2021-2022学年福建省泉州市第九中学高一上学期期中考试数学试题含解析

2021-2022学年福建省泉州市第九中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设全集为R，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合交集和补集的定义进行运算即可.

【详解】解析：，所以，

故选：A．

2．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据解析式的形式可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域.

【详解】由题设可得，故且，

故函数的定义域为.

故选：C.

3．若，一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的性质逐一分析即可.

【详解】若，则，故A正确；

当时，，故BC错误；

当时，，故C错误.

故选：A.

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解不等式、，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】由可得，

由可得，解得，

因此“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

5．已知关于x的方程有两个不等实根，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将问题转化为与的图象有两个交点，应用数形结合法判断参数a的取值范围即可.

【详解】函数，其大致图象如图所示．

关于x的方程有两个不等实根等价于直线与的图象有两个交点，由图可知：，即．

故选：B．

6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据图象函数为奇函数，排除D；再根据函数定义域排除B；再根据时函数值为正排除A；即可得出结果.

【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，

而D中的函数为偶函数，故排除D；

由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B；

对于A，当时，，不满足图象；对于C，当时，，满足图象.

故排除A，选C.

故选：C

7．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为1.75%，若按复利计算，将这1000元存满5年，可以获得利息（    ）（参考数据：，，）

A．110元 B．91元 C．72元 D．88元

【答案】B

【分析】根据已知求出存满5年后的本息和，再减去本金，即可得出答案.

【详解】解：将1000元钱按复利计算，则存满5年后的本息和为，故可以获得利息（元）.

故选：B.

8．已知的定义域是，，且函数为偶函数．当时，．方程在区间上的所有根之和为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】由得函数在上是奇函数.由函数为偶函数，得关于直线对称.画出函数图像，由函数图像即可得到方程在区间上的所有根之和.

【详解】由得，

所以在上是奇函数.

又因为函数为偶函数，所以，

所以关于直线对称.

当时，，

如图，做出在区间上的图像.

由方程解得，令，

如图，做出在区间上的图像.

由图可知，与在区间上有个交点：.

且与均关于直线对称.

所以,,

所以，

即方程在区间上的所有根之和为.

故选：D

【点睛】难点点睛：本题解题的关键在于根据题目所给的条件，进行适当变形得到函数的奇偶性和对称性，根据函数的奇偶性和对称性，画出函数在给定区间内的图像.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用指数函数和幂函数图像比较数的大小.

【详解】对于A，在定义域上是增函数，，故A正确；

对于B，在定义域上是减函数，，故B错误；

对于C，在上是减函数，，故C正确；

对于D，故D正确；

故选：ACD.

10．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）

A．， B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据函数单调性以及奇偶性的判定即可求解.

【详解】对于A，，的定义域不关于原点对称，不符合题意；

对于B，，因为，

所以该函数在定义域内不符合单调递减的定义，错误；

对于C，，故为奇函数，

当时，在上单调递减，

当时，在单调递减，

又函数为连续函数，且，所以函数在上单调递减，故C符合题意；

对于D，为奇函数，且在定义域内是减函数，故D符合题意.

故选：CD.

11．下列结论中，正确的结论有（   ）

A．如果，，且，那么的最小值为4

B．如果，那么取得最大值为

C．函数的最小值为2

D．如果，，，那么的最小值为6

【答案】AD

【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.

【详解】对于选项A，如果，，且，

那么，

当且仅当且，即时取等号，故选项A正确；

对于选项B， 如果，那么，

则，

即，当且仅当，即时取等号，

因为，所以不能取得最小值，故选项B错误；

对于选项C，函数，

当且仅当时取等号，此时无解，不能取得最小值2，故选项C错误；

对于选项D，如果，，，

则

整理得，

所以或（舍去），

当且仅当时取得最小值，故选项D正确.

故选：AD

12．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有（    ）

A．函数的值域为 B．

C． D．，都有

【答案】ABD

【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.

【详解】对于A，因为函数，所以的值城为，故A正确；

对于B，因为，所以，故B正确；

对于C，，，所以，，C错误；

对于D，由题意，函数定义域为，且，所以，为偶函数，

若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数；

所以，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，

对恒成立，故，

所以，都有，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为__________．

【答案】

【分析】根据幂函数定义，由求得m，再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可.

【详解】由幂函数知，

得或.

当时，图象与坐标轴有交点，

当时，与坐标轴无交点，

∴.

故答案为:

14．是定义在R上的奇函数，当时，，当x＜0时，= ______.

