新高考数学一轮复习微专题专练19任意角和弧度制及任意角的三角函数（含详解）

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一、选择题
1．若一个扇形的面积是2π，半径是2 eq \r(3) ，则这个扇形的圆心角为( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4)
C． eq \f(π,2) D． eq \f(π,3)
2．三角函数值sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是( )
参考值：1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°
A．sin 1>sin 2>sin 3
B．sin 2>sin 1>sin 3
C．sin 1>sin 3>sin 2
D．sin 3>sin 2>sin 1
3．若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则 eq \f(θ,2) 是( )
A．第二象限角
B．第一象限角
C．第一或第三象限角
D．第一或第二象限角
4．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－ eq \r(3) x上，则角α的取值集合是( )
A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z))
B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))
C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝kπ－\f(2π,3)，k∈Z))
D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))
5．一个扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若角α的终边过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))) ，则cs α·tan α的值是( )
A.－ eq \f(4,5) B． eq \f(4,5)
C．－ eq \f(3,5) D． eq \f(3,5)
7．给出下列各函数值：
①sin (－1 000°)；②cs (－2 200°)；③tan (－10)；④ eq \f(sin \f(7π,10)cs π,tan \f(17π,9)) ；其中符号为负的有( )
A．① B．②
C．③ D．④
8．已知角θ的终边经过点P(x，3)(x<0)且cs θ＝ eq \f(\r(10),10) x，则x等于( )
A．－1 B．－ eq \f(1,3)
C．－3 D．－ eq \f(2\r(2),3)
9．(多选)下列结论中正确的是( )
A．若0<α< eq \f(π,2) ，则sin αB．若α是第二象限角，则 eq \f(α,2) 为第一象限角或第三象限角
C．若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝ eq \f(4,5)
D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度
二、填空题
10．已知扇形的圆心角为 eq \f(π,6) ，面积为 eq \f(π,3) ，则扇形的弧长等于________．
11．已知角α的终边过点P(－3cs θ，4cs θ)，其中θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，则sin α＝________．
12．已知角α的终边经过点P(－8m，－6sin 30°)，且cs α＝－ eq \f(4,5) ，则m＝________.
专练19 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．D 设扇形的圆心角为θ，因为扇形的面积S＝ eq \f(1,2) θr2，所以θ＝ eq \f(2S,r2) ＝ eq \f(4π,（2\r(3)）2) ＝ eq \f(π,3) ，故选D.
2．B 因为1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°，所以sin 1≈sin 57°，sin 2≈sin 115°＝sin 65°，sin 3≈sin 172°＝sin 8°，因为y＝sin x在0°sin 1>sin 3，故选B.
3．C 由sin θ>0，tan θ<0，知θ为第二象限角，∴2kπ＋ eq \f(π,2) <θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋ eq \f(π,4) < eq \f(θ,2) 4．D ∵y＝－ eq \r(3) x的倾斜角为 eq \f(2,3) π，∴终边在直线y＝－ eq \r(3) x上的角的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z)) .
5．C 设扇形的圆心角为θ，半径为R，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(θR＝6，,\f(1,2)θR2＝6，)) 得θ＝3．
6．A 由三角函数的定义知cs α＝ eq \f(3,5) ，tan α＝ eq \f(－\f(4,5),\f(3,5)) ＝－ eq \f(4,3) ，∴cs αtan α＝ eq \f(3,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))) ＝－ eq \f(4,5) .
7．C ∵－1 000°＝－3×360°＋80°，为第一象限角，
∴sin (－1 000°)>0；
又－2 200°＝－7×360°＋320°，为第四象限角，
∴cs (－2 200°)>0；
∵－10＝－4π＋(4π－10)，为第二象限角，
∴tan (－10)<0；
∵sin eq \f(7,10) π>0，cs π＝－1，
eq \f(17,9) π＝2π－ eq \f(π,9) ，为第四象限角，
∴tan eq \f(17,9) π<0，∴ eq \f(sin \f(7,10)πcs π,tan \f(17,9)π) >0.
8．A ∵r＝ eq \r(x2＋9) ，cs θ＝ eq \f(x,\r(x2＋9)) ＝ eq \f(\r(10),10) x，又x<0，
∴x＝－1.
9．ABD 若0<α< eq \f(π,2) ，则sin α10. eq \f(π,3)
解析：设扇形所在圆的半径为r，则弧长l＝ eq \f(π,6) r，又S扇＝ eq \f(1,2) rl＝ eq \f(π,12) r2＝ eq \f(π,3) ，得r＝2，∴弧长l＝ eq \f(π,6) ×2＝ eq \f(π,3) .
11．－ eq \f(4,5)
解析：∵θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，∴－1∴r＝ eq \r(9cs2θ＋16cs2θ) ＝－5csθ，故sin α＝－ eq \f(4,5) .
12. eq \f(1,2)
解析：由题可知P(－8m，－3)，
∴cs α＝ eq \f(－8m,\r(64m2＋9)) ＝－ eq \f(4,5) ，得m＝± eq \f(1,2) ，
又cs α＝－ eq \f(4,5) <0，∴－8m<0，∴m＝ eq \f(1,2) .