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2022年广东省深圳市福田区中考数学质检试卷（4月份）
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这是一份2022年广东省深圳市福田区中考数学质检试卷（4月份），共24页。
2022年广东省深圳市福田区中考数学质检试卷（4月份）
一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计30分）
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
2．（3分）如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2022年北京冬奥，越来越多的北京市民加入到了志愿者队伍里去．据北京市冬奥会城市志愿者指挥部宣传教育组副组长王欣透露，全市实名注册志愿者人数突破449.3万人．其中449.3万用科学记数法表示为（ ）
A．44.93×105 B．4.493×106 C．4.493×107 D．0.4493×107
4．（3分）用不等式表示图中的解集，以下选项正确的是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
5．（3分）在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（ ）
A．95 B．90 C．85 D．80
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B．已知反比例函数，y随x的增大而减小
C．平分弦的直径垂直于弦
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
8．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC＝4，则S△DEF＝（ ）
A．9 B．12 C．16 D．36
9．（3分）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连结AC，BC，则sin∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（ ）
A．5 B．4 C． D．
二．填空题：（每小题3分，共计15分）
11．（3分）分解因式：2x2+4x+2＝ ．
12．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；
②作直线MN交BC于点D，连接AD，
若∠C＝28°，AB＝BD，则∠B的度数为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝ ．
15．（3分）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数的图象经过点A（6，8），且与边BC交于点D．若AB＝2BD，则点D的坐标为 ．
三．解答题：（16、17题各6分，18、19、20题各8分，21题9分，22题10分，共计55分）
16．（6分）计算：．
17．（6分）化简求值：，其中a＝2022．
18．（8分）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对春节联欢晚会中五类节目的喜欢情况，其中A：歌曲、B：舞蹈、C：魔术、D：小品、E：相声，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，m＝ ，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是 °；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢歌曲节目的学生大约有多少人？
19．（8分）如图，已知在⊙O中，，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
20．（8分）2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”成为了热销品，某合作商家准备推出钥匙扣和毛绒玩具两种“冰墩墩”商品．已知每个钥匙扣的单价比毛绒玩具低40元，销售50个钥匙扣与销售10个毛绒玩具的总价相同．
（1）求钥匙扣、毛绒玩具的单价．
（2）已知单个钥匙扣的成本为6元，单个毛绒玩具的成本是36元．第一阶段商家计划用不超过1260元的成本制作钥匙扣和毛绒玩具共60个进行销售，且钥匙扣的数量不高于毛绒玩具的2倍．则钥匙扣、毛绒玩具各销售多少个可获得最大利润？最大利润是多少？
21．（9分）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的左侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出点N的坐标．
2022年广东省深圳市福田区中考数学质检试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计30分）
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的倒数是．
故选：C．
【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（3分）如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】画出这个组合体的俯视图即可．
【解答】解：这个组合体的俯视图为：
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是正确判断的前提．
3．（3分）2022年北京冬奥，越来越多的北京市民加入到了志愿者队伍里去．据北京市冬奥会城市志愿者指挥部宣传教育组副组长王欣透露，全市实名注册志愿者人数突破449.3万人．其中449.3万用科学记数法表示为（ ）
A．44.93×105 B．4.493×106 C．4.493×107 D．0.4493×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：449.3万用科学记数法表示为4493000＝4.49×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）用不等式表示图中的解集，以下选项正确的是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．
【解答】解：由题意，得x≥1，
故选：C．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示，“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（ ）
A．95 B．90 C．85 D．80
【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
【解答】解：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90．
故选：B．
【点评】考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及立方根的性质分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A.无法合并，故此选项不合题意；
