2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习4.1《变化率与导数、导数的计算》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习

4.1《变化率与导数、导数的计算》

一              、选择题

1.曲线y=xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)

A.2e         B.e       C.2         D.1

2.曲线y=ax在x=0处的切线方程是xln 2＋y－1=0，则a=(　　)

A.         B.2       C.ln 2         D.ln

3.已知曲线y=在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为(　　)

A.2x＋y＋2=0

B.2x＋y＋2=0或2x＋y－18=0

C.2x－y－18=0

D.2x－y＋2=0或2x－y－18=0

4.如图，y=f(x)是可导函数，直线l：y=kx＋2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，g(x)=xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)=(　　)

A.－1         B.0       C.2         D.4

5.已知函数f(x+1)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为              (　　)

A.1             B.-1           C.2            D.-2

6.已知f(x)=ln x，g(x)=x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)

A.－1         B.－3         C.－4         D.－2

7.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b=(　　)

A.－1         B.0       C.1         D.2

8.曲线f(x)=在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a=(　　)

A.1         B.－1       C.7         D.－7

9.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为(　 　)

A.[﹣1，﹣]      B.[﹣1，0]     C.[0，1]      D.[1，2]

10.点P是曲线y＝f(x)＝x2﹣ln x上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2＝0的最短距离为(　　)

A.         B.         C.        D.

11.过点M(2，﹣2p)引抛物线x2＝2py(p＞0)的切线，切点分别为A，B，若|AB|＝4，则p的值是(　　)

A.1或2        B.或2          C.1          D.2

12.已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α取值范围是(　　)

A.         B.     C.         D.

二              、填空题

13.曲线y=(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a=       .

14.函数f(x)=xex的图象在点P(1，e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为          .

15.已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=ln(－x)＋3x，则曲线y=f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.

16.若函数f(x)=x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：C

解析：∵y′=x′·ex－1＋x·(ex－1)′=(1＋x)ex－1，

∴曲线y=xex－1在点(1,1)处的切线斜率为y′|x=1=2.故选C.

2.答案为：A

解析：由题知，y′=axln a，y′|x=0=ln a，又切点为(0,1)，

故切线方程为xln a－y＋1=0，∴a=，故选A.

3.答案为：B

解析：y′==－，y′|x=2=－=－2，因此kl=－2，

设直线l方程为y=－2x＋b，即2x＋y－b=0，由题意得=2，

解得b=18或b=－2，所以直线l的方程为2x＋y－18=0或2x＋y＋2=0.故选B.

4.答案为：B

解析：由题意知直线l：y=kx＋2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，由图可得f(3)=1.

又点(3,1)在直线l上，∴3k＋2=1，∴k=－，∴f′(3)=k=－.

∵g(x)=xf(x)，∴g′(x)=f(x)＋xf′(x)，

则g′(3)=f(3)＋3f′(3)=1＋3×（－）=0，故选B.

5.答案为：A；

解析：设x+1=t,则x=t-1,所以f(t)==2-,故f(x)=2-,所以f'(x)=,

故切线的斜率k=1,故选A.

6.答案为：D；

解：∵f′(x)=，∴直线l的斜率k=f′(1)=1.又f(1)=0，

∴直线l的方程为y=x－1.

g′(x)=x＋m，设直线l与g(x)图象的切点为(x0，y0)，

则

∴－m=(1－m)2＋m(1－m)＋，得m=－2，故选D.

7.答案为：C；

解：依题意得，f′(x)=－asin x，g′(x)=2x＋b，

于是有f′(0)=g′(0)，即－asin 0=2×0＋b，b=0，

m=f(0)=g(0)，即m=a=1，因此a＋b=1.

8.答案为：C；

解：f′(x)==，

又∵f′(1)=tan=－1，∴a=7.

9.答案为：A；

解析：由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.

因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是[0，]，则0≤k≤1，

即0≤2x0＋2≤1，故﹣1≤x0≤﹣.

10.答案为：D

解析：由y＝f(x)＝x2﹣ln x，可得f′(x)＝2x﹣(x＞0)，令f′(x)＝1，即1＝2x﹣(x＞0)，解得x＝1或x＝﹣(舍).曲线上距离直线最近的点的坐标为(1，1)，则距离为d＝＝ .

11.答案为：A

解析：设切点为，因为y′＝x，则切线斜率k＝＝t，

整理可得t2﹣4t﹣4p2＝0，由根与系数的关系可得t1＋t2＝4，t1t2＝﹣4p2，

则(t1﹣t2)2＝(t1＋t2)2﹣4t1t2＝16(1＋p2).设切点A，B，

则|AB|＝＝，

即|AB|＝4，所以(1＋p2)＝10，即p4﹣5p2＋4＝0，

解得p2＝1或p2＝4，即p＝1或p＝2，故选A.

12.答案为：A；

解：∵y=，∴y′===.

∵ex＞0，∴ex＋≥2，∴y′∈[－1，0)，∴tan α∈[－1，0).

又α∈[0，π)，∴α∈，故选A.

二              、填空题

13.答案为：-3.

解析：y′=(ax＋1＋a)ex，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为－2，

得y′|x=0=(ax＋1＋a)ex|x=0=1＋a=－2，所以a=－3.

14.答案为：；

解析：f′(x)=ex＋xex=ex(x＋1)，∴切线斜率k=f′(1)=2e，

∴曲线y=f(x)在(1，e)处的切线方程为y－e=2e(x－1)，即y=2ex－e.

∵y=2ex－e与坐标轴交于点(0，－e)，(0.5,0)，

∴y=2ex－e与坐标轴围成的三角形面积S=×e×=.

15.答案为：y=－2x－1.

解析：令x＞0，则－x＜0，f(－x)=ln x－3x，

又f(－x)=f(x)，∴f(x)=ln x－3x(x＞0)，

则f′(x)=－3(x＞0)，∴f′(1)=－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3=

－2(x－1)，则y=－2x－1.

16.答案为：[2，＋∞).

解析：∵f(x)=x2－ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)=x－a＋.

∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，

即x＋－a=0有解，∴a=x＋≥2(当且仅当x=1时取等号).