福建省泉州科技中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题【试卷+答案】

泉州科技中学2022届高三上学期期中考

数学试卷

（考试时间：120分钟  满分：150分）

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M＝{x|2x＞1}，，则M∩N＝（　　）

A．[0，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）

2．复数，若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则的虚部为（　　）

A． B． C． D．

3．已知命题，.若为假命题，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

4．已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5. 若直线与曲线相切，则（    ）

A. 定值      B. 为定值       C. 为定值      D. 为定值

6. 已知单位向量，的夹角为，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7、已知α∈[0，2π]，点P（1，tan2）是角α终边上一点，则α＝（　　）

A．2 B．2+π C．π﹣2 D．2+π或2

8、已知函数在定义域上单调递增，且关于x的方程f（x）＝x+2恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（　　）

A． B． C． D．（0，1）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．若0＜a＜b＜c，则下列结论正确的是（　　）

A．lna＜lnb         B．b2＜a2 C．         D．（）a＜（）b

10．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想．2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回．某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则

A．圆形轨道的周长为                B．月球半径为

C．近月点与远月点的距离为     D．椭圆轨道的离心率为

11. 设正实数满足，则下列说法正确的是

的最小值为           的最小值为 

的最小值为      的最小值为

12．（5分）将边长为2的正方形沿对角线折成直二面角，点为线段上的一动点，下列结论正确的是　　

A．异面直线与所成的角为 B．是等边三角形 

C．面积的最小值为         D．四面体的外接球的表面积为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．的展开式中，的系数是_________.

14．已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为__________.

15.学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃。欲将轻骑逐，大雪满弓刀。”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情。这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归。月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于年提出了以下猜想是质数，直到年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数。现设，记，则数列的前项和          。

16．（5分）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为10，，，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当最长时，该奖杯比较美观，此时　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．设①；②；③，请在这三个条件中任选两个补充到下列问题中，若补充后问题中的三角形存在，求的面积；若不存在，请说明理由．

问题：是否存在，其内角，，的对边分别为，，，且，________．

18.(12分）已知等差数列{an},其前n项和为Sn,若a1+a3=10,S3=35.

（1)求数列{an}的通项公式；

（2)若数列{bn}满足：a1b1+a2b2+a3b3+···+anbn=1+(2n-1)2n,求数列的前n项和Tn.

19．（12分）现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为．若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为，当时，取得最大值．

（1）求；

（2）设，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励．经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为万元，求的分布列及其数学期望．

20．如图，在四棱中，，，，平面平面ABCD.

（1）求证：；

（2）已知二面角的余弦值为.线段PC上是否存在点M，使得BM与平面PAC所成的角为30°？证明你的结论.

21．(12分)如图，设点A，B的坐标分别为，，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为．

（1）求P的轨迹方程；

（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求△MON的面积．

22．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若有两个不同的极值点，，且恒成立，求实数的取值范围.

泉州科技中学2022届高三上学期期中考

数学试卷

（考试时间：120分钟  满分：150分）

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．B    2．C     3．A     4．D    5. B   6. C    7. D

8. C已知函数在定义域上单调递增，且关于x的方程f（x）＝x+2恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（　　）

A． B． C． D．（0，1）

解：∵函数在定义域上单调递增，

∴0＜a＜1且2﹣loga（0+1）≤4a+1，故≤a＜1，

画出函数f（x）的图像，如图示：

∵y＝ex+4a在x＝0处的切线为y﹣（4a+1）＝x，即y＝x+4a+1，

又4a+1≥2，故y＝x+2与y＝ex+4a（x＞0）没有公共点，

∴y＝x+2与y＝2﹣loga（x+1）有且仅有1个公共点且为（0，2），

∴y＝2﹣loga（x+1）在x＝0处的切线的斜率必须大于等于1，

y′＝﹣，k＝﹣≥1，∴lna≥﹣1，∴a≥，

综上：a的取值范围是[，1），故选：C．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．若0＜a＜b＜c，则下列结论正确的是（　　）

A．lna＜lnb           B．b2＜a2 C．         D．（）a＜（）b

解：由于0＜a＜b＜c，对于A：lna＜lnb，故A正确；

对于B：由于0＜a＜b＜c，所以b2﹣a2＝（a+b）（b﹣a）＞0，故B错误；

对于C：＝，故C正确；

对于D：由于0＜a＜b＜c，故（）a＞（）b，故D错误．   故选：AC．

10．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想．2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回．某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则

A．圆形轨道的周长为                B．月球半径为

C．近月点与远月点的距离为     D．椭圆轨道的离心率为

【解析】对于A, 因为飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为，则可得环绕的圆形轨道周长为，半径为，故A错误；

对于B，月球半径为，故B正确;

