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2023年安徽省合肥市瑶海区中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年安徽省合肥市瑶海区中考数学一模试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了填空题，本大题满分14分）等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省合肥市瑶海区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的
1．（4分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．（4分）2022年中国粮食产量再获丰收，突破13731亿斤，其中13731亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.13731×1013 B．1.3731×1012
C．13.731×1011 D．1.3731×104
3．（4分）一个由圆柱和球组成的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x3﹣x＝x2 B．（﹣2x2）3＝﹣6x5
C．（x+2）2＝x2+4 D．（2x2y）÷（2xy）＝x
5．（4分）将两块含45°角的直角三角板ABC，DEF按如图方式放置，其中点E在BC上，点A在DE上，若∠FEC＝30°，则∠EAC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
6．（4分）研究表明，生物的遗传性状是由成对基因决定的，豌豆基因A，a，其中A为显性基因，a为隐性基因．成对基因AA决定的豌豆是纯种黄色，基因aa决定的豌豆是纯种绿色，两种豌豆杂交产生子一代Aa是黄色，若将子一代自交后豌豆显黄色的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝kh+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，k为常数且k＞0，点M的坐标为（34.5，312），根据图中信息分析，下列结论正确的是（ ）
A．湖水面大气压强为76.0cmHg
B．湖水深23m处的压强为230cmHg
C．函数解析式P＝kh+P0中自变量h的取值范围是h＞0
D．P与h的函数解析式为P＝7h+66
8．（4分）圆O的直径AB＝26cm，点C是圆O上一点（不与点A、B重合），作CD⊥AB于点D，若CD＝12cm，则AD的长是（ ）
A．8cm B．18cm C．8cm或18cm D．16cm
9．（4分）如图，Rt△BOC的一条直角边OC在x轴正半轴上，双曲线y＝过△BOC的斜边OB的中点A，与另一直角边BC相交于点D，若△BOD的面积是6，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
10．（4分）在△ABC中，AB＝4，sin∠BAC＝，点D是点B关于AC的对称点，连接AD，CD，E，F是AD，BC上两点，作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M，N，若AD∥BC，AE＝BF，则EM+FN的值是（ ）
A． B．5 C．2 D．10
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若分式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（5分）因式分解：ax2﹣4ax+4a＝ ．
13．（5分）如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝50°，点E是BC上一点，沿DE折叠得△PDE，点P落在∠ACB的平分线上，PF垂直平分AC，F为垂足，则∠PDB的度数是 °．
14．（5分）在同一平面直角坐标系中，已知函数y1＝ax2+bx，y2＝ax+b（ab≠0），函数y2的图象经过y1的顶点．请完成下列探究：
（1）函数y1＝ax2+bx的对称轴为 ；
（2）若a＞0，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（）0+|﹣5|﹣（）﹣2．
16．（8分）如图所示，在边长为1个单位的小正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，直线l在网格线上．
（1）把线段AB向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到线段CD（其中A与C是对应点），请画出线段CD；
（2）把线段CD绕点D按顺时针方向旋转90°，得到线段ED，在网格中画出△CDE；
（3）请在格中画出△CDE关于直线l对称的△C1D1E1．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）用相同的菱形按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
图形
1
2
3
4
5
6
…
所用菱形个数
1
3
4
6
…
（2）按这种方式搭下去，搭第2n+1（n为自然数）个图形需要 个菱形；（用含n的式子表示）
（3）小亮同学说他按这种方式搭出来的一个图形用了2023个菱形，你认为可能吗？如果能那是第几个图形？如果不可能请说明理由．
18．（8分）物理课上学过平面镜成像知识后，小强带领兴趣小组到操场上测楼房高度．如图，支架FE长1.2m且与地面垂直，到楼房的距离EC＝10m，将平面镜GF倾斜放置，GF与支架FE所成的角∠GFE＝154°，观测点B离地面距离AB＝1.7m，经平面镜上的点P恰好观测到楼房的最高点D，此时E，A，C在同一直线上，PB∥EA．求楼房的高度CD．（结果精确到0.1m，参考数据：sin26°≈0.4，sin52°≈0.8，tan26°≈0.5，tan52°≈1.3）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2020到2022这两年A型汽车年销售总量增加了69%，年销售单价下降了19%．
（1）设2020年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表：
年份
年销售A型汽车总量/万辆
年销售A型汽车单价/万元
年销售A型汽车总额/亿元
2020
a
b
2022
1.69a
0.81b
（2）该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率．
20．（10分）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB上一点，连接CE，CD．
（1）若∠DCA＝∠ECB，求证：CE⊥DB；
（2）在（1）的条件下，若AB＝6，DE＝5，求sin∠DBC．
六、（本大题满分12分）
21．（12分）在“双减”政策的落实中，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生每天的课后书面作业的时长（单位：分钟）情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生进行调查，整理数据（保留整数）得如下不完整的统计图表（作业时长用x分钟表示）：
A、B两所学校被抽取50名学生每天的课后书面作业的时长频数分布表
