福建省泉州市第六中学2021-2022学年高一上学期期中模块测试数学试题

泉州六中2021-2022学年上学期高一年数学期中模块测试

时间：120分钟    满分：150分

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{x|－2＜x＜1}，则M∩N＝(　 　)

A.{x|－2＜x＜1}  B.{x|－1＜x＜1}  C.{x|1＜x＜3}  D.{x|－2＜x＜3}

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数的定义域为　　

A．  B．， 

C．，  D．，，

4．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）

A．y＝与y＝ 

B．y＝与y＝ 

C．y＝（x≠0）与y＝1（x≠0） 

D．y＝，x∈Z与y＝，x∈Z

5．若，则当取得最大值时，x的值为（    ）

A．1 B． C． D．

6．函数的图象是（    ）

A． B．

C．  D．

7．已知函数f（x）＝，若f（x）是R上的增函数，则实数a的取值范围为（　　）

A．（1，+∞） B．[4，8） C．[1，4） D．[2，8）

8．已知关于x的不等式－4x≥m对任意x∈(0,3]恒成立，则有(　   )

A． B． C． D．

二、多选题：本题共4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.下列函数中，既是奇函数又是减函数的为(　　)

A.y＝－x     B.y＝－     C.y＝       D.y＝－x|x|

10．﹣1＜x＜3成立的必要不充分条件可以是（　　）

A．﹣2＜x＜4 B．﹣1＜x＜5 C．0＜x＜2 D．0＜x＜4

11．下列结论正确的是（     ）

A．当时，

B．当时，的最小值是2

C．当时，的最小值是5

D．设，，且，则的最小值是

12．下列关于函数的说法中正确的是（　　）

A．f（x）为奇函数 

B．f（x）在（0，+∞）上单调递减 

C．不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 

D．不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设函数，则 _________．

14．设，，且，则的最小值是________.

15．已知，则______．

16．定义其中max{a，b}表示a，b中较大的数．对∀x∈R，设，，函数g（x）＝f（a，b），则

（1）g（﹣1）＝　   　；（2）若g（）＞g（），则实数的取值范围是　   　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）

(1)已知，求的最小值；

(2)已知，求的最大值．

18．（12分）

已知全集为实数集R，集合A＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|－2m＋1＜x＜m}.

(1)若m＝5，求A∪B，；

(2)若A∩B＝A，求m的取值范围.

19．（12分）

已知是一次函数，且，.

(1)求的解析式；

(2)若当，恒成立，求实数的取值范围.

20. （12分）

已知函数              ．

(1) 求函数的定义域；

(2) 判断的奇偶性并证明；

(3) 用函数单调性定义证明：在上是增函数．

21．（12分）

某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元.

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

22．（12分）

设函数对任意都有，且当时，．

(1)证明：为奇函数；

(2)证明：为减函数．

(3)若，试求关于的不等式的解集.

参考答案

一、单项选择题

1．B　

【分析】

应用集合的交运算求.

【详解】

∴.

故选：B

2．A

【解析】

【分析】

首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】

求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

3．D

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可．

【详解】

解：由题意得：

，解得：且，

故函数的定义域是，，，

故选：．

【点睛】

本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，属于基础题．

4 . C

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断两个函数是同一函数．

解：对于A，函数y＝＝x+3（x≠3），与y＝x+3（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数y＝（x≤﹣1或x≥1），与函数y＝x﹣1（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于C，函数y＝x0＝1（x≠0），与函数y＝1（x≠1）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，函数y＝2x+1（x∈Z），与y＝2x﹣1（x∈Z）的对应关系不同，不是同一函数．

故选：C．

5．D

【分析】

根据基本不等式即可得到答案.

【详解】

因为，所以，则，

当且仅当时取“=”.

故选：D.

6．C

【分析】

利用一次函数的图象判断.

【详解】

因为函数，

由一次函数的图象知选项C正确；

故选：C

7． B

【分析】由f（x）为R上的增函数，得x＞1时f（x）递增，x≤1时f（x）递增，且12≥4﹣﹣1，由此可得关于a的不等式组，解出即可．

解：由f（x）为R上的增函数，得

x＞1时f（x）递增，x≤1时f（x）递增，且12≥4﹣﹣1，

所以有 4﹣＞0，且12≥4﹣﹣1，

解得4≤a＜8，

故实数a的取值范围是4≤a＜8．

故选：B．

8．A

【解析】

∵对任意恒成立，令，，∵的对称轴为，∴在上单调递减，∴当时取到最小值为，∴实数的取值范围是，故选A．

点睛：本题考查了解决不等式恒成立问题，分离参数转化为求函数的最值问题；求二次函数的最值问题，常利用公式求出对称轴，据区间与对称轴的关系判断出其单调性，求出最值；构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最小值问题，求出二次函数的对称轴，判断出其单调性，求出的最小值，令最小值大于等于即得到的取值范围.

二、多选题

9.  AD

10．AB．

【分析】结合必要不充分条件的定义进行判断即可．

解：﹣1＜x＜3成立的一个必要不充分条件对应的集合包含（﹣1，3），

∵（﹣1，3）⫋（﹣2，4），（﹣1，3）⫋（﹣1，5），

∴﹣1＜x＜3成立的一个必要不充分条件可以是（﹣2，4）或（﹣1，5）．

故选：AB．

11. AD

【分析】

由基本不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，可得选项A,D正确， B,C错误.

