专题39 几何图形模型胡不归问题专项训练-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题39 几何图形模型胡不归问题专项训练-2023年中考数学二轮专题提升训练，共56页。试卷主要包含了如图，在中，，，则等内容，欢迎下载使用。

专题39 几何图形模型胡不归问题专项训练
一．选择题
（2022•南山区模拟）
1．如图，在中，，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若，点是的中点，为边上一动点，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．2
（2022•平南县二模）
2．如图，在等边中，，点E为中点，D是上的一个动点，则的最小值是（    ）

A．3 B． C．6 D．
（2022春•覃塘区期中）
3．如图，在菱形ABCD中，，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AM，若的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（    ）

A．AB B．AE C．BD D．BE
（2022春•新罗区校级月考）
4．如图，中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是（   ）

A． B． C． D．10
（2021秋•澄海区期末）
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是（   ）

A．6 B． C． D．
（2022秋•任城区校级期末）
6．如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．10
（2022•邗江区二模）
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该物线对称轴上一点，则的最小值为（    ）

A． B．25 C．30 D．
（2021•锦州二模）
8．如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（    ）

A．4 B．5 C． D．
二．填空题
（2022春•广陵区期末）
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是_____．

（2022春•武汉期末）
10．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．

（2022春•江汉区月考）
11．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则的最小值是________

（2022•江北区开学）
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．

（2021秋•缙云县期末）
13．如图，在直角坐标系中，点M的坐标为（0，2），P是直线在第一象限内的一个动点．
（1）______．
（2）当的值最小时，点P的坐标是 ______．

（2022•马鞍山一模）
14．如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且，．

（1）______°；
（2）E为BD边上的一个动点，，当最小时_______．
（2021秋•福清市期末）
15．如图，为等边三角形，平分，的面积为，点为上动点，连接，则的最小值为 __．

（2021秋•亭湖区期末）
16．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A=30°，点A（-3，0），B（1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt△ABC中，AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为______．

（2021秋•宜兴市期末）
17．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合，连接DE，请你探究：______；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则的最小值为______．

（2021秋•汕尾期末）
18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2﹣2x＋c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，与 y轴交于点 B（0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，则 C 点的坐标是_____，PD＋PC 的最小值是______．

（2021秋•南海区期末）
19．如图，△ABC中AB=AC，A (0，8)，C (6，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为____________．

（2022•无棣县一模）
20．如图在平面直角坐标系中，直线的图像分别与y轴和x轴交于点A，点B．定点P的坐标为，点Q是y轴上任意一点，则的最小值为__________．

（2022春•梁溪区校级期中）
21．如图，ABCD中，∠DAB=30°，AB=8，BC=3，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于__________.   

（2022秋•江夏区校级期末）
22．如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4，点P为直线BC上一点．当BP＋2AP有最小值时，∠BAP的度数为____．

（2022•东阳市开学）
23．如图：二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D．

（1）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最大时，则点P的坐标为 ___；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小时，则点P的坐标为 ____．
（2021秋•北碚区校级期末）
24．如图，在菱形ABCD中，，，M，N分别是边AB，AD的动点，满足，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当面积最小时，的最小值为______．

（2022•郧西县模拟）
25．如图，在中，，若是边上的动点，则的最小值为_______．

（2022•贡井区模拟）
26．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．

（2022秋•电白区期末）
27．如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为__________．

三．解答题（共3小题）
（2021秋•梅江区校级期末）
28．抛物线交x轴于点，交y轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标；
(3)点是线段上的动点，直接写出的最小值为 ．
（2022春•九龙坡区校级月考）
29．在ABC中，，点D是边AB上一动点，连接CD．

(1)如图1，若，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE．若，求AD的长；
(2)如图2，过点C作于F，当点D在线段BF上时，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE，过点E作交AB干点G．求证：；
(3)如图3，若，，将线段CD绕着D逆时针旋转120°得到ED，连接CE．请直接写出的最小值．
30．（1）如图1，在等腰直角中，，，为高上的动点，过点作于，则的值为 　　　；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．若点是直线上一个动点，过点作于，求的最小值．

