2021-2022学年福建省泉州第一中学高二第一学期期中考试解析版

这是一份2021-2022学年福建省泉州第一中学高二第一学期期中考试解析版，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省泉州第一中学高二第一学期期中考试一、单选题   已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】C 【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题.利用倾斜角和斜率关系即可求解.【解答】解：设倾斜角为，则    在四面体OABC中，空间中一点M满足，若点M，A，B，C共面，则(    )A.  B.  C.  D. 【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查空间中四点共面的向量表示，属基础题.根据四点M，A，B，C共面的向量表示，可得结果.【解答】解：因为M，A，B，C共面，所以，解得，故选    已知双曲线的焦距为10，点在C的渐近线上，则双曲线C的标准方程为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查双曲线的性质和标准方程，属于基础题.由条件求出a，b，即可得双曲线方程.【解答】解：由题意，得，故双曲线方程为故选    两个圆与圆的公切线有且仅有(    )A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条【答案】B 【解析】【分析】本题考查两圆的公切线条数，属于基础题．先判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：圆的圆心，半径，圆，即，圆心为，半径为，则，故两圆相交，有2条公切线.    已知点在圆上运动，则的最大值是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，圆有关的最值问题，属于基础题.令，即为，可知直线与圆有交点，由此列出不等式求出k的范围，即可得到结果.【解答】解：圆，即，圆心为，半径，则的几何意义就是圆上一点与原点之间连线的斜率，令，即为，可知直线与圆有交点，则，解得，所以的最大值为故选    如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为(    )A.    B.    C.   D. 【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查的是空间向量的基本定理与空间向量的运算，属于中档题.以为基底，表示出，再利用空间向量的模和数量积运算即可求解.【解答】解：设，则所以故即的长为    在平面直角坐标系xOy中，过点向圆引切线，切线长为，设点P到点的距离为，当取最小值时，t的值为(    )A. 2 B.  C. 3 D. 【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，直线的两点式方程，两点间的距离公式，属于中档题.根据切线长与半径之间的关系，得到，即点P到定点的距离，因此可看成点P到定点的距离与到定点距离之和，当三点共线时，距离和最小，求出此时直线MQ方程，求出其与x轴交点即可.【解答】解：由题，圆的圆心，半径，所以过的切线长，则的几何意义就是点P到定点的距离，则的几何意义为动点P到定点的距离与到定点距离之和，当三点共线时，最小，此时点P为直线MQ与x轴的交点，直线MQ的方程为：，化简得，令，则，故故选    已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B是C上右支上的两点，且直线AB经过点若，以为直径的圆经过点B，则C的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的性质，以及圆的性质，属于中档题．由以为直径的圆经过点B，可得，再结合双曲线的性质和勾股定理，即可推得，再结合离心率公式，即可求解．【解答】解：设，，为直径的圆经过点B，，，，，，在，中，运用勾股定理可得，，解得，故离心率故选： 二、多选题   已知为直线l的方向向量，分别为平面的法向量不重合，那么下列说法中正确的有(    )A.  B.  C.  D. 【答案】BC 【解析】【分析】本题考查直线的方向向量与平面的法向量，以及利用直线的方向向量与平面的法向量判断空间的平行、垂直关系，属于基础题.根据直线的方向向量与平面的法向量的定义以及空间线面、面面的平行和垂直关系的判断方法，逐项判断，即可得到答案.【解答】解：因为为直线l的方向向量，分别为平面的法向量不重合，A.或，故错误；B.