组别
50.5≤x＜60.5
60.5≤x＜70.5
70.5≤x＜80.5
80.5≤x＜90.5
90.5≤x＜100.5
A学校人数
5
a
18
8
4
B学校人数
7
10
b
17
4
A学校50名九年级学生中课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5的具体数据如下：
72，72，73，74，74，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，77，78，80．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）b＝ ，补全频数分布直方图；
（2）A学校50名九年级学生课后书面作业时长的中位数是 ；
（3）依据国家政策，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包含90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有多少人？
七、（本大题满分12分）
22．（12分）已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在边AB，AD上，△ECF是等边三角形．
（1）如图1，对角线AC交EF于点M，求证：∠BCE＝∠FCM；
（2）如图2，点N在AC上，且AN＝BE，若BC＝3，BE＝1，求MN的值．
八、本大题满分14分）
23．（14分）在平面直角坐标系中，点A（1，m），点B（3，n）在抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k上，设抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c）．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线的表达式；
（2）若c＜n＜m，求h的取值范围；
（3）连接OA，OB，AB，当k＝4，﹣2＜h＜2时，△AOB的面积是否有最大值，若有请求出最大值；若没有请说明理由．
2023年安徽省合肥市瑶海区中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的
1．（4分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：B．
2．（4分）2022年中国粮食产量再获丰收，突破13731亿斤，其中13731亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.13731×1013 B．1.3731×1012
C．13.731×1011 D．1.3731×104
【解答】解：13731亿＝13731×108＝1.3731×1012．
故选：B．
3．（4分）一个由圆柱和球组成的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：该几何体的俯视图是：
故选：C．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x3﹣x＝x2 B．（﹣2x2）3＝﹣6x5
C．（x+2）2＝x2+4 D．（2x2y）÷（2xy）＝x
【解答】解：A、x3与﹣x不能合并，故A不符合题意；
B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故B不符合题意；
C、（x+2）2＝x2+4x+4，故C不符合题意；
D、（2x2y）÷（2xy）＝x，故D符合题意；
故选：D．
5．（4分）将两块含45°角的直角三角板ABC，DEF按如图方式放置，其中点E在BC上，点A在DE上，若∠FEC＝30°，则∠EAC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【解答】解：∵△ABC和△DEF是含45°角的直角三角形，
∴∠BAC＝90°，∠B＝∠DEF＝45°，
∵∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠FEC＝30°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣30°＝60°，
故选：A．
6．（4分）研究表明，生物的遗传性状是由成对基因决定的，豌豆基因A，a，其中A为显性基因，a为隐性基因．成对基因AA决定的豌豆是纯种黄色，基因aa决定的豌豆是纯种绿色，两种豌豆杂交产生子一代Aa是黄色，若将子一代自交后豌豆显黄色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：两种豌豆杂交产生子一代Aa是黄色，若将子一代自交后有AA，Aa，aA，aa四种情况，其中豌豆显黄色的有3种情况，
故将子一代自交后豌豆显黄色的概率是．
故选：C．
7．（4分）如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝kh+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，k为常数且k＞0，点M的坐标为（34.5，312），根据图中信息分析，下列结论正确的是（ ）
A．湖水面大气压强为76.0cmHg
B．湖水深23m处的压强为230cmHg
C．函数解析式P＝kh+P0中自变量h的取值范围是h＞0
D．P与h的函数解析式为P＝7h+66
【解答】解：由图象可知，直线P＝kh+P0过点（0，66）和（34.5，312）．
∴，
解得．
∴直线解析式为：P＝7.1h+66．故D错误，不符合题意；
∴青海湖水面大气压强为66.0cmHg，故B错误，不符合题意；
根据实际意义，0≤h≤32.8，故C错误，不符合题意；
将h＝16.4代入解析式，
∴P＝7.1×23+68＝231.3，即青海湖水深23m处的压强为231.3cmHg，故B正确，符合题意．
故选：B．
8．（4分）圆O的直径AB＝26cm，点C是圆O上一点（不与点A、B重合），作CD⊥AB于点D，若CD＝12cm，则AD的长是（ ）
A．8cm B．18cm C．8cm或18cm D．16cm
【解答】解：当点D在OB上，如图，连接OC，
∵圆O的直径AB＝26cm，
∴OA＝OC＝13cm，
∵CD⊥AB，
∴∠ODC＝90°，
∴DO＝＝＝5（cm），
∴AD＝OA+OD＝13+5＝18（cm）；
当点D在线段OA上时，如图，
同理可得出AD＝AO﹣OD＝13﹣5＝8（cm）．
故选：C．
9．（4分）如图，Rt△BOC的一条直角边OC在x轴正半轴上，双曲线y＝过△BOC的斜边OB的中点A，与另一直角边BC相交于点D，若△BOD的面积是6，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
【解答】解：作AE⊥OC于E，如图，
∵点A、D在双曲线y＝上，
∴S△OAE＝S△COD＝k，
∵△BOD的面积是6，OA＝OB，
∴S△OCB＝6+k，
∵AE∥BC，
∴△OAE∽△OBC，
∴＝（）2，即＝，
∴k＝4．
故选：C．
10．（4分）在△ABC中，AB＝4，sin∠BAC＝，点D是点B关于AC的对称点，连接AD，CD，E，F是AD，BC上两点，作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M，N，若AD∥BC，AE＝BF，则EM+FN的值是（ ）
A． B．5 C．2 D．10
【解答】解：如图，