（3）如图3，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，在轴上，且．点在边上，且，点在边上，将沿翻折，使得点恰好落在边上的点处，那么在折痕上是否存在点使得最小，若存在，请求最小值，若不存在，请说明理由．


参考答案：
1．C
【分析】过作于，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质可得，再两点之间线段最短、垂线段最短可得的最小值为，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，过作于，过点作于，连接，

，点是的中点，
，
，
，
为正三角形，
，
，
，
，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
即的最小值为的长，
，，
，
，
即的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确找出当点与点重合时，取得最小值是解题关键．
2．B
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，解直角三角形求得CF，再根据等边三角形的性质得∠ABE=30°，由直角三角形的性质得DH=BD，进而由等量代换得出CD+BD的最小值．
【详解】解：过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，如图所示：

则CD+DH≥CF，
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=AC=6，
∴CF=AC•sinA=6×=，
∵点E为AC中点，
∴∠ABE=∠ABC=30°，
∴DH=BD，
∴CD+BD=CD+DH≥CF，
∴CD+BD≥，
∴CD+BD的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形、等边三角形的性质、垂线段最短等知识；解题的关键是学会添加辅助线，用转化的思想思考问题．
3．B
【分析】由菱形的性质可得∠DBC=∠ABC=30°，可得PF=BP，可得AP+BP=AP+PF，由垂线段最短，可求解．
【详解】解：如图，过点P作PF⊥BC于点F，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DBC=∠ABC=30°，且PF⊥BC，
∴PF=BP，
∴AP+BP=AP+MP，
∴当点A，点P，点F三点共线且垂直BC时，AP+PF有最小值，
∴AM+BM最小值为AE
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，最短路径问题，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
4．B
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，求解，，证明，可得，证明，结合，从而可得答案．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，
，
，，
，
，
或（舍去），
，
，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
的最小值是：，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，垂线段最短的应用，锐角三角函数的应用，证明是解本题的关键．
5．D
【分析】连接，过点P作PD⊥BC于D，过点Q作QH⊥BC于H．根据，可得的最小值为的长，即可解决问题．
【详解】如图，连接，过点P作PD⊥BC于D，过点Q作QH⊥BC于H．

由，令，则，
解得，
，
令，解得，
，
，
，
，
，
，
当为与轴交点时最小，最小值为的长，
Q（0，2）,，
，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
则的最小值是．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
6．B
【分析】如图，作于，于．由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，作于，于．

，
，
，
设，，
则有：，
，
解得（舍去），
∴，
，，，
（等腰三角形两腰上的高相等）
，，
，
，
，
当C、D、H三点共线时，，
的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．A
【分析】连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD、OA、OD，在证明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，进而可得3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，根据求出AN，AC+CM最小值即为AN，则问题得解．
【详解】连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图，

