专题：反比例函数

这是一份专题：反比例函数，共19页。
专题：反比例函数
一． 反比例函数与一次函数的综合
类型一　判断函数图象
1．当k＞0时，反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋2的图象大致是(　　)

2．在同一直角坐标系中，函数y＝与y＝kx＋k2的大致图象是(　　)
　
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图象大致为(　　)

类型二　求交点坐标
4．如图，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(－1，2)，则另一个交点B的坐标为【方法3①】(　　)
A．(－2，1) B．(2，1)
C．(1，－2) D．(2，－1)

第4题图 第5题图
5．反比例函数y＝和正比例函数y＝mx的部分图象如图所示，由此可以得到方程＝mx的实数根为(　　)
A．x＝1 B．x＝2
C．x1＝1，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－2
6．直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则3x1y2－9x2y1的值为________．【方法4】
类型三　求值或取值范围
7．已知一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是【方法3③】(　　)
A．x5 C．00)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为________．
　
第5题图 第6题图
6．★如图，若双曲线y＝(k＞0)与边长为3的等边△AOB(O为坐标原点)的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC＝2BD，则k的值为________．
7．如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2，反比例函数y＝(x>0)的图象经过OA的中点C，交AB于点D.
(1)求反比例函数的关系式；
(2)连接CD，求四边形CDBO的面积．



8．如图，P1、P2是反比例函数y＝(k>0)在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为(4，0)．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)①求P2的坐标；②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y＝的函数值．




三． 反比例函数与其他知识的综合
类型一　反比例函数与一次函数的综合
一、判断函数图象
1．当k＞0时，反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋2的图象大致是(　　)

二、求交点坐标或根据交点求取值范围
2．一次函数y1＝k1x＋b和反比例函数y2＝(k1·k2≠0)的图象如图所示．若y1＞y2，则x的取值范围是(　　)
A．－2＜x＜0或x＞1 B．－2＜x＜1
C．x＜－2或x＞1 D．x＜－2或0＜x＜1

第2题图 第3题图 第5题图
3．如图，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(－1，2)，则另一个交点B的坐标为(　　)
A．(－2，1) B．(2，1)吧 C．(1，－2) D．(2，－1)
4．若一次函数y＝mx＋6的图象与反比例函数y＝在第一象限的图象有公共点，则有(　　)
A．mn≥－9 B．－9≤mn≤0 C．mn≥－4 D．－4≤mn≤0
5．如图，点M是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k的值为________．
6．直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则3x1y2－9x2y1的值为________．
7．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6.
(1)求函数y＝和y＝kx＋b的解析式；
(2)已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y＝的图象上一点P，使得S△POC＝9.









类型二　反比例函数与二次函数的综合
8．当a≠0时，函数y＝与y＝－ax2＋a在同一直角坐标系中的大致图象可能是(　　)

9．★如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y＝(x＞0)的图象与BC边交于点E.
(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
(2)当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？










类型三　与三角形的综合
10．位于第一象限的点E在反比例函数y＝的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点．若EO＝EF，△EOF的面积等于2，则k的值为(　　)
A．4 B．2 C．1 D．－2
11．如图，一次函数y＝x－1的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点B，点C在y轴上．若AC＝BC，则点C的坐标为________．

第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，点A在双曲线y＝(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B.当AC＝1时，△ABC的周长为________．
13．如图，过C(2，1)作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y＝－x＋6上．若双曲线y＝(x＞0)与△ABC总有公共点，则k的取值范围是________．
14．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A.反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点C，交AB于点D.已知AB＝4，BC＝.
(1)若OA＝4，求k的值；
(2)连接OC，若BD＝BC，求OC的长．















类型四　与特殊四边形的综合
15．如图，在直角坐标系中，点A在函数y＝(x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y＝(x＞0)的图象交于点D，连接AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4

第15题图 第16题图
16．如图，已知点P(6，3)，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y＝的图象交PM于点A，交PN于点B.若四边形OAPB的面积为12，则k＝________．
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx＋b的图象过点D和M，反比例函数y＝的图象经过点D，与BC的交点为N.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．






四． 比例式、等积式的常见证明方法
　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明
1．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E，连接AG.
(1)求证：AG＝CG；
(2)求证：AG2＝GE·GF.







