据三角函数的性质求出的取值范围即可.

【详解】∵函数在上单调递增，

∴，

即，故，

而，

则实数，

故选：C.

6．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.2．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为

A．0. 36 B．0. 49 C．0. 51 D．0. 75

【答案】C

【分析】乙至少赢甲一局的对立事件为甲两局不输，由此能求出乙至少赢甲一局的概率．

【详解】乙至少赢甲—局的概率为.

故选C

【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7．已知事件，满足，，下列说法错误的是（    ）

A．若，则，是互斥事件

B．若，则，是互斥事件

C．若，则，是相互独立事件

D．若，则，是相互独立事件

【答案】C

【分析】利用互斥事件的定义判断AB；利用相互独立事件的定义判断CD.

【详解】事件，满足，，

对于A，∵，∴，∴，是互斥事件，故A正确；

对于B，∵，∴，是互斥事件，故B正确；

对于C，∵，∴，

∴，∴，不是相互独立事件，故C错误；

对于D，∵，∴，是相互独立事件，故D正确.

故选：C.

8．已知不等式成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用指对互化以及对数函数的单调性，将问题化为恒成立，再利用导数研究单调性、最值求解.

【详解】解：，原式可化为，

即，即，

令，

因为当时，，，故此时；

当时，比快得多，故此时；

令，且恒成立，

故在上单调递减，

且当时，，当时，，

故存在，有，即，所以，

当时，，此时单调递增，

时，，此时单调递减，

故，

显然，当且仅当时取等号，

故，解得，即即为所求.

故选：B.

二、多选题

9．已知1是函数的一个极值点，则（    ）

A． B．在单调递增

C．1是函数的极大值点 D．的对称中心为

【答案】AD

【分析】根据，可求得的值，再逐项分析判断即可.

【详解】解：，则，

解得，

∴，，

令，解得，令，解得或，

∴函数在上单调递减，且在处取得极小值，

由三次函数的性质可知，其对称中心为，

综上，选项AD正确，选项BC错误.

故选：AD.

10．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的，，，且各车间的次品率分别为，，.从该工厂的一批产品中随机抽查1件产品（    ）

A．该产品是次品的概率为

B．该产品是正品的概率为

C．若该产品是次品，则该次品由甲车间生产的可能性最大

D．若该产品是正品，则该正品由甲车间生产的可能性最大

【答案】ACD

【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式计算即可.

【详解】解：对于A，该产品是次品的概率为，故A正确；

对于B，该产品是正品的概率为，故B错误；

对于C，若该产品是次品，则该次品由甲车间生产的可能性为；

若该产品是次品，则该次品由乙车间生产的可能性为；

若该产品是次品，则该次品由丙车间生产的可能性为；

可知该次品甲车间生产的可能性最大，故C正确；

对于D，若该产品是正品，则该正品由甲车间生产的可能性为；

若该产品是正品，则该正品由乙车间生产的可能性为；

若该产品是正品，则该正品由丙车间生产的可能性为；

可知该正品甲车间生产的可能性最大，故D正确.

故选：ACD.

11．是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】令，求出函数的导数，结合函数的单调性判断即可.

【详解】令，

∵当时，，

∴当时，，

∴在上单调递增；

又为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，

∴为上的奇函数；

∴在上单调递增.

由，可得，故A正确；

由，可得，故B错误；

由，可得，故C正确；

由，可得，故D错误.

故选：AC.

12．某同学研究得：一个盒子内有5个白球，1个红球，从中任取2球的方法数可以是，也可以是，故.类比可得（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC

【分析】由组合数及类比推理的知识逐项进行分析即可.

【详解】对于A，，，故A错误，

对于B，由类比推理，，故B正确，

对于C，，故C正确，

对于D，由于不一定相等，所以无法由类比推理推出，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．一渔船出海打渔，出海后，若不下雨，可获得3000元收益；若下雨，将损失1000元.根据预测知某天下雨的概率为0.6，则这天该渔船出海获得收益的期望是______.

【答案】600

【分析】根据已知条件，结合期望公式，即可求解.

【详解】解：预测知某天下雨的概率为0.6，

则某天不下雨的概率为，

故这天该渔船出海获得收益的期望是.

故答案为：600.

14．某班宣传小组有3名男生和2名女生.现从这5名同学中挑选2人参加小剧场演出，在已知抽取1名男生的条件下，2名都是男生概率是______.

【答案】##0.5

【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.

【详解】设事件A表示“抽取1名男生”，事件表示“另1名也是男生”，

则，，

故.

故答案为：.

15．已知是坐标原点，，在函数的图象上，为线段的中点，则斜率的最大值是______.

【答案】

【分析】先求出直线的斜率，再利用导数求函数的最值即可.

【详解】设，

∵，为线段的中点，

∴，，

设，则，

当时，则，单调递增，

当时，则，单调递减，

∴当时，取得最大值为，

∴斜率的最大值是，

故答案为：.

16．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数的一些代数性质直观地体现在数阵中.在杨辉三角的100行数字中，存在两个相邻的数字之比为的共有______行.

【答案】33

【分析】由题意设设第行相邻的两个数为，根据组合数公式化简，再由整除取值即可.

【详解】由题意，第行各数从左到右均满足，

设第行相邻的两个数为，则，

则，

化简得，即，，1，2，…，100，

故，6，…，99，共有33项.

故答案为：33.

四、解答题

17．已知的展开式的所有项的二项式系数和为512.

(1)若，求；

(2)求展开式中系数最大的项.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）由题意，利用二项式系数的性质求得，再利用赋值法求得要求式子的值.

（2）设第项系数最大，则，求得的值，可得展开式中系数最大的项.

【详解】（1）∵的展开式的所有项的二项式系数和为，∴.

∵，

∴令，可得，

∴再令，可得，

即，

∴.

