2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习5.1《任意角和弧度制及任意角的三角函数》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习5.1

《任意角和弧度制及任意角的三角函数》

一              、选择题

1.终边在坐标轴上的角的集合是(　　)

A．{φ|φ=k·360°，k∈Z}           B．{φ|φ=k·180°，k∈Z}

C．{φ|φ=k·90°，k∈Z}            D．{φ|φ=k·180°＋90°，k∈Z}

2.点P(cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是(　　)

A．第一象限        B．第二象限        C．第三象限        D．第四象限

3.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是(　　)

A．1             B．2           C．3             D．4

4.已知某中学上午第一节课的上课时间是8点,那么,当第一节课铃声响起时,时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是(　　)

A.　          　B.　         　C.　　         D.

5.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是(　 　)

A.1          B.2         C.3          D.4

6.已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是(　　)

A．[－2，2]      B．[－，]     C．[－1，1]     D．[－0.5，0.5]

7.给出下列四个命题：

①－是第二象限角；

②是第三象限角；

③－400°是第四象限角；

④－315°是第一象限角.

其中正确的命题有(　 　)

A.1个         B.2个          C.3个         D.4个

8.角α的终边与直线y=3x重合，且sinα＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，

且|OP|=(O为坐标原点)，则m－n等于(　 　)

A.2        B.－2         C.4        D.－4

9.已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是(　 　)

A.若α，β是第一象限的角，则cosα＞cosβ

B.若α，β是第二象限的角，则tanα＞tanβ

C.若α，β是第三象限的角，则cosα＞cosβ

D.若α，β是第四象限的角，则tanα＞tanβ

10.若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是(　 　)

A.第一象限角     B.第二象限角     C.第三象限角     D.第四象限角

11.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(3,4)，则sin=(　　)

A．－          B．－          C.             D.

12.角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα=－；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ=－2.对于下列结论：

①P；②|PQ|2=；③cos∠POQ=－；④△POQ的面积为.

其中正确结论的编号是(　 　)

A.①②③       B.①②④        C.②③④       D.①③④

二              、填空题

13.已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半,则这个扇形的圆心角是________.

14.设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是       (填写序号).

①cos(A＋B)=cosC；②cos=sin；③sin(2A＋B＋C)=－sinA.

15.在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P(x,1)(x≥1)，则cosθ＋sinθ的取值范围是         .

16.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是          .

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：C；

解析：令k=4m，k=4m＋1，k=4m＋2，k=4m＋3，k，m∈Z.

分别代入选项C进行检验：

(1)若k=4m，则φ=4m·90°=m·360°；

(2)若k=4m＋1，则φ=(4m＋1)·90°=m·360°＋90°；

(3)若k=4m＋2，则φ=(4m＋2)·90°=m·360°＋180°；

(4)若k=4m＋3，则φ=(4m＋3)·90°=m·360°＋270°.

综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是{φ|φ=k·90°，k∈Z}．

2.答案为：C；

3.答案为：C；

4.答案为：C；

解析：8点时,时钟的时针正好指向8,分针正好指向12,由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°,

即,故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是×4=.

5.答案为：C；

解析：设扇形的中心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，

得所以θ=3，即该扇形中心角的弧度数是3.故选C.

6.答案为：C；

解析：设x轴正方向逆时针到射线OA的角为α，根据三角函数的定义得xA=cosα，

yB=sin(α＋30°)，

所以xA－yB=cosα－sin(α＋30°)=－sinα＋cosα=sin(α＋150°)∈[－1，1]．

故选C.

7.答案为：C；

解析：－是第三象限角，故①错误.=π＋，从而是第三象限角，②正确.

－400°=－360°－40°，从而③正确.－315°=－360°＋45°，从而④正确.

8.答案为：A；

解析：因为角α的终边与直线y=3x重合，且sinα＜0，所以角α的终边在第三象限.

又P(m，n)是角α终边上一点，故m＜0，n＜0，又|OP|=，

所以所以故m－n=2.故选A.

9.答案为：C；

解析：如图，当α在第四象限时，作出α，β的正弦线M1P1，M2P2和正切线AT1，AT2，

观察知当sinα＞sinβ时，tanα＞tanβ.

10.答案为：C；

解析：由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角.

由＜0可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角.

综上可知，α为第三象限角.

11.答案为：C；

解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sin α=，cos α=.

∴sin=sinα－＋=sinα＋=cos α=.故选C.

12.答案为：B；

解析：因为tanα=－，α为钝角，所以sinα=，cosα=－，

又因为P，所以P，所以①正确；

同理，Q，所以|PQ|2=，所以②正确；

由余弦定理得cos∠POQ=－，所以③错误；

sin∠POQ=，所以S△POQ=×1×1×=，所以④正确，故选B.

二              、填空题

13.答案为：②③④；

解析：1 240°=160°+3×360°,所以1 240°为第二象限角,

-300°=60°+(-1)×360°,所以-300°为第一象限角,

420°=60°+360°,-1 420°=20°+(-4)×360°,

所以420°、-1 420°都为第一象限角.

14.答案为：②③；

解析：因为A，B，C是△ABC的内角，

所以A＋B＋C=π，=.所以cos(A＋B)=cos(π－C)=－cosC，

cos=cos=sin，sin(2A＋B＋C)=sin(A＋π)=－sinA.故②③恒成立.

15.答案为：(1， ]；

解析：角θ的终边经过点P(x,1)(x≥1)，

∴r=，cosθ==，sinθ==，

∴cosθ＋sinθ=＋===

==.

∵x＋≥2，当且仅当x=1时取等号，∴1＜cosθ＋sinθ≤.

故cosθ＋sinθ的取值范围是(1， ].

16.答案为：S1=S2；

解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则弧AQ=AP=tm，

根据切线的性质知OA⊥AP，∴S1=tm·r－S扇形AOB，S2=tm·r－S扇形AOB，

∴S1=S2恒成立.