令y=0，得方程，解得x=0或者x=6，
∴A点坐标为(6,0)，即OA=6，
将配成顶点式得：，
∴B点坐标为(3,4)，
∴BD=4，OD=3，
∵CM⊥OB，AN⊥OB，
∴∠BMC=∠ANO=90°，
根据抛物线对称轴的性质可知BD⊥OA，
∴∠BDO=90°，
在Rt△BDO中，利用勾股定理得，
∵∠OBD=∠CBM，∠BDO=90°=∠BMC
∴△OBD∽△CBM，
同理可证得△OBD∽△OAN，
∴，，
∴，即3BC=5MC，
∴3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，
∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，
∴AC+CM最小值为AN，如图所示，
∵，
∴，
∴AC+CM最小值，
∴即3BC+5AC=5(AC+CM)=24，
故选：A．
【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出3BC=5MC，进而得出3BC+5AC=5(AC+CM)是解答本题的关键．
8．A
【分析】根据题意，由四边形是菱形结合其性质，将进行转化，再由“垂线段最短”的思想进行求解即可得解．
【详解】连接AC交OB于点M，过M点作MH⊥OC于点H，过点A作AG垂直OC于点G，交OB于点P
∵四边形是菱形
∴AM⊥OB，，，
∵
∴，
∵MH⊥OC，AM⊥OB
∴
∴
∴
∵
∴
∴当A、P、G三点共线且AG⊥OC时有的最小值AG，如下图所示
∵菱形的面积
∴
∴的最小值为4，
故选：A．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及最短路径问题，熟练掌握菱形的性质、勾股定理、菱形面积求法等相关知识是解决本题的关键．
9．
【分析】过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，根据菱形的性质得到AB=BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，再判断△ABC为等边三角形得到∠ABC=∠ACB=60°，则∠OBC=30°，所以PH=BP，则MP+PB=MP+PH，所以MP+PH的最小值为MN的长，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系和勾股定理求出MN即可．
【详解】解：过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，
∵AB=AC=10，
∴AB=AC=BC=10，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠OBC=30°，
∴PH=BP，
∴MP+PB=MP+PH，
当M、P、H共线时，MP+PH的值最小，
即MP+PH的最小值为MN的长，
∵AM=2，
∴CM=10-2=8，
在Rt△MNC中，∵∠MCN=60°，
∴CN=CM=4，
∴MN=，
即MP+PB的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了胡不归问题：利用垂线段最短解决最短路径问题，把PB转化为PH是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和等边三角形的性质．
10．
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点作，交的延长线于，

     
四边形是平行四边形，
，
∴
∵PH丄AD
∴
∴，，
∴
当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，
此时 ，，，
∴ ，
则最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．
11．5
【分析】如图：过点P作PE⊥AB于点E，先在Rt△ABD中求出∠ABD及BD，再在Rt△BPE中利用勾股定理得到BP+CP=EP+CP，当当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时其取得最小值，最小值为CE，最后求出CE即可．
【详解】解：如图：过点P作PE⊥AB于点E，
在Rt△ABD中，∠ABD=180°-90°-30°=60°，BD=AB=5，
在Rt△BPE中， ∠ABD=60°，
∴∠EPB=30°，
∴BE=BP，
∴，
∴BP+CP=EP+CP，
当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时，BP+CP=EP+CP取得最小值，
∵AB=AC=10，BD ⊥AC，CE ⊥AB，
∵，
∴CE=BD=5，
∴BP+CP=EP+CP的最小值为5．
故答案为：5．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，解题关键在于将BP+CP转化成EP+CP．
12．6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点，
∴AO＝3，，
∴，
作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：

∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵CH⊥AB，
∴，
∴，
∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时，，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴2BC＋AC的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
13．     30°##30度     ##
【分析】（1）当时，，，，在中，求出，，即可得到；
（2）作点关于直线的对称点，过作轴交于，连接，则有，此时的值最小．
【详解】解：（1）如图：设点P的横坐标时，，

，
，
，
在中，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）作点关于直线的对称点，过作轴交于，连接，

，
，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查胡不归问题，勾股定理，含的直角三角形问题，解题的关键是熟练掌握胡不归问题的解题方法，轴对称求最短距离的方法．
14．     75°    
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，继而推出，利用角的和即可求出答案；
（2）在OC上截取OG=OA，连接BG，可得 是等边三角形，过点E作 于点F，可得，要使最小，即A、E、F三点共线时最小，根据解直角三角形可得AF、FG的长度，再证，利用相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】（1） AC垂直平分线段BD

，


（2）在OC上截取OG=OA，连接BG，可得 是等边三角形


过点E作 于点F

要使最小，即A、E、F三点共线时最小
此时，AF和OB都是等边三角形ABG的高

，
，

即


故答案为：（1）75°；（2） ．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质定理、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点并能灵活运用是解题的关键．
15．
【分析】过A作于，过点作于，根据等边三角形及含30度角的直角三角形的性质得出， 确定最小值为AF，再由勾股定理及三角形面积公式即可求解．
【详解】解：过A作于，过点作于，