∵点D是点B关于AC的对称点，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，AC⊥BD，BO＝DO，
∵sin∠BAC＝，
∴，
即，
解得：BO＝3，
∴AO＝，
∵AD∥BC，
∴∠CBO＝∠ADO，
在△BCO≌△DAO中，
，
∴△BCO≌△DAO（ASA），
∴BC＝AD＝4，AO＝CO＝，
∵EM⊥BD，FN⊥BD，
∴EM∥AO，FN∥CO，
∴，，
∴，，
∵AE＝BF，
∴，
即1﹣，
∴1﹣，
∴，
即EM+NF＝．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若分式有意义，则x的取值范围为 x≠2 ．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
12．（5分）因式分解：ax2﹣4ax+4a＝ a（x﹣2）2 ．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
13．（5分）如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝50°，点E是BC上一点，沿DE折叠得△PDE，点P落在∠ACB的平分线上，PF垂直平分AC，F为垂足，则∠PDB的度数是 100 °．
【解答】解：连接PA，PB，延长CP交AB于H，设PB交DE于G，如图：
∵PF垂直平分AC，
∴CP＝AP，
∵AC＝BC，CP平分∠ACB，
∴CH⊥AB，AH＝BH，
∴AP＝BP，
∴CP＝BP，
∴∠PBC＝∠BCP＝∠ACB＝25°，
∵∠ABC＝（180°﹣∠ACB）÷2＝65°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝40°，
∵沿DE折叠得△PDE，点P落在∠ACB的平分线上，
∴∠BGD＝∠PGD＝90°，∠BDG＝∠PDG，
∴∠BDG＝∠PDG＝90°﹣∠ABP＝50°，
∴∠PDB＝∠BDG+∠PDG＝100°，
故答案为：100．
14．（5分）在同一平面直角坐标系中，已知函数y1＝ax2+bx，y2＝ax+b（ab≠0），函数y2的图象经过y1的顶点．请完成下列探究：
（1）函数y1＝ax2+bx的对称轴为 直线x＝1 ；
（2）若a＞0，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 x＞2或x＜1 ．
【解答】解：（1）∵y1＝ax2+bx＝a（x+）2﹣，
∴函数y1的顶点为（﹣，﹣），
∵函数y2的图象经过y1的顶点，
∴﹣＝a（﹣）+b，即b＝﹣，
∵ab≠0，
∴﹣b＝2a，
∴函数y1＝ax2+bx的对称轴为直线x＝﹣＝1．
故答案为：直线x＝1；
②∵b＝﹣2a，
∴y1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），y2＝ax﹣2a，
当y1＞y2时，则y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1）＞0．
∵a＞0，
∴或，
解得x＞2或x＜1．
∴若a＞0，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＞2或x＜1．
故答案为：x＞2或x＜1．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（）0+|﹣5|﹣（）﹣2．
【解答】解：（）0+|﹣5|﹣（）﹣2
＝1+5﹣4
＝2．
16．（8分）如图所示，在边长为1个单位的小正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，直线l在网格线上．
（1）把线段AB向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到线段CD（其中A与C是对应点），请画出线段CD；
（2）把线段CD绕点D按顺时针方向旋转90°，得到线段ED，在网格中画出△CDE；
（3）请在格中画出△CDE关于直线l对称的△C1D1E1．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求.
（2）如图，△CDE即为所求．
（3）如图，△C1D1E1即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）用相同的菱形按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
图形
1
2
3
4
5
6
…
所用菱形个数
1
3
4
6
7
9
…
（2）按这种方式搭下去，搭第2n+1（n为自然数）个图形需要 （3n+1） 个菱形；（用含n的式子表示）
（3）小亮同学说他按这种方式搭出来的一个图形用了2023个菱形，你认为可能吗？如果能那是第几个图形？如果不可能请说明理由．
【解答】解：（1）根据表中的数据得，图形5中有7个菱形，图形6中有9个菱形，
故答案为：7，9；
（2）根据（1）中的规律，第（2n+1）个图形中有（3n+1）个菱形，
故答案为：（3n+1）；
（3）当3n+1＝2023时，
解得：n＝674，
2n+1＝1349，
所以第1349个图形中有2023个菱形．
18．（8分）物理课上学过平面镜成像知识后，小强带领兴趣小组到操场上测楼房高度．如图，支架FE长1.2m且与地面垂直，到楼房的距离EC＝10m，将平面镜GF倾斜放置，GF与支架FE所成的角∠GFE＝154°，观测点B离地面距离AB＝1.7m，经平面镜上的点P恰好观测到楼房的最高点D，此时E，A，C在同一直线上，PB∥EA．求楼房的高度CD．（结果精确到0.1m，参考数据：sin26°≈0.4，sin52°≈0.8，tan26°≈0.5，tan52°≈1.3）
【解答】解：如图，延长PB交DC于点H，则PH⊥CD，作FM⊥EF，PN⊥GF，FQ⊥PB于点Q，
∴FM∥PH∥EC，四边形QEAB和四边形QECH是矩形，
∴AB＝CH＝EQ＝1.7米，
∵∠GFE＝154°，FM⊥EF，
∴∠GFM＝64°，
∴∠FPQ＝64°，∠PFQ＝26°，
∵EF＝1.2米，
在Rt△PFQ中，QF＝QE﹣FE＝AB﹣FE＝0.5（米），
∴PQ＝QF•tan26°≈0.5×0.5＝0.25（米），
∴PH＝PQ+QH＝PQ+EC＝10.25（米），
∵PN⊥GF，∠FPQ＝64°，
∴∠NPH＝26°，
∴∠DPH＝52°，
在Rt△DPH中，DH＝tan52°•PH≈1.3×10.25≈13.3（米），
∴CD＝DH+CH＝13.3+1.7＝15（米），
答：楼房的高度CD约为15米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2020到2022这两年A型汽车年销售总量增加了69%，年销售单价下降了19%．
（1）设2020年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表：
年份
年销售A型汽车总量/万辆
年销售A型汽车单价/万元
年销售A型汽车总额/亿元
2020
a
b
ab
2022
1.69a
0.81b
1.3689ab
（2）该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率．
【解答】解：（1）2020年销售A型汽车总额为ab亿元，
2022年销售A型汽车总额为1.69a•0.81b＝1.3689ab（亿元），
故答案为：ab，1.3689ab；
（2）设该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率为x，
