(新高考)高考数学一轮考点复习4.1《任意角和弧度制及任意角的三角函数》课时跟踪检测(含详解)

课时跟踪检测（十八）  任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C．－  D．－

解析：选C　将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的，即为－×2π＝－.

2．已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为(　　)

A．－   B.

C．－  D．－

解析：选D　因为P(sin(－30°)，cos(－30°))，所以P，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－.

3．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋＝(　　)

A．－   B.

C.   D.

解析：选D　∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－，cos α＝，∴sin α＋＝－＋＝.故选D.

4．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　)

A．(1，)  B．(，1)

C．(，)  D．(1,1)

解析：选D　设P(x，y)，则sin α＝＝sin，∴y＝1.

又cos α＝＝cos，∴x＝1，∴P(1,1)．

5．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　)

A．1  B．－1

C．3  D．－3

解析：选B　由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.

6．(多选)下列结论中正确的是(　　)

A．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝

B．若α是第一象限角，则为第一或第三象限角

C．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度

D．若0<α<，则sin α<tan α

解析：选BCD　当k＝－1时，P(－3，－4)，则sin α＝－，故A错误；∵2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，∴kπ<<kπ＋，k∈Z，∴为第一或第三象限角，故B正确；|α|＝＝＝1，故C正确；∵0<α<，∴sin α<tan α⇔sin α<⇔cos α<1，故D正确．

7．已知角α的终边经过点(，－1)，则角α的最小正值是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　∵sin α＝＝－ ，且α的终边在第四象限，∴角α的最小正值是.

8．已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则(　　)

A．α>β  B．α<β

C．cos α>cos β  D．tan α>tan β

解析：选D　因为α，β是第一象限角，所以sin α>0，sin β>0，又sin α>sin β，所以sin2α>sin2β>0，所以1－cos2α>1－cos2β，所以cos2α<cos2β，所以>>0，所以tan2α>tan2β，因为tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故选D.

9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.

解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，

所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，

令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.

答案：120°或－240°

10．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.

解析：由已知tan α＝3，∴n＝3m，又m2＋n2＝10，

∴m2＝1，又sin α<0，∴m＝－1，n＝－3.

∴m－n＝2.

答案：2

11．已知扇形的周长为4，当它的半径为________和圆心角为______弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．

解析：设扇形圆心角为α，半径为r，则

2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2.

∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，

∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.

答案：1　2　1

12.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．

解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，

则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，

∴S1＝S扇形AOQ－S扇形AOB＝tm·r－S扇形AOB，

S2＝S△AOP－S扇形AOB＝tm·r－S扇形AOB，

∴S1＝S2恒成立．

答案：S1＝S2

13．已知角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．

(1)求sin θ＋cos θ的值；

(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．

解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，

所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，

当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－.

当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.

(2)当a＞0时，sin θ＝∈，

cos θ＝－∈，

则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0；

当a＜0时，sin θ＝－∈，

cos θ＝∈，

则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0.

综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；

当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．

14．已知sin α＜0，tan α＞0.

(1)求α角的集合；

(2)求终边所在的象限；

(3)试判断 tansin cos的符号．

解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；

由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，

其集合为.

(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，

得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，

故终边在第二、四象限．

(3)当在第二象限时，tan ＜0，

sin ＞0, cos ＜0，

所以tansincos取正号；

当在第四象限时，tan＜0，

sin＜0, cos＞0，

所以 tansincos也取正号．

因此，tansin cos 取正号．

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；

(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；

(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．

解：(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.

(2)若△AOB为等边三角形，则B，

可得tan∠AOB＝＝，故∠AOB＝.

故与角α终边相同的角β的集合为{β|β＝＋2kπ，k∈Z}.

(3)若α∈，则S扇形OAB＝αr2＝α，

而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α，

故弓形AB的面积S＝S扇形OAB－S△AOB＝α－sin α，α∈.