2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习3.9《函数模型及其应用》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习

3.9《函数模型及其应用》

一              、选择题

1.下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　)

A.一次函数模型        B.二次函数模型

C.指数函数模型        D.对数函数模型

2.李冶(1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)(　 　)

A.10步，50步     B.20步，60步    C.30步，70步     D.40步，80步

3.某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款.现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是(　 　)

A.不能确定        B.①②同样省钱    C.②省钱        D.①省钱

4.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如下表所示：

则下列说法中正确的是(　 　)

①买小包装实惠；

②买大包装实惠；

③卖3小包比卖1大包盈利多；

④卖1大包比卖3小包盈利多.

A.①③        B.①④         C.②③         D.②④

5.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　   　)

A.y=2x－2        B.y=(x2－1)        C.y=log2x         D.y=logx

6.某种产品的有效期y(单位：天)与储藏的温度x(单位：℃)满足关系式y＝ekx＋b(e＝2.718 28…，k，b为常数)，若该产品在0 ℃下的有效期为192天，在33 ℃下的有效期是24天，则该产品在22 ℃的有效期为(　　)

A.45天         B.46天       C.47天         D.48天

7.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　 　)

A.8        B.9         C.10        D.11

8.如图，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动.设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　)

9.水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：

①0时到3时只进水不出水；②3时到4时不进水只出水；③4时到5时不进水也不出水.则一定正确的论断是(　　)

A.①         B.①②        C.①③        D.①②③

10.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足的函数关系式为y＝80＋b(a，b为常数)，通常这种热饮在40 ℃时，口感最佳.某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为(　　)

A.35 min         B.30 min         C.25 min         D.20 min

11.我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；

例如[4.3]=4，[5]=5；{4.3}=5，{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推.

若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)(　　)

A.2[x＋1]     B.2([x]＋1)     C.2{x}       D.{2x}

12.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元.该设备每年生产的收入均为21万元.设该设备使用了n(n∈N*)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n等于(　 　)

A.6         B.7        C.8          D.7或8

二              、填空题

13.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，

则该家具的进货价是      元.

14.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L=－(x＞0).则当年广告费投入　　万元时，该公司的年利润最大.

15.某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习.那么从药物释放开始，至少需要经过__________小时后，学生才能回到教室.

16.某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长.记2017年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示，

若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：

①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2x＋a，③f(x)＝log0.5x＋a.则你认为最适合的函数模型的序号为________.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：A.

解析：由表中数据知x，y满足关系y=13＋2(x－3).故为一次函数模型.

2.答案为：B.

解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，

得(2r＋40)2－3r2=13.75×240，解得r=10或r=－170(舍)，

所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步.故选B.

3.答案为：D.

解析：方法①用款为4×20＋26×5=80＋130=210(元)，

方法②用款为(4×20＋30×5)×92%=211.6(元)，

因为210<211.6，故方法①省钱.

4.答案为：D；

解析：买小包装时每克费用为元，买大包装时每克费用为=元，而＞，

所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)=2.1(元)，

卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7=2.3(元)，而2.3＞2.1，

所以卖1大包盈利多，故选D.

5.答案为：B；

解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.

6.答案为：D

解析：y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).当x＝0时，eb＝192，当x＝33时，e33k＋b＝24，∴e33k＝＝，e11k＝，eb＝192，当x＝22时，e22k＋b＝(e11k)2·eb＝()2×192＝48.

7.答案为：C；

解析：设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为(0.5)n，由(0.5)n＜得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”.故选C.

8.答案为：D

解析：点E在射线OB上自O向右移动过程中，面积的增长先快，后慢，最后不变化，结合选项，只有选项D符合.

9.答案为：A

10.答案为：C

解析：由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一条线段，当t≥5时，函数的解析式为y＝80＋b，将(5,100)和(15,60)分别代入解析式y＝80＋b，有解得a＝5，b＝20，

故t≥5时函数的解析式为y＝80＋20.令y＝40，解得t＝25.

∴最少需要的时间为25 min.

11.答案为：C；

解析：如x=1时，应付费2元，此时2[x＋1]=4,2([x]＋1)=4，排除A、B；当x=0.5时，付费为2元，此时{2x}=1，排除D，故选C.

12.答案为：B；

解析：盈利总额为21n－9－=－n2＋n－9.因为其对应的函数的图象的对称轴方程为n=.所以当n=7时取最大值，即盈利总额达到最大值，故选B.

二              、填空题

13.答案为：108.

解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a=10%·a，解得a=108.

14.答案为：4；

解析：由题意得L=－≤－2=21.5，

当且仅当=，即x=4时等号成立.此时L取得最大值21.5.

故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大.

15.答案为：0.6

解析：当0≤t≤0.1时，y＝10t＝0.25，t＝0.025，但是随着时间的增加，室内的含药量也在增加，∴此时学生不能回到教室，∴有y≤0.25＝，∴t－0.1≤，∴t－0.1≥，∴t≥0.6，∴至少需0.6小时后，学生才能回到教室.

16.答案为：①.

解析：符合条件的是①f(x)＝ax＋b，若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝2＋a＝4，得a＝2，

即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合，

若模型为f(x)＝log0.5x＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合.