（2）设第项系数最大，则，求得，∴，

故展开式中系数最大的项为.

18．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了抽样调查，得到该市100位居民的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)现从这100位居民中月均用水量在的人中，随机抽取4人进行电话回访，求至少有2人月均用水量在的概率；

(2)把这100位居民的月均用水量的频率视为该市居民的月均用水量的概率，现从该市随机抽取1位，用表示月均用水量不低于吨的人数，求的期望和方差.

【答案】(1)

(2)数学期望为，方差为.

【分析】（1）由题意首先求得100位居民中月均用水量在的人数，然后计算所求的概率即可；

（2）首先求得的值，然后利用二项分布的期望方差公式计算即可.

【详解】（1）由题意，100位居民中月均用水量在的人数：人；

其中中6人，[3.5,4)中4人，

.

（2）由题意，，解得：，

则用水量不低于吨的人数所占的概率为，

据此可得服从二项分布：，

其数学期望为：，

方差为.

19．已知函数.

(1)若，求的取值范围；

(2)求证：，其中，.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）问题转化为恒成立，令，，根据函数的单调性求出的取值范围即可；

（2）根据，对赋值累加即可.

【详解】（1）由题可知：的定义域是

若，则恒成立，

令，，则只需，

而，令，解得，令，解得，

故在递增，在递减，

故，故只需，

即若，则实数的取值范围是；

（2）证明：由（1）知，时，在恒成立，当且仅当时“＝”成立，

令，，则，则，

故，

故，

而，则，

∴，即

∴，

故.

20．在京西购物平台购买手机时，可以选择是否加购“碎屏无忧”的保障服务，“碎屏无忧”服务有两种（两种服务只能购买一种）：一为“1年碎屏换屏”，价格100元，在购机后一年内原屏发生碎屏可免费更换一次屏幕；一为“2年碎屏换屏”，价格150元，在购机后两年内原屏发生碎屏可免费更换一次屏幕，若未购买“碎屏无忧”服务，则碎屏后需更换屏幕，更换一次屏幕需要300元.已知在购机后的第一年，第二年，第三年原屏发生碎屏的概率分别是0.4，0.2，0.1.每部手机是否发生碎屏相互独立且每年至多碎屏一次.

(1)在京西购物平台购买了一部手机，求这部手机在第二年原屏才发生碎屏的概率；

(2)拟在京西购物平台购买一部手机，并决定3年后再换部新手机.请问是否应该购买加购“碎屏无忧”的保障服务？说明理由.

【答案】(1)0.12；

(2)在京西购物平台购买一部手机，应加购“碎屏无忧”的保障服务，理由见解析.

【分析】（1）利用独立事件的乘法公式可求概率；

（2）设购买“1年碎屏换屏”需花费元，购买“2年碎屏换屏”需花费元，不买保险需花费元，则可求各随机事件的概率分布及数学期望，从而可判断是否购买保险.

【详解】（1）设该手机第二年原屏才碎裂为事件，

，

从而该手机第二年原屏才碎裂的概率为；

（2）设购买“1年碎屏换屏”需花费元，则可取值，

则，，

故，

故.

设购买“2年碎屏换屏”需花费元，则可取值，

则，

，

，

故，

设不买保险需花费元，则可取值，

故，

，

故，

故，

因为，

故在京西购物平台购买一部手机，应加购“碎屏无忧”的保障服务.

21．本次数学考试的第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.若每道多选题的正确答案是两个选项或者三个选项的概率均为.现甲乙两位同学独立解题.

(1)假设每道题甲全部选对的概率为，部分选对的概率为，有选错的概率为；乙全部选对的概率为，部分选对的概率为，有选错的概率为，求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率；

(2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策.

【答案】(1)

(2)甲应选择1个选项才有希望得到更理想的成绩；乙应选择3个选项才有希望得到更理想的成绩.

【分析】（1）先分析包含的事件有哪些种，再求概率即可.

（2）分别求出选择1,2,3个选项三个情况下的得分的期望，取期望最大的情况即可.

【详解】（1）由题意知：甲比乙多得13分的情况包含：

A：甲四道全对；乙一道全对，一道部分选对，两道选错，即甲得20分，乙得7分.

：甲三道全对，一道部分选对；乙两道部分选对，两道选错，即甲得17分，乙得4分.

：甲三道全对，一道选错；乙一道部分选对，三道选错，即甲得15分，乙得2分.

.

.

.

.

（2）若为甲出方案.

则甲可能的选项个数为：1，2，3.

记表示选1个选项的得分，则期望为.

记表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5，

，，

此时期望为.

记表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5，

，

此时期望为.

∵.

∴甲应选择1个选项才有希望得到更理想的成绩.

若为乙出方案.

则乙可能的选项个数为：1，2，3.

记表示选1个选项的得分，类比甲的情况，则.

记表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5，此时.

记表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5，此时.

∵.

∴乙应选择3个选项才有希望得到更理想的成绩.

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有两个极值点，，且，求的取值范围.

【答案】(1)答案见详解

(2)

【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论即可求解；

（2）结合函数极值与导数零点关系进行转化后，结合题目特点进行合理的构造，然后结合导数与单调性关系即可求解.

【详解】（1）因为函数，则，，

令，则，

①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增，

②当时，即时，

令，得或，

∴在和上单调递增，在上单调递减，

综上所述，当时，在上单调递增，

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

（2）由（1）得，当时，有两极值点，，

由（1）得，为的两根，所以，，

不妨设，因为，故，

易知在单调递减，故，

所以，

将代入化简可得：，

即原不等式等价转化为，

令，构造，

，故在时单调递增，又因为，

故要使得，仅需，即，

又因为，

故，由上可知，故，

故的取值范围是.

【点睛】方法点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.