根据题意，得ab（1+x）2＝1.3689ab，
解得x1＝0.17＝17%，x2＝﹣2.17（舍去），
答：该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率为17%．
20．（10分）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB上一点，连接CE，CD．
（1）若∠DCA＝∠ECB，求证：CE⊥DB；
（2）在（1）的条件下，若AB＝6，DE＝5，求sin∠DBC．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠DCA＝∠ECB，∠CAD＝∠CBD，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴CE⊥BD；
（2）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠ABC，
∵∠D＝∠A，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∵AB＝6，DE＝5，
∴sin∠DBC＝＝＝．
六、（本大题满分12分）
21．（12分）在“双减”政策的落实中，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生每天的课后书面作业的时长（单位：分钟）情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生进行调查，整理数据（保留整数）得如下不完整的统计图表（作业时长用x分钟表示）：
A、B两所学校被抽取50名学生每天的课后书面作业的时长频数分布表
组别
50.5≤x＜60.5
60.5≤x＜70.5
70.5≤x＜80.5
80.5≤x＜90.5
90.5≤x＜100.5
A学校人数
5
a
18
8
4
B学校人数
7
10
b
17
4
A学校50名九年级学生中课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5的具体数据如下：
72，72，73，74，74，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，77，78，80．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）b＝ 12 ，补全频数分布直方图；
（2）A学校50名九年级学生课后书面作业时长的中位数是 75 ；
（3）依据国家政策，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包含90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有多少人？
【解答】解：（1）由题意知a＝50﹣（5+18+8+4）＝15，b＝50﹣（7+10+17+4）＝12，
补全直方图如下：
故答案为：12；
（2）学校50名九年级学生课后书面作业时长的中位数是第25、26个数据的平均数，而这两个数据分别为75、75，
所以学校50名九年级学生课后书面作业时长的中位数是＝75，
故答案为：75；
（3）1000×＝920（人），
答：估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包含90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有920人．
七、（本大题满分12分）
22．（12分）已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在边AB，AD上，△ECF是等边三角形．
（1）如图1，对角线AC交EF于点M，求证：∠BCE＝∠FCM；
（2）如图2，点N在AC上，且AN＝BE，若BC＝3，BE＝1，求MN的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵△ECF是等边三角形，
∴EC＝CF，∠ECF＝∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
在△CBE和△CAF中，
，
∴△CBE≌△CAF（SAS），
∴∠BCE＝∠FCM；
（2）解：连接FN，
由（1）知△ABC是等边三角形，BE＝AF，
∴∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠FAN＝∠BCA＝60°，
∵AN＝BE，
∴AN＝BE＝AF＝1，
∴△AFN是等边三角形，AE＝2，
∴BE＝AF＝FN，
在△AEF和△AFN中，
，
∴△AEF≌△AFN（SAS），
∴EF＝BN，
∴四边形BNFE是平行四边形，
∴EF∥BN，
∴＝＝，
∴1﹣MN＝，
∴MN＝．
八、本大题满分14分）
23．（14分）在平面直角坐标系中，点A（1，m），点B（3，n）在抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k上，设抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c）．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线的表达式；
（2）若c＜n＜m，求h的取值范围；
（3）连接OA，OB，AB，当k＝4，﹣2＜h＜2时，△AOB的面积是否有最大值，若有请求出最大值；若没有请说明理由．
【解答】解：（1）当c＝2时，C的坐标为（0，2），
∴﹣h2+k＝2①，
∵点A（1，m），点B（3，n）在抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k上，m＝n，
∴抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝＝2，
∴h＝2，
把h＝2代入①得k＝6，
∴y＝﹣（x﹣2）2+6＝﹣x2+4x+2，
∴当c＝2，m＝n时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+2；
（2）∵点A（1，m），点B（3，n）在抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k上，抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），
∴m＝﹣（1﹣h）2+k，n＝﹣（3﹣h）2+k，c＝﹣h2+k，
∵c＜n＜m，
∴﹣h2+k＜﹣（3﹣h）2+k＜﹣（1﹣h）2+k，
变形整理得0＜﹣9+6h＜﹣1+2h，
解得＜h＜2；
（3）△AOB的面积有最大值，理由如下：
过A作AD∥y轴交OB于D，如图：
∵点A（1，m），点B（3，n）在抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k上，k＝4，
∴m＝﹣（1﹣h）2+4＝﹣h2+2h+3，n＝﹣（3﹣h）2+4＝﹣h2+6h﹣5，
∴A（1，﹣h2+2h+3），B（3，﹣h2+6h﹣5），
∵﹣2＜h＜2，
∴B在A下方，
设直线OB解析式为y＝px，将B（3，﹣h2+6h﹣5）代入得：
3p＝﹣h2+6h﹣5，
解得p＝﹣h2+2h﹣，
∴直线OB解析式为y＝（﹣h2+2h﹣）x，
在y＝（﹣h2+2h﹣）x中，令x＝1得y＝﹣h2+2h﹣，
∴D（1，﹣h2+2h﹣），
∵B在A下方，
∴D在A下方，
