2022年广东省深圳市福田区中考数学二模试卷（含解析）

2022年广东省深圳市福田区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在，，，四个数中，负数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图的展开图中，能围成三棱柱的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列运算中，结果正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 学校歌咏比赛，共有位评委分别给出参赛选手的原始评分，评定参赛选手的成绩时，从个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到个有效评分．个有效评分与个原始评分相比，一定不变的特征数据是

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

5. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是

A.  B.  C.  D.

6. 化简的结果是

A.  B.  C.  D.

7. 为满足市场对新冠疫苗需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产万份疫苗，现在生产万份疫苗所需的时间与更新技术前生产万份疫苗所需时间相同，设更新技术前每天生产万份，依据题意，可得方程

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；作直线交于点，连接若，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其图象如图所示，以下结论正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在▱中，为延长线上一点，为上一点，若，，则的长是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 因式分解：______．
12. 在一个不透明的袋子中装有个红球和个蓝球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出红球的概率是______．
13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的顶点均在格点网格线的交点上，则的值为______．
    
    
     

14. 如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为，则的值为______．

15. 如图，是的直径，点是内的一定点，是内过点的一条弦，连接，，，若的半径为，，则的最大值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共55分）

16. 解不等式组：．
17. 线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度．
    将线段向左平移个单位长度，作出平移后的线段；
    再将线段绕点顺时针旋转后得到线段；
    观察线段和线段，它们是否关于某点成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标．

18. 因疫情防控工作需要，深圳市某学校为积极响应市政府加强防疫宣传的号召，组织了一次“疫情防控知识专题网上学习．并进行了一次全校名学生都参加的网上测试．阅卷后，教务处随机抽取了份答卷进行分析统计，发现这份答卷中考试成绩分的最低分为分，最高分为满分分，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：

填空：______，______，______；
将频数分布直方图补充完整；
在绘制的扇形统计图中，这一分数段对应的扇形，其圆心角的度数为______；
该校对成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为：：，请你估算全校获得二等奖的学生人数．

19. 如图，在中，，在上取点，以为圆心，为半径作圆，若该圆与相切于点，与相交于点异于点．
    求证：平分；
    若的长为，，求的半径．
    
     

20. 为了丰富员工的业余文化生活，深圳某公司购买了个篮球和个排球共花费元，已知购买一个篮球的价格比购买一个排球的价格多花元．
    求购买一个篮球和一个排球各需多少元？
    为了满足更多员工的业余文化生活的需求，该公司计划用不超过元的经费再次购买篮球和排球共个，若单价不变，则本次至少可以购买多少个排球？
21. 【综合与实践】如图，一个横断面呈抛物线状的公路隧道，其高度为米，宽度为米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘米米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于米．如图，以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，根据题中的信息回答下列问题：
    直接写出点的坐标是______，抛物线顶点的坐标是______；
    求出这条抛物线的函数表达式；
    根据题中的要求，可以确定通过隧道车辆的高度不能超过______米．

22. 【教材呈现】如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，点不与点重合，点不与点重合，则结是否成立______填“成立”或“不成立”；
    【类比引申】如图，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：∽；
    【拓展延伸】如图，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，，四个数中负数是．
故选：．
根据负数的定义可得出答案．
本题考查负数的定义，掌握负数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、根据图形判断是四棱锥展开图，不符合题意．
B、根据图形判断是圆柱展开图，不符合题意．
C、根据图形判断是圆锥展开图，不符合题意．
D、根据图形判断是三棱柱展开图，符合题意．
故选：．
棱柱的侧面都是长方形，根据棱柱展开图的特点即可判断．
本题考查展开图折叠成几何体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
 

3.【答案】

【解析】解：，此选项错误，不符合题意；
B.，此选项错误，不符合题意；
C.，此选项正确，符合题意；
D.，此选项错误，不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方法则，平方差公式，单项式乘法法则及单项式除以单项式法则逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方法则，平方差公式，单项式乘法法则及单项式除以单项式法则．
 

4.【答案】

【解析】解：根据题意，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分，个有效评分，与个原始评分相比，不变的特征数据是中位数．
故选：．
根据题意，由中位数、平均数、方差、众数的定义，判断即可．
本题考查中位数、平均数、方差、众数的定义，注意这几种数据特征的定义以及计算方法，属于基础题．
 

5.【答案】

【解析】解：关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
故在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质得出答案．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：

，
故选：．
把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

7.【答案】

【解析】解：设更新技术前每天生产万份疫苗，则更新技术后每天生产万份疫苗，
依题意得：，
故选：．
设更新技术前每天生产万份，则更新技术后每天生产万份疫苗，根据“现在生产万份疫苗所需的时间更新技术前生产万份疫苗所需时间”即可得出关于的分式方程．
本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
 