B.3，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.2，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了立方根的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B．已知反比例函数，y随x的增大而减小
C．平分弦的直径垂直于弦
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】根据线段垂直平分线的性质，反比例函数的增减性，垂径定理，菱形的判定即可选择．
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质，可知A选项符合题意；
∵k＝2＞0，
∴在每一象限内，反比例函数，y随x的增大而减小，
∴B选项不符合题意；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
∴C选项不符合题意；
根据菱形的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴D选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，垂直平分线的性质，垂径定理，菱形的判定定理等，熟练掌握已学定理是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC＝4，则S△DEF＝（ ）
A．9 B．12 C．16 D．36
【分析】根据位似变换的性质得到BC∥EF，得到△OBC∽△OEF，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴，
∴（）2，
∵S△ABC＝4，
∴S△DEF＝36，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9．（3分）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连结AC，BC，则sin∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题目中的抛物线，可以求得点A、点B和点C的坐标，然后即可得到sin∠ABC的值．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，该抛物线的顶点坐标为C（﹣1，4），
若点B的坐标为（1，0），则
sin∠ABC，
若点B的坐标为（﹣3，0），则
sin∠ABC，
综上，sin∠ABC．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和锐角三角函数的知识解答．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（ ）
A．5 B．4 C． D．
【分析】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．由DP＝PD′，推出PD+PF＝PD′+PF，又EF＝EA＝1是定值，即可推出当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝ED′﹣EF．
【解答】解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．
∵DE＝3，DD′＝4，
∴ED′，
∵DP＝PD′，
∴PD+PF＝PD′+PF，
∵EF＝EA＝1是定值，
∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝5﹣1＝4，
∴PF+PD的最小值为4，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
二．填空题：（每小题3分，共计15分）
11．（3分）分解因式：2x2+4x+2＝ 2（x+1）2 ．
【分析】根据提公因式，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：原式＝2（x2+2x+1）＝2（x+1）2，
故答案为：2（x+1）2．
【点评】本题考查了因式分解，先提取公因式2，再利用和的平方公式．
12．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 1 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4m＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＝4﹣4m＝0，
解得：m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；
②作直线MN交BC于点D，连接AD，
若∠C＝28°，AB＝BD，则∠B的度数为 68° ．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出AD＝DC，再利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，
∵∠C＝28°，
∴∠DAC＝28°，
∴∠ADB＝56°，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝56°，
∴∠B＝180°﹣56°﹣56°＝68°．
故答案为：68°．
【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝ ．
【分析】作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，则BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，根据平行线的性质得出∠ECA＝∠CAO，根据题意得出∠BCE＝∠CAO，通过解直角三角形得到tan∠CAOtan∠BCE，即可得到，解得即可．
【解答】解：作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∵点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，则E（0，n），D（3，0），
∴BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，
∵CE∥OA，
∴∠ECA＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCE＝∠CAO，
在Rt△CAD中，tan∠CAO，在Rt△CBE中，tan∠BCE，
∴，即，
解得n，
故答案为．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，平行线的性质，解直角三角形等，证明∠BCE＝∠CAO，得出是解题的关键．
15．（3分）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数的图象经过点A（6，8），且与边BC交于点D．若AB＝2BD，则点D的坐标为 （14，） ．
【分析】先连接AD并延长，交x轴于E，通过证得△ABD∽△ECD，得出CE＝2CD，进而得到点E的坐标，根据待定系数法求得直线AE的解析式，再解方程组即可得到点D的坐标；
【解答】解：如图，连接AD并延长，交x轴于E，
由点A（6，8），可得AO10，