∴AD＝﹣h2+2h+3﹣（﹣h2+2h﹣）＝﹣h2+，
∴S△AOB＝AD•|xB|＝×（﹣h2+）×3＝﹣h2+7，
∴当h＝0时，S△AOB取最大值，最大值为7，
∴AOB的面积有最大值，最大值是7．
2023年安徽省合肥市瑶海区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的
1．（4分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．（4分）2022年中国粮食产量再获丰收，突破13731亿斤，其中13731亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.13731×1013 B．1.3731×1012
C．13.731×1011 D．1.3731×104
3．（4分）一个由圆柱和球组成的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x3﹣x＝x2 B．（﹣2x2）3＝﹣6x5
C．（x+2）2＝x2+4 D．（2x2y）÷（2xy）＝x
5．（4分）将两块含45°角的直角三角板ABC，DEF按如图方式放置，其中点E在BC上，点A在DE上，若∠FEC＝30°，则∠EAC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
6．（4分）研究表明，生物的遗传性状是由成对基因决定的，豌豆基因A，a，其中A为显性基因，a为隐性基因．成对基因AA决定的豌豆是纯种黄色，基因aa决定的豌豆是纯种绿色，两种豌豆杂交产生子一代Aa是黄色，若将子一代自交后豌豆显黄色的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝kh+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，k为常数且k＞0，点M的坐标为（34.5，312），根据图中信息分析，下列结论正确的是（ ）
A．湖水面大气压强为76.0cmHg
B．湖水深23m处的压强为230cmHg
C．函数解析式P＝kh+P0中自变量h的取值范围是h＞0
D．P与h的函数解析式为P＝7h+66
8．（4分）圆O的直径AB＝26cm，点C是圆O上一点（不与点A、B重合），作CD⊥AB于点D，若CD＝12cm，则AD的长是（ ）
A．8cm B．18cm C．8cm或18cm D．16cm
9．（4分）如图，Rt△BOC的一条直角边OC在x轴正半轴上，双曲线y＝过△BOC的斜边OB的中点A，与另一直角边BC相交于点D，若△BOD的面积是6，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
10．（4分）在△ABC中，AB＝4，sin∠BAC＝，点D是点B关于AC的对称点，连接AD，CD，E，F是AD，BC上两点，作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M，N，若AD∥BC，AE＝BF，则EM+FN的值是（ ）
A． B．5 C．2 D．10
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若分式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（5分）因式分解：ax2﹣4ax+4a＝ ．
13．（5分）如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝50°，点E是BC上一点，沿DE折叠得△PDE，点P落在∠ACB的平分线上，PF垂直平分AC，F为垂足，则∠PDB的度数是 °．
14．（5分）在同一平面直角坐标系中，已知函数y1＝ax2+bx，y2＝ax+b（ab≠0），函数y2的图象经过y1的顶点．请完成下列探究：
（1）函数y1＝ax2+bx的对称轴为 ；
（2）若a＞0，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（）0+|﹣5|﹣（）﹣2．
16．（8分）如图所示，在边长为1个单位的小正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，直线l在网格线上．
（1）把线段AB向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到线段CD（其中A与C是对应点），请画出线段CD；
（2）把线段CD绕点D按顺时针方向旋转90°，得到线段ED，在网格中画出△CDE；
（3）请在格中画出△CDE关于直线l对称的△C1D1E1．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）用相同的菱形按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
图形
1
2
3
4
5
6
…
所用菱形个数
1
3
4
6
…
（2）按这种方式搭下去，搭第2n+1（n为自然数）个图形需要 个菱形；（用含n的式子表示）
（3）小亮同学说他按这种方式搭出来的一个图形用了2023个菱形，你认为可能吗？如果能那是第几个图形？如果不可能请说明理由．
18．（8分）物理课上学过平面镜成像知识后，小强带领兴趣小组到操场上测楼房高度．如图，支架FE长1.2m且与地面垂直，到楼房的距离EC＝10m，将平面镜GF倾斜放置，GF与支架FE所成的角∠GFE＝154°，观测点B离地面距离AB＝1.7m，经平面镜上的点P恰好观测到楼房的最高点D，此时E，A，C在同一直线上，PB∥EA．求楼房的高度CD．（结果精确到0.1m，参考数据：sin26°≈0.4，sin52°≈0.8，tan26°≈0.5，tan52°≈1.3）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2020到2022这两年A型汽车年销售总量增加了69%，年销售单价下降了19%．
（1）设2020年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表：
年份
年销售A型汽车总量/万辆
年销售A型汽车单价/万元
年销售A型汽车总额/亿元
2020
a
b
2022
1.69a
0.81b
（2）该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率．
20．（10分）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB上一点，连接CE，CD．
（1）若∠DCA＝∠ECB，求证：CE⊥DB；
（2）在（1）的条件下，若AB＝6，DE＝5，求sin∠DBC．
六、（本大题满分12分）
21．（12分）在“双减”政策的落实中，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生每天的课后书面作业的时长（单位：分钟）情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生进行调查，整理数据（保留整数）得如下不完整的统计图表（作业时长用x分钟表示）：
A、B两所学校被抽取50名学生每天的课后书面作业的时长频数分布表
组别
50.5≤x＜60.5
60.5≤x＜70.5
70.5≤x＜80.5
80.5≤x＜90.5
90.5≤x＜100.5
A学校人数
5
a
18
8
4
B学校人数
7
10
b
17
4
A学校50名九年级学生中课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5的具体数据如下：
