第16讲 变化率与导数、导数的计算--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \(lim,\s\d10(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d10(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d10(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d10(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d10(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
考点1 导数的运算
[名师点睛]
对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
[典例]
1．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导数为，且，则（ ）
A．B．C．1D．
[举一反三]
1．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）下列求导运算不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数，满足且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x满足，，，那么的值为( )
A．0B．1C．2D．
4．（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：
（1）y=x（x2）；
（2）y=（1）（1）；
（3）y=xtanx；
（4）y=x﹣sincs；
（5）y=3lnx+ax（a>0，且a≠1）.
考点2 导数的几何意义
[名师点睛]
利用导数求切线方程的一般过程
已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，需分点P是切点和不是切点两种情况求解：
1．若P(x0，y0)是切点，则曲线的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；
2．若P(x0，y0)不是切点，则分以下几个步骤：
(1)设出切点坐标P′(x1，y1)．
(2)写出过P′(x1，y1)的切线方程y－y1＝f′(x1)·(x－x1)．
(3)将点P(x0，y0)的坐标代入切线方程求出x1.
(4)将x1的值代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)得到所求切线方程．
[提示] “在”和“过”的区别：
(1)“曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线”指点P(x0，y0)是切点，切线的斜率k＝f′(x0)；
(2)“曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线”指点P(x0，y0)只是切线上一点，不一定是切点．
[典例]
1．（2022·广东茂名·模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x2，则过点P(－1，0)，曲线y＝f(x)的切线方程为__________
3．（2022·河南·三模）曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为______．
4．（2022·湖南湘潭·三模）已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为___________.
[举一反三]
1．（2022·山东枣庄·三模）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．且
4．（2022·山东潍坊·二模）已知函数，直线，点在函数图像上，则以下说法正确的是( )
A．若直线l是曲线的切线，则
B．若直线l与曲线无公共点，则
C．若，则点P到直线l的最短距离为
D．若，当点P到直线l的距离最短时，
5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与函数的图象相切，则切点的横坐标为
A．B．C．2D．
6．（2022·福建泉州·模拟预测）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．B．1C．eD．
7．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（多选）（2022·河北保定·二模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·重庆·三模）曲线在点处的切线方程为___________.
10．（2022·浙江·高三专题练习）已如函数.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___________；若，则的最大值为___________.
11．（2022·河北廊坊·模拟预测）设直线是曲线的一条切线，则实数b的值是_________．
12．（2022·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线方程是，则切点的坐标是____________.
13．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则______．
14．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知（e为自然对数的底数），，则与的公切线条数为_______．
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs__x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
(x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)