正确；C.正确；D.或，故错误.故选  已知方程，则(    )A. 当时，方程表示两条直线B. 当时，方程表示双曲线C. 当时，方程表示椭圆D. 方程表示的曲线可能为圆【答案】ABD 【解析】【分析】本题考查方程表示的曲线，注意运用分类讨论思想，属于基础题.由椭圆方程和双曲线方程、圆方程的特点，可判断结论.【解答】解：方程，当，时方程为，表示两条直线，故A正确；当时，方程表示双曲线，故B正确;当，且时，方程表示椭圆，当，时不表示任何图形，故C错误；当时，方程表示圆.故D正确.故选：  已知圆，直线，下面命题中正确的是(    )A. 对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；B. 对任意实数k与，直线l与圆M都相离；C. 存在实数k与，直线l和圆M相交；D. 对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．由题意求得圆M与直线l有公共点；求得圆心到直线l的距离为；即可得出答案.【解答】解：对于A，圆M：的圆心为，半径为；无论取何值，都有，圆过定点；又直线l：可化为，过定点；直线l和圆M有公共点，A正确；对于B，圆心M到直线l的距离为，其中；，故B错误，C、D正确.故选  如图，点O是正四面体PABC底面ABC的中心，过点O且平行于平面PAB的直线分别交AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R，则    (    )
A. 若平面PAB，则B. 存在点S与直线MN，使C. 存在点S与直线MN，使平面SRQD. 【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查空间中的平行、垂直关系、空间向量数量积和共面向量定理，属于中档题.利用线面平行的性质可判断A，由空间向量数量积可判断B，由线面垂直的判定可判断C，由共面向量定理可判断【解答】解：对于A，平面PAB，平面平面，且平面ABC，，又面面，面SQR，；，故A正确；对于B，，故B不正确;对于C，设正四面体的棱长为a，当时，点O是正四面体PABC底面ABC的中心，且MN过点O，，在棱PC上取点S，使得，则，即，同理，，而，且平面MNS，平面MNS，平面MNS，即平面SRQ，故C正确；对于D，设D为BC的中点，则，又，A，Q三点共线，，，B，R三点共线，，，S，C三点共线，，设，，，则，，Q，R，S四点共面，，又，，，即，故D正确.故选三、填空题  过点且与直线垂直的直线方程__________.【答案】 【解析】【分析】本题考查直线的一般式方程，考查两直线垂直的条件，属于基础题.根据题意设出和已知直线垂直的方程为，代入点的坐标可求出c，即可得到答案.【解答】解：与直线垂直的直线方程可设为，因为点在所求直线上，所以，所以，所以所求直线为  点，若，的夹角为锐角，则的取值范围为__________.【答案】 【解析】【分析】本题考查向量的概念，向量的夹角，属于基础题.根据题意可求出和，因为，的夹角为锐角，可得，且不能是同向共线，列出不等式求解即可.【解答】解：根据题意有，，，的夹角为锐角，，且不能是同向共线，解得，且，则的取值范围为  唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，当将军选择最短路程时，饮马点A的纵坐标为__________.最短总路程为__________【答案】   【解析】【分析】本题主要考查与圆有关的最值，考查了点关于直线的对称点问题，是中档题.先求出点关于直线的对称点的坐标，所以，故问题转化为求点到营区的最短距离，再根据圆的几何特征即可求出最短距离；A点为直线与直线的交点，求出的方程，联立方程组可得A点纵坐标.【解答】解：设点关于直线的对称点，则，解得，，将军从P出发到达直线上点A再到营区，，本题问题转化为求点到营区的最短距离，根据圆的几何特征可知最短距离为A点为直线与直线的交点，直线的方程为，由，解得，故A点纵坐标为故答案为；  在正方体中，M是棱的中点，P是底面ABCD内包括边界的一个动点，若平面，则异面直线MP与所成角的取值范围是 __________.【答案】 【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题．