72，72，73，74，74，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，77，78，80．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）b＝ ，补全频数分布直方图；
（2）A学校50名九年级学生课后书面作业时长的中位数是 ；
（3）依据国家政策，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包含90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有多少人？
七、（本大题满分12分）
22．（12分）已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在边AB，AD上，△ECF是等边三角形．
（1）如图1，对角线AC交EF于点M，求证：∠BCE＝∠FCM；
（2）如图2，点N在AC上，且AN＝BE，若BC＝3，BE＝1，求MN的值．
八、本大题满分14分）
23．（14分）在平面直角坐标系中，点A（1，m），点B（3，n）在抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k上，设抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c）．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线的表达式；
（2）若c＜n＜m，求h的取值范围；
（3）连接OA，OB，AB，当k＝4，﹣2＜h＜2时，△AOB的面积是否有最大值，若有请求出最大值；若没有请说明理由．
2023年安徽省合肥市瑶海区中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的
1．（4分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：B．
2．（4分）2022年中国粮食产量再获丰收，突破13731亿斤，其中13731亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.13731×1013 B．1.3731×1012
C．13.731×1011 D．1.3731×104
【解答】解：13731亿＝13731×108＝1.3731×1012．
故选：B．
3．（4分）一个由圆柱和球组成的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：该几何体的俯视图是：
故选：C．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x3﹣x＝x2 B．（﹣2x2）3＝﹣6x5
C．（x+2）2＝x2+4 D．（2x2y）÷（2xy）＝x
【解答】解：A、x3与﹣x不能合并，故A不符合题意；
B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故B不符合题意；
C、（x+2）2＝x2+4x+4，故C不符合题意；
D、（2x2y）÷（2xy）＝x，故D符合题意；
故选：D．
5．（4分）将两块含45°角的直角三角板ABC，DEF按如图方式放置，其中点E在BC上，点A在DE上，若∠FEC＝30°，则∠EAC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【解答】解：∵△ABC和△DEF是含45°角的直角三角形，
∴∠BAC＝90°，∠B＝∠DEF＝45°，
∵∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠FEC＝30°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣30°＝60°，
故选：A．
6．（4分）研究表明，生物的遗传性状是由成对基因决定的，豌豆基因A，a，其中A为显性基因，a为隐性基因．成对基因AA决定的豌豆是纯种黄色，基因aa决定的豌豆是纯种绿色，两种豌豆杂交产生子一代Aa是黄色，若将子一代自交后豌豆显黄色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：两种豌豆杂交产生子一代Aa是黄色，若将子一代自交后有AA，Aa，aA，aa四种情况，其中豌豆显黄色的有3种情况，
故将子一代自交后豌豆显黄色的概率是．
故选：C．
7．（4分）如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝kh+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，k为常数且k＞0，点M的坐标为（34.5，312），根据图中信息分析，下列结论正确的是（ ）
A．湖水面大气压强为76.0cmHg
B．湖水深23m处的压强为230cmHg
C．函数解析式P＝kh+P0中自变量h的取值范围是h＞0
D．P与h的函数解析式为P＝7h+66
【解答】解：由图象可知，直线P＝kh+P0过点（0，66）和（34.5，312）．
∴，
解得．
∴直线解析式为：P＝7.1h+66．故D错误，不符合题意；
∴青海湖水面大气压强为66.0cmHg，故B错误，不符合题意；
根据实际意义，0≤h≤32.8，故C错误，不符合题意；
将h＝16.4代入解析式，
∴P＝7.1×23+68＝231.3，即青海湖水深23m处的压强为231.3cmHg，故B正确，符合题意．
故选：B．
8．（4分）圆O的直径AB＝26cm，点C是圆O上一点（不与点A、B重合），作CD⊥AB于点D，若CD＝12cm，则AD的长是（ ）
A．8cm B．18cm C．8cm或18cm D．16cm
【解答】解：当点D在OB上，如图，连接OC，
∵圆O的直径AB＝26cm，
∴OA＝OC＝13cm，
∵CD⊥AB，
∴∠ODC＝90°，
∴DO＝＝＝5（cm），
∴AD＝OA+OD＝13+5＝18（cm）；
当点D在线段OA上时，如图，
同理可得出AD＝AO﹣OD＝13﹣5＝8（cm）．
故选：C．
9．（4分）如图，Rt△BOC的一条直角边OC在x轴正半轴上，双曲线y＝过△BOC的斜边OB的中点A，与另一直角边BC相交于点D，若△BOD的面积是6，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6
【解答】解：作AE⊥OC于E，如图，
∵点A、D在双曲线y＝上，
∴S△OAE＝S△COD＝k，
∵△BOD的面积是6，OA＝OB，
∴S△OCB＝6+k，
∵AE∥BC，
∴△OAE∽△OBC，
∴＝（）2，即＝，
∴k＝4．
故选：C．
10．（4分）在△ABC中，AB＝4，sin∠BAC＝，点D是点B关于AC的对称点，连接AD，CD，E，F是AD，BC上两点，作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M，N，若AD∥BC，AE＝BF，则EM+FN的值是（ ）
A． B．5 C．2 D．10
【解答】解：如图，
∵点D是点B关于AC的对称点，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，AC⊥BD，BO＝DO，
∵sin∠BAC＝，
∴，
即，
解得：BO＝3，
∴AO＝，
∵AD∥BC，
∴∠CBO＝∠ADO，
在△BCO≌△DAO中，
，
∴△BCO≌△DAO（ASA），