为等边三角形，平分，
，，
，
，
的面积为，，
∴
∴
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，找出最短距离是解题关键．
16．3
【分析】作射线AG，使得∠BAG=30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，故DE=AD，故CD+AD=CD+DE≥CF，求出CF即可．
【详解】解：∵点A（-3，0），B（1，0），∠CAO=30°，
∴AO=3，BO=1，AC=2OC，
∵AC2=AO2+OC2，即(2OC)2=32+OC2，
解得：OC=，
∴AC=2OC2，
作射线AG，使得∠BAG=30°，
过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，

∴DE=AD，
∴CD+AD=CD+DE≥CF，
∵∠CAG=∠CAB+∠BAG=60°，即∠ACF=30°，且AC=2，
∴AF=AC=，
CF==3，
∴CD+AD的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出射线AG，使得∠BAG=30°是本题的关键．
17．         
【分析】①根据直角三角形及折叠的性质可得，，，，由等角对等边及等腰三角形的性质可得，，利用线段间的数量关系进行等量代换即可得；
②作射线MB，使得，过点G作，过点P作交于点C，连接PB，利用勾股定理可得，，由含角的直角三角形的性质可得，根据题意得出最小值即为的最小值，即当P、G、B三点共线时，PC的长度，在中，利用勾股定理求解即可得出PC的长度，即为最小值．
【详解】解：①∵，
∴，
∵点C沿BE折叠与AB上的点D重合，
∴，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即；
②如图所示：作射线MB，使得，过点G作，过点P作交于点C，连接PB，

在中，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即当P、G、B三点共线时，取得最小值，
在中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴的最小值为；
故答案为：①；②．
【点睛】题目主要考查折叠的性质及等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
18．     （3，0）     4
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．

∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），C（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝1-（-3）=4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∵∠PCJ=45°，
∴∠CPJ=90°-∠PCJ=45°，
∴PJ=JC，
根据勾股定理
∴，
∴，
∵，
∴，
∴PD+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．

故答案为: （3，0），4．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
19．
【分析】过点作交于点，交于点，连接，设点的运动时间为，在上的运动速度为，，只需最小即可，再证明，可得，则当、、点三点共线时，此时有最小值，再由，求出即可求坐标．
【详解】解：过点作交于点，交于点，连接，

，
，
设点的运动时间为，在上的运动速度为，
点在上的运动速度是在上的倍，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
当、、点三点共线时，，此时有最小值，
，
，
，
，即，
，
，  
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，三角形相似的判定及性质、解题的关键是熟练掌握轴对称求最短距离和胡不归求最短距离的方法．
20．
【分析】以点P为顶点，y轴为一边，在y轴右侧作，与x轴交于点D，作点B关于y轴的对称点，过点作，交y轴与点Q，根据直角三角形的性质得出即为最小值，然后利用勾股定理和直角三角形的性质求出的长即可．
【详解】如图，以点P为顶点，y轴为一边，在y轴右侧作，与x轴交于点D，作点B关于y轴的对称点，过点作，交y轴与点Q，

∵，
∴，
∵此时，
则即为的最小值．
∵，
∴，
根据勾股定理可得，
解得，
∵直线的图象分别与y轴和x轴交于点A，点B，
令x=0，得y=4；令y=0，得x=4，
则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，最短路径问题，以及一次函数与坐标轴的交点等，正确得出最短路径是解题关键．
21．4
【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得EP＝，即PB+=PB+PE，则当点B,点P,点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD
∴∠EDP＝∠DAB＝30°，
∴sin∠EDP＝
∴EP＝
∴PB＋＝PB＋PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB＋PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠DAB＝
∴BE＝=4
故答案为:4

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，锐角三角函数的性质，作出适当的辅助线是解题的关键．
22．
【分析】作，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质可得，当三点共线时，取得最小值，此时，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得的度数．
【详解】如图，作，过点作，