2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.
(1)若FD＝2FB，求的值；
(2)若AC＝2，BC＝，求S△FDC的值．













类型二　利用等线段代换
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：＝.










类型三　找中间比利用等积式代换
4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP，垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE·DE.














类型二　与特殊四边形的综合
9．如图，点A是反比例函数y＝－(x＜0)的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　
A．1 B．3 C．6 D．12

第9题图 第10题图
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为________．
11．如图，已知点P(6，3)，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y＝的图象交PM于点A，交PN于点B，若四边形OAPB的面积为12，则k＝________．

第11题图 第12题图
12．如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y＝(x＞0)的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为________．
13．如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，双曲线y＝(k≠0，x>0)过点D.
(1)求双曲线的解析式；
(2)作直线AC交y轴于点E，连接DE，求△CDE的面积．






14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx＋b的图象过点D和M，反比例函数y＝的图象经过点D，与BC的交点为N.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．








类型三　动点、规律性问题
15．如图，在平面直角坐标系中，点P(1，4)，Q(m，n)在函数y＝(x>0)的图象上，当m>1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B，过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D.QD交AP于点E，随着x的增大，四边形ACQE的面积(　　)
A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小

第15题图 第16题图

16． ★在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，An，An＋1，若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.现分别过点A1，A2，A3，…，An，An＋1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1＝________，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝________(用含n的代数式表示)．






参考答案与解析
参考答案与解析一
1．C　2.C　3.B　4.D　5.C
6．36　解析：由题可知点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于原点对称，∴x1＝－x2，y1＝－y2.把A(x1，y1)代入y＝，得x1y1＝6，∴3x1y2－9x2y1＝－3x1y1＋9x1y1＝6x1y1＝36.
7．D　8.D
9．A　解析：将y＝mx＋6代入y＝中，得mx＋6＝，整理得mx2＋6x－n＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn≥0，∴mn≥－9.故选A.
10．4
11．2≤k≤9　解析：当反比例函数的图象过C点时，把C的坐标代入得k＝2×1＝2.把y＝－x＋6代入y＝得－x＋6＝，整理得x2－6x＋k＝0，Δ＝(－6)2－4k＝36－4k.∵反比例函数y＝的图象与△ABC有公共点，∴36－4k≥0，解得k≤9，∴k的取值范围是2≤k≤9.
12．解：(1)∵点A(2，1)在一次函数y＝x＋m的图象上，∴2＋m＝1，∴m＝－1.∵点A(2，1)在反比例函数y＝的图象上，∴＝1，∴k＝2.
(2)由(1)可知m＝－1，∴一次函数的解析式为y＝x－1，令y＝0，得x＝1，∴点C的坐标是(1，0)．由图象可知不等式组0＜x＋m≤的解集为1＜x≤2.
13．解：(1)∵A(2，2)在反比例函数y＝的图象上，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝.∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴n＝4，解得n＝8，∴点B的坐标为.由A(2，2)，B在一次函数y＝ax＋b的图象上，得解得∴一次函数的解析式为y＝－4x＋10.
(2)由(1)可知反比例函数的解析式为y＝，一次函数的解析式为y＝－4x＋10，它的图象沿y轴向下平移m个单位得到的直线的解析式为y＝－4x＋10－m.令－4x＋10－m＝，得4x2＋(m－10)x＋4＝0.∵直线y＝－4x＋10－m与双曲线y＝有且只有一个交点，∴Δ＝(m－10)2－64＝0，解得m＝2或m＝18.
14．解：(1)(0，3)　(1.5，0)　(－6，0)
(2)设l1的解析式为y＝k1x＋3，由题意可得k1＝－2，∴y＝－2x＋3.∵双曲线y＝－与l1的交点坐标为(－1，k)，∴－2×(－1)＋3＝k，∴k＝5.
(3)从图象上看，双曲线y＝－与直线y＝x＋3没有交点，且与xx＋3的解集是x0)的图象经过OA的中点C，∴1＝，∴k＝，∴反比例函数的关系式为y＝；
(2)∵OB＝2，∴D的横坐标为2，代入y＝得y＝，∴D点坐标为，∴BD＝.∵AB＝2，∴AD＝AB－BD＝，∴S△ACD＝AD·BE＝××＝.∴S四边形CDBO＝S△AOB－S△ACD＝OB·AB－＝×2×2－＝.