∴BC＝AD＝4，AO＝CO＝，
∵EM⊥BD，FN⊥BD，
∴EM∥AO，FN∥CO，
∴，，
∴，，
∵AE＝BF，
∴，
即1﹣，
∴1﹣，
∴，
即EM+NF＝．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若分式有意义，则x的取值范围为 x≠2 ．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
12．（5分）因式分解：ax2﹣4ax+4a＝ a（x﹣2）2 ．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
13．（5分）如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝50°，点E是BC上一点，沿DE折叠得△PDE，点P落在∠ACB的平分线上，PF垂直平分AC，F为垂足，则∠PDB的度数是 100 °．
【解答】解：连接PA，PB，延长CP交AB于H，设PB交DE于G，如图：
∵PF垂直平分AC，
∴CP＝AP，
∵AC＝BC，CP平分∠ACB，
∴CH⊥AB，AH＝BH，
∴AP＝BP，
∴CP＝BP，
∴∠PBC＝∠BCP＝∠ACB＝25°，
∵∠ABC＝（180°﹣∠ACB）÷2＝65°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝40°，
∵沿DE折叠得△PDE，点P落在∠ACB的平分线上，
∴∠BGD＝∠PGD＝90°，∠BDG＝∠PDG，
∴∠BDG＝∠PDG＝90°﹣∠ABP＝50°，
∴∠PDB＝∠BDG+∠PDG＝100°，
故答案为：100．
14．（5分）在同一平面直角坐标系中，已知函数y1＝ax2+bx，y2＝ax+b（ab≠0），函数y2的图象经过y1的顶点．请完成下列探究：
（1）函数y1＝ax2+bx的对称轴为 直线x＝1 ；
（2）若a＞0，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 x＞2或x＜1 ．
【解答】解：（1）∵y1＝ax2+bx＝a（x+）2﹣，
∴函数y1的顶点为（﹣，﹣），
∵函数y2的图象经过y1的顶点，
∴﹣＝a（﹣）+b，即b＝﹣，
∵ab≠0，
∴﹣b＝2a，
∴函数y1＝ax2+bx的对称轴为直线x＝﹣＝1．
故答案为：直线x＝1；
②∵b＝﹣2a，
∴y1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），y2＝ax﹣2a，
当y1＞y2时，则y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1）＞0．
∵a＞0，
∴或，
解得x＞2或x＜1．
∴若a＞0，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＞2或x＜1．
故答案为：x＞2或x＜1．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（）0+|﹣5|﹣（）﹣2．
【解答】解：（）0+|﹣5|﹣（）﹣2
＝1+5﹣4
＝2．
16．（8分）如图所示，在边长为1个单位的小正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，直线l在网格线上．
（1）把线段AB向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到线段CD（其中A与C是对应点），请画出线段CD；
（2）把线段CD绕点D按顺时针方向旋转90°，得到线段ED，在网格中画出△CDE；
（3）请在格中画出△CDE关于直线l对称的△C1D1E1．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求.
（2）如图，△CDE即为所求．
（3）如图，△C1D1E1即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）用相同的菱形按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
图形
1
2
3
4
5
6
…
所用菱形个数
1
3
4
6
7
9
…
（2）按这种方式搭下去，搭第2n+1（n为自然数）个图形需要 （3n+1） 个菱形；（用含n的式子表示）
（3）小亮同学说他按这种方式搭出来的一个图形用了2023个菱形，你认为可能吗？如果能那是第几个图形？如果不可能请说明理由．
【解答】解：（1）根据表中的数据得，图形5中有7个菱形，图形6中有9个菱形，
故答案为：7，9；
（2）根据（1）中的规律，第（2n+1）个图形中有（3n+1）个菱形，
故答案为：（3n+1）；
（3）当3n+1＝2023时，
解得：n＝674，
2n+1＝1349，
所以第1349个图形中有2023个菱形．
18．（8分）物理课上学过平面镜成像知识后，小强带领兴趣小组到操场上测楼房高度．如图，支架FE长1.2m且与地面垂直，到楼房的距离EC＝10m，将平面镜GF倾斜放置，GF与支架FE所成的角∠GFE＝154°，观测点B离地面距离AB＝1.7m，经平面镜上的点P恰好观测到楼房的最高点D，此时E，A，C在同一直线上，PB∥EA．求楼房的高度CD．（结果精确到0.1m，参考数据：sin26°≈0.4，sin52°≈0.8，tan26°≈0.5，tan52°≈1.3）
【解答】解：如图，延长PB交DC于点H，则PH⊥CD，作FM⊥EF，PN⊥GF，FQ⊥PB于点Q，
∴FM∥PH∥EC，四边形QEAB和四边形QECH是矩形，
∴AB＝CH＝EQ＝1.7米，
∵∠GFE＝154°，FM⊥EF，
∴∠GFM＝64°，
∴∠FPQ＝64°，∠PFQ＝26°，
∵EF＝1.2米，
在Rt△PFQ中，QF＝QE﹣FE＝AB﹣FE＝0.5（米），
∴PQ＝QF•tan26°≈0.5×0.5＝0.25（米），
∴PH＝PQ+QH＝PQ+EC＝10.25（米），
∵PN⊥GF，∠FPQ＝64°，
∴∠NPH＝26°，
∴∠DPH＝52°，
在Rt△DPH中，DH＝tan52°•PH≈1.3×10.25≈13.3（米），
∴CD＝DH+CH＝13.3+1.7＝15（米），
答：楼房的高度CD约为15米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2020到2022这两年A型汽车年销售总量增加了69%，年销售单价下降了19%．
（1）设2020年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表：
年份
年销售A型汽车总量/万辆
年销售A型汽车单价/万元
年销售A型汽车总额/亿元
2020
a
b
ab
2022
1.69a
0.81b
1.3689ab
（2）该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率．
【解答】解：（1）2020年销售A型汽车总额为ab亿元，
2022年销售A型汽车总额为1.69a•0.81b＝1.3689ab（亿元），
故答案为：ab，1.3689ab；
（2）设该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率为x，
根据题意，得ab（1+x）2＝1.3689ab，
解得x1＝0.17＝17%，x2＝﹣2.17（舍去），
答：该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率为17%．