【答案】

【分析】当时，，所以，然后结合函数的奇偶性可得答案.

【详解】当时，，所以

因为是定义在R上的奇函数，所以，所以

故答案为：

15．已知函数有最小值，则的取值范围是 _______．

【答案】

【分析】先求出时的最小值，然后对于时，讨论的单调性和取值情况，结合题目要求进行研究，得到的取值范围.

【详解】当时， ，此时；

当时，.

①时，为常函数，此时在R上满足函数有最小值为，

②时，函数此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值，

需 解得，

综上，满足题意的实数的取值范围为：.

故答案为：.

四、双空题

16．若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”．若时，，且，，则__________，不等式的解集为__________．

【答案】         

【分析】令，可证明函数为偶函数，再根据即可求得，设任意的，则，证明在上单调递增，再根据函数的单调性解不等式即可.

【详解】令，则对任意实数x都成立，

所以是偶函数，

，

因为，所以，

设任意的，则，所以，

所以，

所以在上单调递增，

所以不等式等价于，

又是R上的偶函数，所以，解得，

所以不等式的解集为．

故答案为：；．

【点睛】关键点点睛：设任意的，则，结合时，，证明在上单调递增，是解决本题的关键.

五、解答题

17．（1）化简求值：；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用幂的运算直接求解；（2）先判断出和，根据式子结构，对待求式平方后即可求解.

【详解】（1）．

（2）因为，所以，所以.

因为，

所以

18．设A={x|2<x<4}，B={x|x2-4ax+3a2<0}．

(1)当a=3，求；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，求出集合B，根据并集的定义即可求出；（2）讨论a求解二次不等式，根据列不等式直接求出

【详解】（1）当时，B={x|x2-4ax+3a2<0}=，

；

（2）B={x|x2-4ax+3a2<0}= ，

当不符合题意；

当 则需要

当 不符合题意，故 实数a的取值范围是

19．条件①：；条件②：不等式的解集为．已知二次函数满足，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知．（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分）

(1)求的解析式；

(2)若函数的图像总在一次函数图像的上方，试确定实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意设，若选择①，表示出，即可得到关于、的方程组，解得即可，选择②由题知方程的两实根分别为和，利用韦达定理得到方程组，解得即可；

（2）依题意可得对恒成立，令，则问题可转化为，根据二次函数的性质求出函数的最小值，即可得解.

【详解】（1）由，可设．

选择①，则有，

由题意，得，解得，故．

选择②，则可化为，

由题知方程的两实根分别为和，

所以，即，

及，即，所以，

故．

（2）由题意，得，即对恒成立．

令，则问题可转化为，

又因为在上单调递减，在上单调递增，

所以，故．

20．已知函数是奇函数．

(1)求b的值；

(2)证明在R上为减函数；

(3)若不等式成立，求实数t的取值范围．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)或

【分析】（1）利用奇函数定义和奇函数中求b的值；

（2）按取点，作差，变形，判断的过程来即可；

（3）通过函数的单调性，然后结合奇函数的性质把转化为一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出t的取值范围．

【详解】（1）∵的定义域为R，

又∵为奇函数，∴由得，

此时，∴为奇函数，

所以．

（2）任取，，且，则，

∵，∴，∴．

又∵，∴，即，

故为R上的减函数．

（3）因为为奇函数，所以，

可化为，

又由（2）知为减函数，所以，所以或．

21．物联网是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元）），仓库到车站的距离x（单位：千米，），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元），；若在距离车站9千米处建仓库，则仓库每月土地占地费为2万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？

【答案】应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元

【分析】设，根据题意求出，设两项费用之和为z（单位：万元），求出的关系式，再结合基本不等式即可得解.

【详解】设，其中，

当时，，解得，所以，

又，设两项费用之和为z（单位：万元），

则

，

当且仅当，即时，“”成立，

所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，

最小费用是7.2万元．

22．已知函数.

（1）若的最小值为，求实数的值；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）换元，问题转化为求二次函数在时有最小值，求实数的值，然后分、两种情况讨论，分析二次函数在区间上的单调性，求出函数的最小值，进而可求得实数的值；

（2）由（1）结合，可得出对任意的恒成立，分析函数在区间上的单调性，求出的值域，由此可得出实数的取值范围.

【详解】（1），

换元，则.

①当时，二次函数在区间上单调递增，无最小值；

②当时，二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，，，解得.

综上所述，；

（2）由（1）知，若对任意的恒成立，则，

即对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

令，其中，易知函数在区间上单调递增，

当时，，即，所以，，

因此，实数的取值范围是.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.