8.【答案】

【解析】解：由作法可得垂直平分，
，
，
，
，
，
，
即的度数为．
故选：．
利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，再根据三角形外角性质得到，然后利用等腰三角形的性质得到的度数．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
 

9.【答案】

【解析】解：由图象可知，函数与轴有两个不同的交点，
，即；
故A不正确；
B.顶点为，
函数的对称轴为，
当和当时的函数值相等，
与轴的一个交点在点和之间，
时，，
当时，，
，
故B不正确；
C.将点代入，得到，
又由函数的对称轴为，
，
，
，
，
故C正确；
D.由图象可知当时，，
即，
故D不正确，
故选：．
根据二次函数的对称性，顶点坐标逐项判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是正确判断的前提．
 

10.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
一，
或舍去，
的长是，
故选：．
由平行四边形的性质得出，，结合已知得出∽，利用相似三角形的性质结合题意求出的长度，即可得出的长度．
本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】解：共有球个，红球有个，因此摸出的球是红球的概率为：．
故答案为：．
利用概率公式求解即可．
本题主要考查概率的计算公式，记住概率的计算公式是解此类题型的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，连接格点、．
在中，
，，
；
故答案为：．
构造直角三角形，根据正切的定义计算得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：如图，过点作轴于，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数的几何意义可得答案．
本题考查反比例函数系数的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，连接，过点作交于点．
是的直径，
，
，
，
∽，
，
，
的半径为，
，
，
当点与点重合时，有最大值，
即时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
如图，连接，过点作交于点，根据圆周角定理得到，，则可判断∽，利用相似比得到，然后利用的最大值为，确定的最大值．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质．
 

16.【答案】解：由，得，
由，得，
所以不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：如图，线段为所求；

如图，线段为所求；
线段和线段关于点中心对称．

【解析】根据平移的性质即可将线段向左平移个单位长度，作出平移后的线段；
根据旋转的性质即可再将线段绕点顺时针旋转后得到线段；
结合、根据中心对称的性质即可解决问题．
本题考查了作图平移变换，中心对称，坐标与图形变化旋转，解决本题的关键是掌握平移的性质．
 

18.【答案】     

【解析】解：，
，
．
故答案为：，，；
如图，即为补充完整的频数分布直方图；

；
故答案为：；
人，
估算全校获得二等奖的学生人数约为人．
利用频数频率总数可得的值，再根据各组人数之和等于总数可得的值，再由频率的定义得出的值；
根据求出的数据补全频数分布直方图即可；
用即可得圆心角的度数；
利用全校名学生数考试成绩为考卷占抽取了的考卷数获得二等奖学生人数占获奖学生数即可得到结论；
本题考查的是频数分布直方图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．直方图能清楚地表示出每个项目的数据，也考查了利用样本估计总体的思想．
 

19.【答案】证明：连接，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
连接，

为的直径，
，
由得：，
，
，
，
，
的半径为．

【解析】连接，根据切线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形和平行线的性质即可证明平分；
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用的结论可得，从而求出的长，然后再利用勾股定理求出的长，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：设购买一个排球需要元，则购买一个篮球需要元，
依题意得：，
解得：，
．
答：购买一个篮球需要元，一个排球需要元．
设该学校购买个排球，则购买篮球个，
依题意得：，
解得：．
答：本次至少可以购买个排球．

【解析】设购买一个排球需要元，则购买一个篮球需要元，利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出购买一个排球所需费用，再将其代入中，即可求出购买一个篮球所需费用；
设该学校购买个排球，则购买篮球个，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】   

【解析】解：由题意可知：
点的坐标是，抛物线顶点的坐标；
故答案为：，．
顶点坐标；
设；
又图象经过，
；
这条抛物线的函数表达式为，即；
通过隧道车辆的高度不能超过米．
理由：以下图为例，由图可知，当车高一定时，空隙的最小值，在时取得，
此时，，
此时，，
由题意，，
所以，．
所以，通过隧道车辆的高度不能超过米．
故答案为：．
直接根据题意以及图形可知点，点的坐标．
根据图像假设函数表达式，进而根据待定系数法求解即可．
由图可知，当车高一定时，空隙的最小值，在时取得，将代入函数解析式中表示出，进而根据“最小空隙不少于米“可求解出答案．
本题考查了二次函数的实际应用，熟知二次函数的性质以及利用数形结合思想将图像与图形对应起来是解决本题的关键．
 

22.【答案】成立 

【解析】解：结论成立；
理由：和都是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：成立；

证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
∽；

解：如图，在上取一点，使，过作于，
在菱形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
菱形的边长为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先判断出，进而判断出，得出∽，即可得出结论；
判断出，即可得出结论；
在上取一点，使，过作于，先判断出，进而判断出，再判断出∽，得出，进而得出，即可求出答案．
此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，菱形的面积公式，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．