8． 解：(1)过点P1作P1B⊥x轴，垂足为B.∵点A1的坐标为(4，0)，△P1OA1为等腰直角三角形，∴OB＝2，P1B＝OA1＝2，∴P1的坐标为(2，2)．将P1的坐标代入反比例函数y＝(k>0)，得k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；

(2)①过点P2作P2C⊥x轴，垂足为C，∵△P2A1A2为等腰直角三角形，∴P2C＝A1C.设P2C＝A1C＝a，则P2的坐标为(4＋a，a)．将P2的坐标代入反比例函数的解析式y＝中，得a＝，解得a1＝2－2，a2＝－2－2(舍去)，∴P2的坐标为(2＋2，2－2)；②在第一象限内，当20)；
(2)∵直线AC交y轴于点E，∴S△CDE＝S△EDA＋S△ADC＝＋＝1＋2＝3，即△CDE的面积是3.
14．解：(1)∵正方形OABC的顶点C的坐标为(0，3)，∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°.∵AD＝2DB，∴AD＝AB＝2，∴D点的坐标为(－3，2)．把D点的坐标代入y＝得m＝－6，∴反比例函数的解析式为y＝－.∵AM＝2MO，∴MO＝OA＝1，∴M点的坐标为(－1，0)．把M点与D点的坐标代入y＝kx＋b中得解得则一次函数的解析式为y＝－x－1；
(2)把y＝3代入y＝－得x＝－2，∴N点坐标为(－2，3)，∴NC＝2.设P点坐标为(x，y)．∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，∴(OM＋NC)·OC＝OM·|y|，即|y|＝9，解得y＝±9.当y＝9时，x＝－10，当y＝－9时，x＝8，则点P的坐标为(－10，9)或(8，－9)．
15．B　解析：由题意得AC＝m－1，CQ＝n，则S四边形ACQE＝AC·CQ＝(m－1)n＝mn－n.∵P(1，4)，Q(m，n)在函数y＝(x>0)的图象上，∴mn＝k＝4(常数)．∴S四边形ACQE＝4－n.∵当m>1时，n随着m的增大而减小，∴S四边形ACQE＝4－n随着m的增大而增大．故选B.
16．5　　解析：∵点A1、A2、A3、…、An、An＋1在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，又点A1的横坐标为2，∴点A1的坐标为(2，5)，点A2的坐标为，∴S1＝2×＝5.由题图象知，点An的坐标为，点An＋1的坐标为，∴S2＝2×＝，∴Sn＝2×＝10(n＝1，2，3，…)．∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝10＋10＋…＋10＝10＝.



参考答案与解析三
1．C　2.D　3.D
4．A　解析：将y＝mx＋6代入y＝中，得mx＋6＝，整理得mx2＋6x－n＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn≥0，∴mn≥－9.故选A.
5．4
6．36　解析：由题可知点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于原点对称，∴x1＝－x2，y1＝－y2.把A(x1，y1)代入双曲线y＝，得x1y1＝6，∴3x1y2－9x2y1＝－3x1y1＋9x1y1＝6x1y1＝36.故答案为36.
7．解：(1)把点A(4，2)代入反比例函数y＝，可得m＝8，∴反比例函数解析式为y＝.∵OB＝6，∴B(0，－6)，把点A(4，2)，B(0，－6)代入一次函数y＝kx＋b，可得解得∴一次函数解析式为y＝2x－6.
(2)在y＝2x－6中，令y＝0，则x＝3，即C(3，0)，∴CO＝3.设P，则由S△POC＝9，可得×3×＝9，解得a＝，∴P.
8．D
9．解：(1)∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，∴B点坐标为(3，2)．∵F为AB的中点，∴F点坐标为(3，1)．∵点F在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴k＝3，∴该函数的解析式为y＝(x＞0)．
(2)由题意知E，F两点坐标分别为E，F，∴S△EFA＝AF·BE＝×k×＝k－k2＝－(k2－6k＋9－9)＝－(k－3)2＋.当k＝3时，S△EFA有最大值，最大值为.
10．B
11．(0，2)　解析：由解得或∴A(2，1)，B(1，0)．设C(0，m)，∵BC＝AC，∴AC2＝BC2，即4＋(m－1)2＝1＋m2，∴m＝2，故答案为(0，2)．
12.＋1
13．2≤k≤9　解析：当反比例函数的图象过C点时，把C的坐标代入得k＝2×1＝2；把y＝－x＋6代入y＝得－x＋6＝，x2－6x＋k＝0，Δ＝(－6)2－4k＝36－4k.∵反比例函数y＝的图象与△ABC有公共点，∴36－4k≥0，解得k≤9，即k的取值范围是2≤k≤9，故答案为2≤k≤9.
14．解：(1)如图，作CE⊥AB，垂足为E.作CF⊥x轴，垂足为F.∵AC＝BC，AB＝4，∴AE＝BE＝2.在Rt△BCE中，BC＝，BE＝2，由勾股定理得CE＝.∵OA＝4，∴OF＝OA－CE＝，∴C点的坐标为.∵点C在y＝的图象上，∴k＝5.