中

当三点共线时，取得最小值，此时


即取得最小值，

有最小值时，∠BAP的度数为
故答案为：
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，直角三角形两个锐角互余，构造是解题的关键．
23．         
【分析】（1）设点关于直线的对称点为，直线与对称轴的交点即为点，此时最大，先根据二次函数求出点，坐标，进而求出直线的解析式，最后令代入直线的解析式求解即可；
（2）连接，，过点作于点，对称轴交轴于点，连接，过点作于点，设交于点，由题意可得，从而得出，再通过勾股定理和三角函数得，从而得到，当点与点重合时，的值最小，求出此时点坐标即可．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点，
令，，解得或，
∴，，
令，得到，
∴，
设点关于直线的对称点为，则，
直线与对称轴的交点即为点，此时最大
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
故答案为：；
（2）如图，连接，，过点作于点，对称轴交轴于点，连接，过点作于点，交于点，

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴当点与点重合时，的值最小，此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，动点线段问题，利用数形结合，正确建立辅助线是解题的关键
24．3
【分析】连接，连接，取的中点，连接，得到是等边三角形，进而判断当面积最小时，，根据为上的动点，当重合时，最小，进而可得的最小值．
【详解】如图，连接，取的中点，连接，

四边形是菱形，，

是等边三角形





，
为等边三角形，
点是上靠近点的四等分点，

的面积最小时，的面积也最小

当最小时，的面积最小  
当时，最小
是等边三角形，




点是上的动点，
当点与点重合时，最小


的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、等边三角形的面积，将求三角形CFN的面积最小值转化为CM和CN的最小值是解题的关键．
25．
【分析】取AC中点F，过点F作于，延长至，使，连接交于点，则，此时最短，证明此时点为的中点，证明，即可解题．
【详解】解：如图，



取AC中点F，过点F作于，延长至，使，连接交于点，则，此时最短，


过点A作于，









是的中点，




故答案为：6．
【点睛】本题考查利用轴对称求最小值问题，涉及含30°角的直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
26．
【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值．
【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．

∵，
∴，
∵，
设，，

∴，
∴，
∴或（舍弃），
∴，
∵，，，
∴（等腰三角形两腰上的高相等）
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．
27．
【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间，由，推出，可得，推出当共线且和重合时，运动时间最短．
【详解】如图，作于H，于，交AO于．

∵运动时间，
∵，，
∴，
∵，C（1，0），，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，
，
∴，
∴，
∵，设，则，
则有：
∴或（舍去），
∴
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
28．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可；
（2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解；
（3）分析可知，且，，共线时所求线段最小，作，过点作交于点，交轴于点，得出，最后根据勾股定理和含直角三角形性质求解即可．
【详解】（1）将点，代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交于点，

设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
当时，的面积有最大值，
此时；
（3）如图2，作，过点作交于点，交轴于点，

∵， ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，动点线段最短问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键．
29．(1)；
(2)证明见解析；
(3)．

【分析】（1）过点C作于F，求得∠ACF=45°，∠FCD==60°，根据勾股定理求出，由得CF=CD=，在Rt△CDF中，由勾股定理得求得，由∠ACF=∠A =45°可得AF=CF=，即可求得AD的长；
（2）过点E作于H，证明，得到EH=DF，由，得∠EGH=∠A=45°，△EGH是等腰直角三角形，EH=GH，结合EH=DF，易得GD=HF，易证AF=CF，根据等量代换可得GH=AH，故GH=AG，因为GH=DF，即可证明；
（3）过点C作CF⊥AB于点F，以点B为顶点在AB上方作∠ABG=30°，过点D作DM⊥BM于点M，过点C作CN⊥BG于点N，点D是AB上的动点，运动到某一时间有∠ADC=30°，此时设AF的长为x，则CF=x，CD=2x，BD=CD=2x，DF=x，有AB=BD+DF+AF=2x+x+x=3+3，解得：x=，求出AF，CF，BF和的长，由分析可得最小时，即CD+DM最小，当C、D、M三点共线时CD+DM最小，即图中的CN，易证△CBN为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得CN的长，即为的最小值．
【详解】（1）解：过点C作于F，