20．（10分）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB上一点，连接CE，CD．
（1）若∠DCA＝∠ECB，求证：CE⊥DB；
（2）在（1）的条件下，若AB＝6，DE＝5，求sin∠DBC．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠DCA＝∠ECB，∠CAD＝∠CBD，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴CE⊥BD；
（2）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠ABC，
∵∠D＝∠A，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∵AB＝6，DE＝5，
∴sin∠DBC＝＝＝．
六、（本大题满分12分）
21．（12分）在“双减”政策的落实中，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生每天的课后书面作业的时长（单位：分钟）情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生进行调查，整理数据（保留整数）得如下不完整的统计图表（作业时长用x分钟表示）：
A、B两所学校被抽取50名学生每天的课后书面作业的时长频数分布表
组别
50.5≤x＜60.5
60.5≤x＜70.5
70.5≤x＜80.5
80.5≤x＜90.5
90.5≤x＜100.5
A学校人数
5
a
18
8
4
B学校人数
7
10
b
17
4
A学校50名九年级学生中课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5的具体数据如下：
72，72，73，74，74，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，77，78，80．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）b＝ 12 ，补全频数分布直方图；
（2）A学校50名九年级学生课后书面作业时长的中位数是 75 ；
（3）依据国家政策，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包含90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有多少人？
【解答】解：（1）由题意知a＝50﹣（5+18+8+4）＝15，b＝50﹣（7+10+17+4）＝12，
补全直方图如下：
故答案为：12；
（2）学校50名九年级学生课后书面作业时长的中位数是第25、26个数据的平均数，而这两个数据分别为75、75，
所以学校50名九年级学生课后书面作业时长的中位数是＝75，
故答案为：75；
（3）1000×＝920（人），
答：估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包含90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有920人．
七、（本大题满分12分）
22．（12分）已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在边AB，AD上，△ECF是等边三角形．
（1）如图1，对角线AC交EF于点M，求证：∠BCE＝∠FCM；
（2）如图2，点N在AC上，且AN＝BE，若BC＝3，BE＝1，求MN的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵△ECF是等边三角形，
∴EC＝CF，∠ECF＝∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
在△CBE和△CAF中，
，
∴△CBE≌△CAF（SAS），
∴∠BCE＝∠FCM；
（2）解：连接FN，
由（1）知△ABC是等边三角形，BE＝AF，
∴∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠FAN＝∠BCA＝60°，
∵AN＝BE，
∴AN＝BE＝AF＝1，
∴△AFN是等边三角形，AE＝2，
∴BE＝AF＝FN，
在△AEF和△AFN中，
，
∴△AEF≌△AFN（SAS），
∴EF＝BN，
∴四边形BNFE是平行四边形，
∴EF∥BN，
∴＝＝，
∴1﹣MN＝，
∴MN＝．
八、本大题满分14分）
23．（14分）在平面直角坐标系中，点A（1，m），点B（3，n）在抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k上，设抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c）．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线的表达式；
（2）若c＜n＜m，求h的取值范围；
（3）连接OA，OB，AB，当k＝4，﹣2＜h＜2时，△AOB的面积是否有最大值，若有请求出最大值；若没有请说明理由．
【解答】解：（1）当c＝2时，C的坐标为（0，2），
∴﹣h2+k＝2①，
∵点A（1，m），点B（3，n）在抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k上，m＝n，
∴抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝＝2，
∴h＝2，
把h＝2代入①得k＝6，
∴y＝﹣（x﹣2）2+6＝﹣x2+4x+2，
∴当c＝2，m＝n时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+2；
（2）∵点A（1，m），点B（3，n）在抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k上，抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），
∴m＝﹣（1﹣h）2+k，n＝﹣（3﹣h）2+k，c＝﹣h2+k，
∵c＜n＜m，
∴﹣h2+k＜﹣（3﹣h）2+k＜﹣（1﹣h）2+k，
变形整理得0＜﹣9+6h＜﹣1+2h，
解得＜h＜2；
（3）△AOB的面积有最大值，理由如下：
过A作AD∥y轴交OB于D，如图：
∵点A（1，m），点B（3，n）在抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k上，k＝4，
∴m＝﹣（1﹣h）2+4＝﹣h2+2h+3，n＝﹣（3﹣h）2+4＝﹣h2+6h﹣5，
∴A（1，﹣h2+2h+3），B（3，﹣h2+6h﹣5），
∵﹣2＜h＜2，
∴B在A下方，
设直线OB解析式为y＝px，将B（3，﹣h2+6h﹣5）代入得：
3p＝﹣h2+6h﹣5，
解得p＝﹣h2+2h﹣，
∴直线OB解析式为y＝（﹣h2+2h﹣）x，
在y＝（﹣h2+2h﹣）x中，令x＝1得y＝﹣h2+2h﹣，
∴D（1，﹣h2+2h﹣），
∵B在A下方，
∴D在A下方，
∴AD＝﹣h2+2h+3﹣（﹣h2+2h﹣）＝﹣h2+，
∴S△AOB＝AD•|xB|＝×（﹣h2+）×3＝﹣h2+7，
∴当h＝0时，S△AOB取最大值，最大值为7，
∴AOB的面积有最大值，最大值是7．
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