(2)设A点的坐标为(m，0)．∵BD＝BC＝，∴AD＝，∴D，C两点的坐标分别为，.∵点C，D都在y＝的图象上，∴m＝2，解得m＝6，∴C点的坐标为，∴OF＝，CF＝2.在Rt△OFC中，OC2＝OF2＋CF2，∴OC＝.
15．C
16．6　解析：∵∠NOM＝90°，PM⊥x轴，PN⊥y轴，∴四边形ONPM是矩形．∵点P的坐标为(6，3)，∴PM＝3，PN＝6.∵A，B在反比例函数y＝上，∴S△NOB＝S△OAM＝.∵S四边形OAPB＝S矩形OMPN－S△OAM－S△NBO＝12，∴6×3－k－k＝12，解得k＝6.
17．解：(1)∵正方形OABC的顶点C的坐标为(0，3)，∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°.∵AD＝2DB，∴AD＝AB＝2，∴D点的坐标为(－3，2)．把D点的坐标代入y＝得m＝－6，∴反比例函数的解析式为y＝－.∵AM＝2MO，∴MO＝OA＝1，∴M点的坐标为(－1，0)．把M点与D点的坐标代入y＝kx＋b中得解得则一次函数的解析式为y＝－x－1.
(2)把y＝3代入y＝－得x＝－2，∴N点坐标为(－2，3)，∴NC＝2.设P点坐标为(x，y)．∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，∴(OM＋NC)·OC＝OM·|y|，即|y|＝9，解得y＝±9.在y＝－x－1中，当y＝9时，x＝－10；当y＝－9时，x＝8，则点P的坐标为(－10，9)或(8，－9)．

参考答案与解析四
1．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F＝∠FCD.在△ADG与△CDG中，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，AG＝CG.
(2)∵∠EAG＝∠DCG，∠F＝∠DCG，∴∠EAG＝∠F.又∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴＝，∴AG2＝GE·GF.
2．解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠ABC，∴∠A＝∠DCB.∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EA，∴∠A＝∠EDA.∵∠BDF＝∠EDA，∴∠DCB＝∠BDF.又∵∠F＝∠F，∴△BDF∽△DCF，∴FD∶CF＝BF∶FD＝1∶2.
(2)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB.∵∠ABC＝∠CBD，∴△BDC∽△BCA，∴BD∶CD＝BC∶AC＝∶2＝1∶2.在Rt△BAC中，由勾股定理可得AB＝5，∴＝＝，∴S△BDC＝××2×＝3.∵△BDF∽△DCF，∴＝＝，即＝.∵S△BDC＝3，∴S△FDC＝4.
3．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝.又∵AB＝AD，∴＝.

4．证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCE，∴Rt△ACE∽Rt△CBE，∴＝，∴CE2＝AE·BE.又∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠3，∴△AEP∽△DEB，∴＝，∴PE·DE＝AE·BE，∴CE2＝PE·DE.