∴BC＝10，
∵AB∥CE，
∴∠CED＝∠BAD，∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
∵AB＝2BD，
∴CE＝2CD，
∴AB+CE＝2（BD+CD）＝20，即OC+CE＝20，
∴OE＝20，
∴E（20，0），
由A（6，8），E（20，0），可得AE的解析式为yx，
∵反比例函数的图象经过点A（6，8），
∴k＝6×8＝48，
∴反比例函数的解析式为y，
解方程组，可得或，
∴点D的坐标为（14，）．
故答案为：（14，）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用．
三．解答题：（16、17题各6分，18、19、20题各8分，21题9分，22题10分，共计55分）
16．（6分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
17．（6分）化简求值：，其中a＝2022．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式•
•
•
，
当a＝2022时，
原式．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
18．（8分）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对春节联欢晚会中五类节目的喜欢情况，其中A：歌曲、B：舞蹈、C：魔术、D：小品、E：相声，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 300 ；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，m＝ 35 ，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是 18 °；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢歌曲节目的学生大约有多少人？
【分析】（1）从条形统计图中可得到B人数为60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%，可求出调查人数；
（2）总人数减去喜爱A、B、D、E类节目的人数，可得喜爱C类节目的人数，从而将扇形图补全；
（3）根据百分比＝所占人数÷总人数可得m的值；节目类型E对应的扇形圆心角的度数等于360°乘以节目类型E的百分比；
（4）利用样本估计总体的思想，用1800乘以样本中喜欢新闻类节目的学生百分比即可得出该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生人数．
【解答】解：（1）由条形图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%，
本次抽样调查的样本容量是：60÷20%＝300，
故答案为：300；
（2）喜爱C类节目的人数为：300﹣30﹣60﹣105﹣15＝90（人），
补全统计图如下：
（3）m%100%＝35%，故m＝35，
节目类型E对应的扇形圆心角的度数是：360°18°，
故答案为：35，18；
（4）该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生有：1800180（人）．
答：该校喜欢歌曲节目的学生大约有180人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（8分）如图，已知在⊙O中，，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB＝∠CBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE＝BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据得到BC＝CD，从而证明菱形．
【解答】证明：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，BD，设OC与BD相交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵，
∴BC＝CD，BF＝DF，
又∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF＝DF．
20．（8分）2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”成为了热销品，某合作商家准备推出钥匙扣和毛绒玩具两种“冰墩墩”商品．已知每个钥匙扣的单价比毛绒玩具低40元，销售50个钥匙扣与销售10个毛绒玩具的总价相同．
（1）求钥匙扣、毛绒玩具的单价．
（2）已知单个钥匙扣的成本为6元，单个毛绒玩具的成本是36元．第一阶段商家计划用不超过1260元的成本制作钥匙扣和毛绒玩具共60个进行销售，且钥匙扣的数量不高于毛绒玩具的2倍．则钥匙扣、毛绒玩具各销售多少个可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）设钥匙扣单价为x元，根据“销售50个钥匙扣与销售10个毛绒玩具的总价相同”列一元一次方程，求解即可；
（2）设钥匙扣销售m个，毛绒玩具销售（60﹣m）个获利最大，利润w元，根据题意列不等式组，求出m取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数增减性即可求出最大利润．
【解答】解：（1）设钥匙扣单价为x元，毛绒玩具单价为（40+x）元，
根据题意，得50x＝10（40+x），
解得x＝10，
∴40+x＝40+10＝50，
∴钥匙扣单价为10元，毛绒玩具单价为50元；
（2）设钥匙扣销售m个，毛绒玩具销售（60﹣m）个获利最大，利润w元，
由题意得：，
解得30≤m≤40，
w＝（10﹣6）m+（50﹣36）（60﹣m）＝4m+840﹣14m＝﹣10m+840，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝30时，利润最大，
此时钥匙扣销售30个，毛绒玩具销售60﹣30＝30个，
w最大＝﹣10×30+840＝540（元），
∴当钥匙扣销售30个，毛绒玩具销售30个时利润最大，最大利润为540元．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，根据题意建立关系式是解题的关键．
21．（9分）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．
【分析】（1）AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，又AD⊥BC，则∠ADB＝90°，则∠FAB与∠EBA互余，即可求解；
（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；
（3）证明△DBQ∽△ECN，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∠FAB与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图所示（答案不唯一），
四边形AFEB为所求；
（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，
∵DE＝2BE，
∴BD＝CD＝3BE，