对于C，近月点于远月点的距离为，故C正确；

对于D，设椭圆方程为，则，所以所以, 故D错误. 故选BC．

11.（原创，中）设正实数满足，则下列说法正确的是

的最小值为           的最小值为 

的最小值为      的最小值为

【答案】

【解析】对于，因为，所以，当且仅当，

即时等号成立，即的最大值为 故错误

对于，因为

所以，当且仅当，

即时等号成立，故正确

对于，因为，

当且仅当，即时等号成立，所以正确

对于，因为，则有

所以

当且仅当，即时等号成立，所以正确

故选：

12．（5分）将边长为2的正方形沿对角线折成直二面角，点为线段上的一动点，下列结论正确的是　　

A．异面直线与所成的角为 B．是等边三角形 

C．面积的最小值为         D．四面体的外接球的表面积为

12．解：对于，因为，，，

所以平面，平面，

所以，异面直线与所成的角为，不是，所以错；

对于，因为，所以，同理，

所的是等边三角形，所以对；

对于，因为，所以要求面积的最小值，

只须求边上高的最小值，此最小值恰为异面直线与的距离，设为，

因为，平面，平面，所以平面，

又因为平面，所以直线到平面距离即为，

即点到平面距离为，

因为，所以，解得，

所以面积的最小值，所以对；

对于，四面体的外接球的球心为，半径为，

所以表面积为，所以对．

故选：．

14．的展开式中，的系数是_________.

【详解】解：，通项公式为：，令，解得：，此时系数为.      故答案为：.

15．已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为__________.

点睛：球与棱柱相切

【答案】

【详解】

由题意三棱柱是正三棱柱，分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知中点为球的球心，取中点（为切点），则（等于到棱距离．设球半径为，

由正三角形性质知，

与底面垂直，则必与底面上直线垂直，因此，解得，

球体积为．故答案为：．

15. 学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃。欲将轻骑逐，大雪满弓刀。”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情。这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归。月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于年提出了以下猜想是质数，直到年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数。现设，记，则数列的前项和          。

【答案】

【解析】依题意有

得

所以

则有

16．（5分）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为10，，，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当最长时，该奖杯比较美观，此时　　．

解：作交于，交于，且，设，

则，，

设，作交于，交于，

，，，

，，则，即，

，

．

，，当，即时，最大，

也就是最长时，．故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．设①；②；③，请在这三个条件中任选两个补充到下列问题中，若补充后问题中的三角形存在，求的面积；若不存在，请说明理由．

问题：是否存在，其内角，，的对边分别为，，，且，________．

【详解】

由，得．

∴．∴．∴，．

选择①②的解析：

由，得，∴．

∴，解得或（舍）（或者用正弦定理得）

∴存在这样的三角形，．

选择②③的解析：

由得，．∵，，可知，∴

由，得，，所以存在这样的三角形，．

选择①③的解析：

∵， ∴．∴解得．

所以存在这样的三角形，．

18.(12分）已知等差数列{an},其前n项和为Sn,若a1+a3=10,S3=35.

（1)求数列{an}的通项公式；

（2)若数列{bn}满足：a1b1+a2b2+a3b3+···+anbn=1+(2n-1)2n,求数列的前n项和Tn.

18．（1）因为，所以，解得，                    2分

所以．                                               4分

（2）由(1)得:，①

所以，②

两式相减得：，所以，                   7分

又由式得，适合上式，所以．                          8分

所以，                          10分

所以．               12分

19．（12分）现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为．若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为，当时，取得最大值．

（1）求；（2）设，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励．经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为万元，求的分布列及其数学期望．

20．解：（1），

因为当，所以当时，取得最大值，则；

（2）因为，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，

所以每场球赛甲队输的概率为，两队平局的概率为，

当甲连赢两场时，，且，

当甲赢一场平一场时，，且，

当甲赢一场输一场或两队连平两场时，，且，

当甲输一场平一场时，，且，当甲连输两场时，，且，

所以的分布列为：

故的数学期望为．

20．如图，在四棱中，，，，平面平面ABCD.

（1）求证：；

（2）已知二面角的余弦值为.线段PC上是否存在点M，使得BM与平面PAC所成的角为30°？证明你的结论.

【详解】

（1）因为，，

所以四边形ABCD是平行四边形，且.

因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，

所以平面PBD，所以.

因为，所以.

所以，即.

又因为，所以平面ABCD.

因为平面ABCD，所以.

（2）设.以D为坐标原点，分别以DA，DB，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

则，，，，.

所以，，.

设平面PAC的一个法向量为

由，得，即.

取，得，，即.取为平面ACD的一个法向量.

则.因为二面角的余弦值为.

所以，解得，所以.

假设这样的点M存在，设，其中.

由，得.则.设BM与平面PAC所成的角为，

则.因为，所以，解得.

所以，存在这样的点M，即当时，BM与平面PAC所成的角为.

21．(12分)如图，设点A，B的坐标分别为，，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为．

（1）求P的轨迹方程；

（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求△MON的面积．

【解析】（1）由已知设点的坐标为，由题意知

，

化简得的轨迹方程为 .............................4分

（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，

则直线斜率必存在且不为0，又由已知．

因为，所以 .............................5分

设直线的方程为，代入椭圆方程，得．．．．①，

设的坐标分别为，则 .............................7分

又，

所以，得 .............................9分

又，

所以，即的面积为定值 .............................12分

22．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若有两个不同的极值点，，且恒成立，求实数的取值范围.

【详解】（1）因为，所以.

当时，因为，所以，此时的单调递增区间为.

当时，令，得.

当时，，当时，.

此时，的单调递增区间为，的单调递减区间为.

（2）因为，所以.

依题意，，解得.

因为，是的极值点，所以，则.

.

所以，由，可得.①

因为，，所以①等价于.

令，则，

因为，所以.

所以在单调递增，且.

所以，.

所以的取值范围是