【详解】

对于选项A，当时，，，当且仅当时取等号，结论成立，故A正确；

对于选项B，当时，，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因此的最小值不是2，故B错误；

对于选项C，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故C错误；

对于选项D，因为，，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.

故选：AD.

【点睛】

本题考查了均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，重点考查了运算能力，属中档题.

12．下列关于函数的说法中正确的是（　BC　）

A．f（x）为奇函数 

B．f（x）在（0，+∞）上单调递减 

C．不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 

D．不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）

【分析】根据题意，先分析函数的定义域，判断出奇偶性，再分离常数，得到单调性，求出小于0对应的不等式的解集，根据奇偶性即可判断CD．

解：由题意函数的定义域为R，

且，f（x）为偶函数，选项A错误．

当x＞0时，为单调递减函数，选项B正确．

当x＞0时，的解集为（1，+∞），

由偶函数的对称性可知不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），选项C正确，选项D错误．

故选：BC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

 13．15

【解析】

【分析】

先求内层函数值，再求外层函数值即可，

【详解】

∵函数，∴，．

故答案为：15

【点睛】

本题考查由分段函数求解函数值，属于基础题

14．18

【解析】

【分析】

利用指数运算性质，根据基本不等式求最值.

【详解】

当且仅当时取等号，即的最小值是18

故答案为：18

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值、指数运算，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．

【解析】

【分析】

令，将原函数中关于x的代数式变成关于t的代数式，然后再把t换回x表示即可得到解析式

【详解】

令，则

∴

故

故答案为：

【点睛】

本题考查了换元法求函数解析式，利用换元法将中用一个未知数t表示并化简函数式，得到的解析式

16．定义其中max{a，b}表示a，b中较大的数．对∀x∈R，设a＝x2，b＝﹣x2+2x，函数g（x）＝f（a，b），则

（1）g（﹣1）＝　﹣3　；

（2）若g（x）＞g（x2），则实数x的取值范围是　（0，1）　．

【分析】（1）根据定义，把x＝﹣1代入a＝x2，b＝﹣x2+2x，求出a，b的值，代入解析式即可．

（2）通过讨论先得出g（x）的表达式，根据g（x）的单调性，解不等式即可．

解：（1）当x＝﹣1时，由a＝x2，b＝﹣x2+2x，

得a＝1，b＝﹣1﹣2＝﹣3，所以a+b＝﹣2＜0，

∴g（﹣1）＝f（1，﹣3）＝1﹣3﹣1＝﹣3．

（2）由a+b＝x2﹣x2+2x＝2x得，当x＜0则a+b＜0；当x≥0则a+b≥0，

若a＞b则x2＞﹣x2+2x，解得x＞1或x＜0，若a≤b，解得0≤x≤1，

当x＜0时f（a，b）＝a+b﹣a＝b＝﹣x2+2x，

当x≤0≤1时f（a，b）＝max{a，b}＝b＝﹣x2+2x，

当x＞1时f（a，b）＝max{a，b}＝a＝x2，

所以g（x）＝．

故g（x）为单调增函数，若g（x）＞g（x2），则x＞x2解得0＜x＜1，

故答案为（0，1）．

故答案为：﹣3； （0，1）．

四、解答题：

17. 解析  (1)∵,

∴

当且仅当即时取等号

∴的最小值为4.

(2)∵,

∴

∴

∴

当且仅当即时取等号

∴的最大值为1

【点睛】此题考查基本不等式，根据运用基本不等式求最值，属于基础题.

18. 解析　(1)∵m＝5，∴B＝{x|－9＜x＜5}，

又A＝{x|1≤x≤7}，

∴A∪B＝{x|－9＜x≤7}.

又∁RA＝{x|x＜1或x＞7}，

∴(∁RA)∩B＝{x|－9＜x＜1}.

(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B，

∴即解得m＞7，

∴m的取值范围是(7，＋∞).．

【点睛】此题考查集合的基本运算，根据集合运算与集合包含关系等价求参数的取值范围，关键在于根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.

19．（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）设出一次函数解析式，根据，列方程组，解方程组求得解析式.

（2）化简不等式为，构造函数（），根据线段上的点的函数值恒大于零列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】

（1）依题意设，由，得，解得，故.

（2）化简得在上恒成立，令，知图像在上是一条线段.

在上恒成立，.

【点睛】本小题主要考查待定系数法求一次函数解析式，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.

20. (1) ；(2)是偶函数，证明如下：

因为，所以是偶函数；

(3)证明：，

设，则

==

=

=，

因为，所以，

，所以，

故在上是增函数.

21．（1）吨；（2）不获利，补元.

【解析】

【分析】

（1）求得每吨二氧化碳的平均处理成本为，利用基本不等式求得的最小值，利用等号成立的条件求得的值，由此可得出结论；

（2）令，求得该函数在区间的最大值，进而可得出结论.

【详解】

（1）由题意可知，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，

所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为，

由基本不等式可得（元），

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；

（2）令，函数在区间上单调递减，

当时，函数取得最大值，即.

所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损.

【点睛】

本题考查基本不等式和二次函数的实际应用，考查计算能力，属于中等题.

22．(1)证明：令，

则，

令，则，

即，所以，

故为奇函数；

(2)证明：设，令，

则，

，

又因为当时，，

所以，故，

所以为减函数．

(3)解：

  即

【点睛】

本题考查抽象函数的奇偶性单调性的应用，考查化归与转化能力，属于中等题.