∴CE＝CD+DE＝5BE，
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，
∴DM＝ME，
∴∠MDE＝∠MED，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DBQ∽△ECN，
∴，
∵QB＝3，
∴NC＝5，
∵AN＝CN，
∴AC＝2CN＝10，
∴AB＝AC＝10．
【点评】本题为四边形综合题，涉及到直角三角形中线定理、三角形相似等知识点，这种新定义类题目，通常按照题设顺序逐次求解，较为容易．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的左侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出点N的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法分别将D，E坐标代入即可；
（2）连接OP，过点P作PG⊥x轴于点G，作PH⊥y轴于点H，设点P的坐标为（m，m+2），则PGm+2，PH＝m，利用S四边形OBPF＝S△OPB+S△OPF，分别计算出S△OPB，S△OPF的面积，根据四边形OBPF的面积是，列出方程即可求解；
（3）利用轴对称的性质，过点A作AA'∥DE，使得，作点A'直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，得到点Q的运动路程最短时的路线；利用直线平行的性质和待定系数法分别求得直线A″P，A′M，AN的解析式，分别联立解方程组即可求得点N的坐标．
【解答】解：（1）设直线DE的表达式为y＝kx+c（k≠0）．
∵直线DE经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），
∴
解得：．
∴直线DE的表达式为y＝x﹣1；
将点D、E的坐标代入抛物线函数表达式得：
，
解得：，
故抛物线的表达式为：yx+2；
（2）连接OP，过点P作PG⊥x轴于点G，作PH⊥y轴于点H，如图，
当y＝0时，即：，
解得：x1＝﹣1，x2＝4．
∴B（4，0），A（﹣1，0）．
∴OB＝4．
∵F（0，1），
∴OF＝1．
设点P的坐标为（m，m+2），
∴PGm+2，PH＝m，
∴OB•PG4×（m+2）＝﹣m2+3m+4，
S△OPFOF•PH1×mm．
∴S四边形OBPF＝S△OPB+S△OPFm+4．
∵四边形OBPF的面积是，
∴，
解得：，m2＝1．
当时，；
当m＝1时，．
∴点P的坐标是或（1，3）．
（3）点N的坐标为（，）．理由：
∵点P在抛物线对称轴的左侧时，
∴点P（1，3）．
过点A作AA'∥DE，使得，作点A'直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，如图，
此时，点Q运动的路径最短，
∵，相当于向上、向左分别平移1个单位，
又∵A（﹣1，0），
∴点A'（0，1），
∵A′A″⊥DE，
∴直线A'A″过点A'（0，1），
∴直线A'A″表达式为：y＝﹣x+1，
由题意得：，
①﹣②得：2x﹣2＝0，
解得：x＝1，
∵﹣1+1＝0，
∴A'A″中点坐标为（1，0），
∴点A″（2，﹣1），
设直线A″P的表达式为y＝dx+e，
∴，
解得：．
∴直线A″P的表达式为：y＝﹣4x+7．
∴，
①﹣③得：5x﹣8＝0，
解得：，
∵，
∴点，
则直线A′M的解析式为yx+1．
由题意：A′M∥AN，
∴直线AN的解析式为yx．
∴，
解得：
∴N（，）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，二元方程组的解法，轴对称的性质和应用，直线平行的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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2022年广东省深圳市福田区中考数学质检试卷（4月份）
一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计30分）
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
2．（3分）如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2022年北京冬奥，越来越多的北京市民加入到了志愿者队伍里去．据北京市冬奥会城市志愿者指挥部宣传教育组副组长王欣透露，全市实名注册志愿者人数突破449.3万人．其中449.3万用科学记数法表示为（ ）
A．44.93×105 B．4.493×106 C．4.493×107 D．0.4493×107
4．（3分）用不等式表示图中的解集，以下选项正确的是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
5．（3分）在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（ ）
A．95 B．90 C．85 D．80
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B．已知反比例函数，y随x的增大而减小
C．平分弦的直径垂直于弦
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
8．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC＝4，则S△DEF＝（ ）
A．9 B．12 C．16 D．36
9．（3分）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连结AC，BC，则sin∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（ ）
A．5 B．4 C． D．
二．填空题：（每小题3分，共计15分）
11．（3分）分解因式：2x2+4x+2＝ ．
12．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；
②作直线MN交BC于点D，连接AD，
若∠C＝28°，AB＝BD，则∠B的度数为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝ ．
15．（3分）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数的图象经过点A（6，8），且与边BC交于点D．若AB＝2BD，则点D的坐标为 ．
三．解答题：（16、17题各6分，18、19、20题各8分，21题9分，22题10分，共计55分）
16．（6分）计算：．
17．（6分）化简求值：，其中a＝2022．
18．（8分）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对春节联欢晚会中五类节目的喜欢情况，其中A：歌曲、B：舞蹈、C：魔术、D：小品、E：相声，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，m＝ ，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是 °；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢歌曲节目的学生大约有多少人？