∵，∠A=45°，
∴∠ACF=90°-45°=45°，∠FCD=90°-30°=60°，
在Rt△CDE中，
由勾股定理得，，
∵CD=DE，CE=12，
∴，
解得：，
∵
∴CF=CD=，
在Rt△CDF中，
由勾股定理得，，
即
解得：，
∵∠ACF=∠A =45°，∠AFC=90°，
∴AF=CF=，
∴；
（2）过点E作于H，

∵，，
∴∠EHD=∠FDC=90°，
∵∠EDF+∠CDF=90°，∠FCD+∠CDF=90°，
∴∠EDF=∠FCD，
在△DEH和△CDF中，

∴，
∴EH=DF，
∵，
∴∠EGH=∠A=45°，
∵∠EHD=90°，
∴∠GEH=90°-45°=45°，
∴EH=GH，
∵EH=DF，
∴GH=DF，
∴GH-DH=DF-DH，即GD=HF，
∵∠A=45°，∠AFC=90°，
∴∠ACF=90°-45°=45°，
∴AF=CF，
∵GH=GD+DH=GD+CF，AH=AF+HF=CF+HF，
∴GH=AH，
∴GH=AG，
∵GH=DF，
∴DF=AG，即；
（3）如图，过点C作CF⊥AB于点F，以点B为顶点在AB上方作∠ABG=30°，
过点D作DM⊥BM于点M，过点C作CN⊥BG于点N，

点D是AB上的动点，运动到某一时间有∠ADC=30°，
此时，∠BCD=∠ADC-∠ABC=15°，
∵∠ABC=15°，
∴∠ABC=∠BCD =15°，BD=CD，
∵CF⊥AB，∠A =45°，
∴∠FCA =45°，AF=CF，
设AF的长为x，则CF=x，
∵∠ADC=30°，
∴CD=2CF=2x，
∴BD=CD=2x
在Rt△DFC中，由勾股定理得，DF=x，
AB=BD+DF+AF=2x+x+x=3+3，
即3x+x=3+3，
x（+1）=3（+1），
解得：x=，
∴AF=FC=，BF=AB-AF=3+2，
在Rt△BFC中，，
∵∠ABM=30°，DM⊥BG，
∴DM=BD，
∵DE是由CD旋转得到，
∴DE=CD，
即为CD+BD=CD+DM，
最小时，即CD+DM最小，
当C、D、M三点共线时CD+DM最小，即图中的CN，
∠CBN=∠CBA+∠ABN=15°+30°=45°，
∵CN⊥BG，
∴∠CNB=90°，∠BCN=45°，
∴△CBN为等腰直角三角形，
∴CN=BN，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题考查平行线的性质，旋转图形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，灵活运用知识证明全等是解题的关键．
30．（1）；（2）3；（3）存在，
【分析】（1）根据等腰三角形的性质与判定可得出是等腰直角三角形，进而求解即可；
（2）作关于直线的对称点，连接，作轴于，连接，根据题意可得出，当，，共线时，最小，最小值为的长，利用一次函数的图象与性质和矩形的性质与判定求出此时的长即可；
（3）以为顶点，为一边，在右侧作，过作于，过作于，交于，作于，则是等腰直角三角形，得，从而得到，则当共线时， 最小，此时与重合，与重合，根据题目所给条件求出此时的长即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵为高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
故答案为：；
（2）作关于直线的对称点，连接，作轴于，连接，如图：

在中，令得，令得，
∴， ，
∴，
∴，
∴，，
∵，关于直线对称，
∴，，，
∴，，
∴，
当，，共线时，最小，最小值为的长，
在中， ，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴最小值为；
（3）在折痕上存在点，使得最小，
以为顶点，为一边，在右侧作，过作于，过作于，交于，作于，如图：

∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
当共线时，最小，即最小，此时与重合，与重合，的最小值为的长度，
∵四边形是长方形，，
∴，
∵，
∴，
∵将沿翻折，使得点恰好落在边上的点处，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系与几何综合，等腰三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，矩形翻折等问题，利用数形结合，构建正确的辅助线是解题的关键．