取AD中点E，DC中点F，连接ME，MF，EF，取EF中点O，连接MO，推导出平面平面EFM，从而P的轨迹是线段EF，当P与O重合时，异面直线MP与所成角取最大值，当P与E或F重合时，异面直线MP与所成角取最小值【解答】解：取AD中点E，DC中点F，连接ME，MF，EF，取EF中点O，连接MO，在正方体中，M是棱的中点，，，平面，，平面，平面，同理可得平面，，ME，MF是平面EFM内两相交直线，平面平面EFM，是底面ABCD内包括边界的一个动点，平面，的轨迹是线段EF，，O是EF中点，，，，当P与O重合时，异面直线MP与所成角取最大值，，P是EF上动点，，当P与E或F重合时，异面直线MP与所成角取最小值异面直线MP与所成角的取值范围是 四、解答题已知空间中三点，设若且，求向量；已知向量与互相垂直，求k的值；【答案】解：，，，，又，且，存在非零实数m，使得，，，或，，，向量与互相垂直，，解得 【解析】本题考查了空间向量的坐标运算，向量的模，向量平行与垂直，属于中档题.由，可得存在非零实数m，使得，根据向量的坐标运算结合即可求解；根据向量垂直的条件即可解答. 已知直线l方程为，其中当m变化时，求点到直线l的距离的最大值；若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值及此时的直线l的方程．【答案】解：直线方程为即为，由可得，则已知直线恒过定点，可得到直线的最大距离为；设直线的斜率为，则其方程为，可得，，则由，可得，所以当且仅当，即时取等号．则的面积最小值是4，直线的方程为，即  已知四棱柱的底面为菱形，，，，平面，证明：平面；求钝二面角的余弦值．【答案】证明：连接交于点Q，连接OQ，四棱柱的侧面为平行四边形，为中点，为AC中点，在中，OQ为中位线，，平面，平面，平面；  平面，，且O为BD的中点，，、平面ABCD，且，平面ABCD，如图，以OA，OB，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，  易得：，，，，  ，，  设平面的一个法向量为  则 ，  ，  令，得，    同理可得平面的一个法向量为，  ，结合图形知，二面角为钝角， 钝二面角的余弦值为 【解析】本小题主要考查空间中面与面垂直的证明和二面角的求解，属于中档题.由题意得，直接运用面与面平行的判定方法即可求解；由题意得，直接运用求二面角的步骤即可求解. 如图，某海面上有O、A、B三个小岛面积大小忽略不计，A岛在O岛的北偏东方向处，B岛在O岛的正东方向20km处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，1km为单位长度，建立平面直角坐标系，写出A、B的坐标，并求A、B两岛之间的距离；已知在经过O、A、B三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西方向距O岛20km处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】解：在O的东北方向处，B在O的正东方向20km处，，，由两点间的距离公式得；设过O、A、B三点的圆的方程为，将、、代入上式得，解得，，，所以圆的方程为，圆心为，半径设船起初所在的位置为点C，则，且该船航线所在直线的斜率为，由点斜式得船航行方向为直线l：，圆心到l：的距离为，，，即，所以该船有触礁的危险. 如图，在多面体ABCDEF中，平面平面四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且，是边长为1的等边三角形，M为线段BD三等分点靠近点，求证：；求直线MF与平面CDE所成角的正弦值；线段BD上是否存在点N，使得直线平面AFN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】证明：因为ADEF为正方形，所以平面ADEF，又因为平面平面ABCD，且平面平面，所以平面ABCD，平面所以解：取AD中点O，EF中点K，连接OB，因为是等边三角形，所以，在正方形ADEF中，，又平面平面ABCD，平面平面，，故平面ADEF，平面ADEF，进而，即OB，OD，OK两两垂直.分别以OB，OD，OK为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，于是，，，，，，，所以，，，设平面CDE的一个法向量为，则，即，令，则，则，设直线MF与平面CDE所成角为，，解：且平面AFN，平面AFN，平面AFN，要使直线平面AFN，只需，设，，则，，所以，又，由得，解得，所以线段BD上存在点N，使得直线平面AFN，且  已知椭圆的左､右顶点分别为，，离心率为，点在椭圆C上.求椭圆C的方程.若过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，已知直线与相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.【答案】解：依题意可得解得，所以椭圆C的方程为设，，直线MN的方程为：，联立方程组可得，得到，，由根与系数的关系得到，，因为直线：，直线：，联立两直线方程得到：，即，即，整理得：，所以点G在定直线上.