19．（8分）如图，已知在⊙O中，，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
20．（8分）2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”成为了热销品，某合作商家准备推出钥匙扣和毛绒玩具两种“冰墩墩”商品．已知每个钥匙扣的单价比毛绒玩具低40元，销售50个钥匙扣与销售10个毛绒玩具的总价相同．
（1）求钥匙扣、毛绒玩具的单价．
（2）已知单个钥匙扣的成本为6元，单个毛绒玩具的成本是36元．第一阶段商家计划用不超过1260元的成本制作钥匙扣和毛绒玩具共60个进行销售，且钥匙扣的数量不高于毛绒玩具的2倍．则钥匙扣、毛绒玩具各销售多少个可获得最大利润？最大利润是多少？
21．（9分）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的左侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出点N的坐标．
2022年广东省深圳市福田区中考数学质检试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计30分）
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的倒数是．
故选：C．
【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（3分）如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】画出这个组合体的俯视图即可．
【解答】解：这个组合体的俯视图为：
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是正确判断的前提．
3．（3分）2022年北京冬奥，越来越多的北京市民加入到了志愿者队伍里去．据北京市冬奥会城市志愿者指挥部宣传教育组副组长王欣透露，全市实名注册志愿者人数突破449.3万人．其中449.3万用科学记数法表示为（ ）
A．44.93×105 B．4.493×106 C．4.493×107 D．0.4493×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：449.3万用科学记数法表示为4493000＝4.49×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）用不等式表示图中的解集，以下选项正确的是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．
【解答】解：由题意，得x≥1，
故选：C．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示，“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（ ）
A．95 B．90 C．85 D．80
【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
【解答】解：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90．
故选：B．
【点评】考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及立方根的性质分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A.无法合并，故此选项不合题意；
B.3，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.2，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了立方根的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B．已知反比例函数，y随x的增大而减小
C．平分弦的直径垂直于弦
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】根据线段垂直平分线的性质，反比例函数的增减性，垂径定理，菱形的判定即可选择．
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质，可知A选项符合题意；
∵k＝2＞0，
∴在每一象限内，反比例函数，y随x的增大而减小，
∴B选项不符合题意；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
∴C选项不符合题意；
根据菱形的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴D选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，垂直平分线的性质，垂径定理，菱形的判定定理等，熟练掌握已学定理是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC＝4，则S△DEF＝（ ）
A．9 B．12 C．16 D．36
【分析】根据位似变换的性质得到BC∥EF，得到△OBC∽△OEF，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴，
∴（）2，
∵S△ABC＝4，
∴S△DEF＝36，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9．（3分）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连结AC，BC，则sin∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题目中的抛物线，可以求得点A、点B和点C的坐标，然后即可得到sin∠ABC的值．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，该抛物线的顶点坐标为C（﹣1，4），
若点B的坐标为（1，0），则
sin∠ABC，
若点B的坐标为（﹣3，0），则
sin∠ABC，
综上，sin∠ABC．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和锐角三角函数的知识解答．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（ ）
A．5 B．4 C． D．
【分析】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．由DP＝PD′，推出PD+PF＝PD′+PF，又EF＝EA＝1是定值，即可推出当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝ED′﹣EF．
【解答】解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．
∵DE＝3，DD′＝4，
∴ED′，
∵DP＝PD′，
∴PD+PF＝PD′+PF，
∵EF＝EA＝1是定值，
∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝5﹣1＝4，
∴PF+PD的最小值为4，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
二．填空题：（每小题3分，共计15分）
