人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第1课时复习练习题

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6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=13,b=3,A=60°,则c=( )

A.1B.2C.4D.6
答案C
解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccs A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sin C的值为( )
A.12B.22C.32D.33
答案C
解析由余弦定理的推论,得cs C=a2+b2-c22ab=12.因为C∈(0,π),所以C=π3,sin C=32.故选C.
3.(多选题)在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是( )
A.1B.2C.3D.4
答案ACD
解析若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5,∴a<5,若c为最大边,则a2+b2>c2,即a2>3,∴a>3,故34.(2021四川模拟)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,已知2acs C=2b+3c,则角A等于( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
答案D
解析∵2acs C=2b+3c,∴由余弦定理的推论,得2a·a2+b2-c22ab=2b+3c,化简可得b2+c2-a2=-3bc,∴cs A=b2+c2-a22bc=-32.又A∈(0,π),∴A=5π6.故选D.
5.在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为( )
A.322B.332C.32D.33
答案B
解析在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,由余弦定理的推论,得cs A=AB2+AC2-BC22AB·AC=32+42-132×3×4=12,∴A=60°.∴边AC上的高h=AB·sin A=3sin 60°=332.故选B.
6.在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为 .
答案2π3
解析由题意,得c>b>a,则角C最大.∵cs C=a2+b2-c22ab=32+52-722×3×5=-12,且07.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=3a,则cs A= .
答案13
解析由B=C,得b=c=32a.由余弦定理的推论,得cs A=b2+c2-a22bc=32a2+32a2-a22·32a·32a=13.
8.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大内角为120°,则该三角形的周长为 ;最小角的余弦值为 .
答案30 1314
解析由a-b=4,a+c=2b,得b=a-4,c=a-8,所以a>b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.
由余弦定理的推论,得
cs 120°=(a-4)2+(a-8)2-a22(a-4)(a-8),
解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30.最小内角为C,cs C=142+102-622×14×10=2602×14×10=1314.
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的度数为 .
答案60°或120°
解析由余弦定理,得2accs B·tan B=3ac,整理,得sin B=32,所以B=60°或120°.
10.在△ABC中,cs C=17,c=8,a=7,求:
(1)b的值;
(2)角A的大小.
解(1)a=7,cs C=17,c=8,
利用c2=a2+b2-2abcs C,
整理得b2-2b-15=0,解得b=5或-3(负值舍去),
故b=5.
(2)因为cs A=b2+c2-a22bc=12,
且A∈(0,π),所以A=π3.
关键能力提升练
11.在△ABC中,若a=8,b=7,cs C=1314,则最大角的余弦值是( )
A.-15B.-16C.-17D.-18
答案C
解析由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcs C=82+72-2×8×7×1314=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cs A=b2+c2-a22bc=72+32-822×7×3=-17.
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c2-a2-b22ab>0,则△ABC( )
A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形
答案C
解析由c2-a2-b22ab>0得-cs C>0,所以cs C<0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形.
13.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是( )
A.0,π3B.π3,π
C.0,π6D.π6,π
答案A
解析cs B=a2+c2-b22ac=(a-c)2+ac2ac
=(a-c)22ac+12≥12,∵014.在△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角C等于( )
A.60°B.45°或135°
C.120°D.30°
答案B
解析∵a4+b4+c4=2c2(a2+b2),
∴(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-2a2b2=0,
∴(a2+b2-c2)2-2a2b2=0,
∴(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)=0,
∴a2+b2-c2+2ab=0或a2+b2-c2-2ab=0.
∵cs C=a2+b2-c22ab,∴cs C=-22或22.
∵0°∴C=135°或45°.
故选B.
15.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=7,则sin∠ABD= .
答案12
解析因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=12∠ABC.由余弦定理的推论,得cs∠ABC=AB2+BC2-AC22AB·BC=32+22-(7)22×3×2=12,
所以cs∠ABC=1-2sin2∠ABD=12,
所以sin∠ABD=12.
16.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为 .
答案3
解析因为sin∠BAC=223,且AD⊥AC,
所以sinπ2+∠BAD=223,
所以cs∠BAD=223.
在△BAD中,由余弦定理,得
BD=AB2+AD2-2AB·ADcs∠BAD
=(32)2+32-2×32×3×223=3.
17.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.
解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,
所以2a+1>0,a>0,2a-1>0,解得a>12,此时2a+1最大.要使
2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a-1>2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cs θ=a2+(2a-1)2-(2a+1)22a(2a-1)=a(a-8)2a(2a-1)<0,解得12综上可知实数a的取值范围是(2,8).
学科素养创新练
18.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-23x+2=0的两根,2cs(A+B)=1.
(1)求角C的大小;
(2)求AB的长.
解(1)∵cs C=cs[π-(A+B)]=-cs(A+B)=-12,且C∈(0,π),∴C=2π3.
(2)∵a,b是方程x2-23x+2=0的两根,
∴a+b=23,ab=2,
∴AB2=b2+a2-2abcs C=(a+b)2-ab=10,
∴AB=10.