11．（3分）分解因式：2x2+4x+2＝ 2（x+1）2 ．
【分析】根据提公因式，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：原式＝2（x2+2x+1）＝2（x+1）2，
故答案为：2（x+1）2．
【点评】本题考查了因式分解，先提取公因式2，再利用和的平方公式．
12．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 1 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4m＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＝4﹣4m＝0，
解得：m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；
②作直线MN交BC于点D，连接AD，
若∠C＝28°，AB＝BD，则∠B的度数为 68° ．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出AD＝DC，再利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，
∵∠C＝28°，
∴∠DAC＝28°，
∴∠ADB＝56°，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝56°，
∴∠B＝180°﹣56°﹣56°＝68°．
故答案为：68°．
【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝ ．
【分析】作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，则BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，根据平行线的性质得出∠ECA＝∠CAO，根据题意得出∠BCE＝∠CAO，通过解直角三角形得到tan∠CAOtan∠BCE，即可得到，解得即可．
【解答】解：作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∵点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，则E（0，n），D（3，0），
∴BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，
∵CE∥OA，
∴∠ECA＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCE＝∠CAO，
在Rt△CAD中，tan∠CAO，在Rt△CBE中，tan∠BCE，
∴，即，
解得n，
故答案为．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，平行线的性质，解直角三角形等，证明∠BCE＝∠CAO，得出是解题的关键．
15．（3分）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数的图象经过点A（6，8），且与边BC交于点D．若AB＝2BD，则点D的坐标为 （14，） ．
【分析】先连接AD并延长，交x轴于E，通过证得△ABD∽△ECD，得出CE＝2CD，进而得到点E的坐标，根据待定系数法求得直线AE的解析式，再解方程组即可得到点D的坐标；
【解答】解：如图，连接AD并延长，交x轴于E，
由点A（6，8），可得AO10，
∴BC＝10，
∵AB∥CE，
∴∠CED＝∠BAD，∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
∵AB＝2BD，
∴CE＝2CD，
∴AB+CE＝2（BD+CD）＝20，即OC+CE＝20，
∴OE＝20，
∴E（20，0），
由A（6，8），E（20，0），可得AE的解析式为yx，
∵反比例函数的图象经过点A（6，8），
∴k＝6×8＝48，
∴反比例函数的解析式为y，
解方程组，可得或，
∴点D的坐标为（14，）．
故答案为：（14，）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用．
三．解答题：（16、17题各6分，18、19、20题各8分，21题9分，22题10分，共计55分）
16．（6分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
17．（6分）化简求值：，其中a＝2022．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式•
•
•
，
当a＝2022时，
原式．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
18．（8分）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对春节联欢晚会中五类节目的喜欢情况，其中A：歌曲、B：舞蹈、C：魔术、D：小品、E：相声，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 300 ；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，m＝ 35 ，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是 18 °；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢歌曲节目的学生大约有多少人？
【分析】（1）从条形统计图中可得到B人数为60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%，可求出调查人数；
（2）总人数减去喜爱A、B、D、E类节目的人数，可得喜爱C类节目的人数，从而将扇形图补全；
（3）根据百分比＝所占人数÷总人数可得m的值；节目类型E对应的扇形圆心角的度数等于360°乘以节目类型E的百分比；
（4）利用样本估计总体的思想，用1800乘以样本中喜欢新闻类节目的学生百分比即可得出该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生人数．
【解答】解：（1）由条形图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%，
本次抽样调查的样本容量是：60÷20%＝300，
故答案为：300；
（2）喜爱C类节目的人数为：300﹣30﹣60﹣105﹣15＝90（人），
补全统计图如下：
（3）m%100%＝35%，故m＝35，
节目类型E对应的扇形圆心角的度数是：360°18°，
故答案为：35，18；
（4）该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生有：1800180（人）．
答：该校喜欢歌曲节目的学生大约有180人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（8分）如图，已知在⊙O中，，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB＝∠CBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE＝BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据得到BC＝CD，从而证明菱形．
【解答】证明：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，BD，设OC与BD相交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵，
∴BC＝CD，BF＝DF，
又∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF＝DF．
20．（8分）2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”成为了热销品，某合作商家准备推出钥匙扣和毛绒玩具两种“冰墩墩”商品．已知每个钥匙扣的单价比毛绒玩具低40元，销售50个钥匙扣与销售10个毛绒玩具的总价相同．
（1）求钥匙扣、毛绒玩具的单价．
（2）已知单个钥匙扣的成本为6元，单个毛绒玩具的成本是36元．第一阶段商家计划用不超过1260元的成本制作钥匙扣和毛绒玩具共60个进行销售，且钥匙扣的数量不高于毛绒玩具的2倍．则钥匙扣、毛绒玩具各销售多少个可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）设钥匙扣单价为x元，根据“销售50个钥匙扣与销售10个毛绒玩具的总价相同”列一元一次方程，求解即可；
（2）设钥匙扣销售m个，毛绒玩具销售（60﹣m）个获利最大，利润w元，根据题意列不等式组，求出m取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数增减性即可求出最大利润．
【解答】解：（1）设钥匙扣单价为x元，毛绒玩具单价为（40+x）元，
根据题意，得50x＝10（40+x），
解得x＝10，
∴40+x＝40+10＝50，
∴钥匙扣单价为10元，毛绒玩具单价为50元；
（2）设钥匙扣销售m个，毛绒玩具销售（60﹣m）个获利最大，利润w元，
由题意得：，
解得30≤m≤40，
w＝（10﹣6）m+（50﹣36）（60﹣m）＝4m+840﹣14m＝﹣10m+840，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝30时，利润最大，
此时钥匙扣销售30个，毛绒玩具销售60﹣30＝30个，
w最大＝﹣10×30+840＝540（元），
∴当钥匙扣销售30个，毛绒玩具销售30个时利润最大，最大利润为540元．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，根据题意建立关系式是解题的关键．
21．（9分）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．
【分析】（1）AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，又AD⊥BC，则∠ADB＝90°，则∠FAB与∠EBA互余，即可求解；
（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；
（3）证明△DBQ∽△ECN，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∠FAB与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图所示（答案不唯一），
四边形AFEB为所求；
（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，
∵DE＝2BE，
∴BD＝CD＝3BE，
∴CE＝CD+DE＝5BE，
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，
∴DM＝ME，
∴∠MDE＝∠MED，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DBQ∽△ECN，
∴，
∵QB＝3，
∴NC＝5，
∵AN＝CN，
∴AC＝2CN＝10，
∴AB＝AC＝10．
【点评】本题为四边形综合题，涉及到直角三角形中线定理、三角形相似等知识点，这种新定义类题目，通常按照题设顺序逐次求解，较为容易．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的左侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出点N的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法分别将D，E坐标代入即可；
（2）连接OP，过点P作PG⊥x轴于点G，作PH⊥y轴于点H，设点P的坐标为（m，m+2），则PGm+2，PH＝m，利用S四边形OBPF＝S△OPB+S△OPF，分别计算出S△OPB，S△OPF的面积，根据四边形OBPF的面积是，列出方程即可求解；
（3）利用轴对称的性质，过点A作AA'∥DE，使得，作点A'直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，得到点Q的运动路程最短时的路线；利用直线平行的性质和待定系数法分别求得直线A″P，A′M，AN的解析式，分别联立解方程组即可求得点N的坐标．
【解答】解：（1）设直线DE的表达式为y＝kx+c（k≠0）．
∵直线DE经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），
∴
解得：．
∴直线DE的表达式为y＝x﹣1；
将点D、E的坐标代入抛物线函数表达式得：
，
解得：，
故抛物线的表达式为：yx+2；
（2）连接OP，过点P作PG⊥x轴于点G，作PH⊥y轴于点H，如图，
当y＝0时，即：，
解得：x1＝﹣1，x2＝4．
∴B（4，0），A（﹣1，0）．
∴OB＝4．
∵F（0，1），
∴OF＝1．
设点P的坐标为（m，m+2），
∴PGm+2，PH＝m，
∴OB•PG4×（m+2）＝﹣m2+3m+4，
S△OPFOF•PH1×mm．
∴S四边形OBPF＝S△OPB+S△OPFm+4．
∵四边形OBPF的面积是，
∴，
解得：，m2＝1．
当时，；
当m＝1时，．
∴点P的坐标是或（1，3）．
（3）点N的坐标为（，）．理由：
∵点P在抛物线对称轴的左侧时，
∴点P（1，3）．
过点A作AA'∥DE，使得，作点A'直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，如图，
此时，点Q运动的路径最短，
∵，相当于向上、向左分别平移1个单位，
又∵A（﹣1，0），
∴点A'（0，1），
∵A′A″⊥DE，
∴直线A'A″过点A'（0，1），
∴直线A'A″表达式为：y＝﹣x+1，
由题意得：，
①﹣②得：2x﹣2＝0，
解得：x＝1，
∵﹣1+1＝0，
∴A'A″中点坐标为（1，0），
∴点A″（2，﹣1），
设直线A″P的表达式为y＝dx+e，
∴，
解得：．
∴直线A″P的表达式为：y＝﹣4x+7．
∴，
①﹣③得：5x﹣8＝0，
解得：，
∵，
∴点，
则直线A′M的解析式为yx+1．
由题意：A′M∥AN，
∴直线AN的解析式为yx．
∴，
解得：
∴N（，）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，二元方程组的解法，轴对称的性质和应用，直线平行的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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