2023年广东省深圳市罗湖区中考模拟数学试题（5月）（含解析）

2023年广东省深圳市罗湖区中考模拟数学试题（5月）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数是（    ）

A． B． C． D．

2．下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是(   )

A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球

3．为了解某地一天内的气温变化情况，比较适合使用的统计图是（    ）

A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数分布直方图

4．港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，其中主体工程“海中桥隧”长达35.578公里，整个大桥造价超过720亿元人民币．数“720亿”用科学记数法可表示为(   )

A． B． C． D．

5．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C． D．

7．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2=70°，则∠1=（    ）

A．22° B．20° C．25° D．30°

8．下列事件中是不可能事件的是（    ）

A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

B．平分弦的直径垂直于弦

C．将抛物线平移可以得到抛物线

D．圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等

9．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）

A． B． C． D．

10．如图，为圆O的直径，C为圆O上一点，过点C作圆O的切线交的延长线于点D，，连接，若，则的长度为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．因式分解：_____

12．习近平总书记在党的二十大报告中强调：“青年强，则国家强”．小明同学将“青”“年”“强”“则”“国”“家”“强”这7个字，分别书写在大小、形状完全相同的7张卡片上，从中随机抽取一张，则这张卡片上恰好写着“强”字的概率是__________．

13．已知是方程的两个实数根，则的值为__________．

14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，B，点P在以为圆心，1为半径的上，Q是的中点，若长的最大值为，则k的值为___________．

15．如图，在锐角三角形中，，线段分别是边上的高线，连接，则三角形面积的最大值是__________．

三、解答题

16．

17．先化简，再求值：，其中，．

18．某校500名学生参加植树活动，要求每人植4~7棵，活动结束后随机调查了部分学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵，B：5棵，C：6棵，D：7棵．将各类的人数绘制成如下的扇形图和条形图．

(1)本次接受随机调查的学生人数为________，扇形图中m的值为________；

(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

(3)根据样本数据，估计这500名学生共植树多少棵．

19．“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同．

(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？

(2)学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于452根，请问有几种购买方案并指哪种方案学校花钱最少．

20．在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答：

(1)作图探究：

①下表是y与x的几组对应值：

___________，___________；

②在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：

(2)深入思考：

根据所作图象，回答下列问题：

①方程的解是___________；

②如果的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是___________；

(3)延伸思考：

将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程．

21．如图1，已知：内接于圆O，，连接并延长，交于点D．

(1)求证：

(2)如图2，过点B作于点E，交圆O于点F，交于点G，求证：；

(3)如图3，在（2）的条件下，连接DE，，，求DE的长．

22．如图，矩形的顶点分别在轴，轴上，点坐标是为边上一点，将矩形沿折叠，点落在轴上的点处，的延长线与轴相交于点

(1)如图，求点的坐标；

(2)如图，若是上一动点，交于交于，设，求与之间的函数关系式；

(3)在的条件下，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由

参考答案：

1．B

【分析】根据互为相反数的两个数的符号相反即可解答．

【详解】解：∵的相反数是，

故选．

【点睛】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．

2．C

【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从上面看到的图象是俯视图，再根据判断即可．

【详解】A选项：俯视图与主视图都是正方形，故不合题意；

B选项：俯视图与主视图都是长方形，故不合题意；

C选项：俯视图是圆，主视图是三角形；故符合题意；

D选项：俯视图与主视图都是圆，故不合题意；

故选：C．

【点睛】考查了立体图形的三视图，解题关键是理解：从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．

3．B

【分析】根据题意中的“变化情况”直接选择折线统计图．

【详解】为了解某地一天内的气温变化情况，

应选择的统计图是折线统计图，

故选：B．

【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，折线统计图，频数直方图的概念，根据实际选择合适的统计图，根据题意中的“变化情况”选择统计图是解题的关键．折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况不仅可以表示数量的多少，而且可以反映数据的增减变化情况．

4．C

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【详解】解：720亿=72000000000=7.2×1010．

故选C．

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．C

【分析】根据完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的乘除法则逐项判断即可．

【详解】A项，，故A项错误；

B项，，故B项错误；

C项，，故C项正确；

D项，，故D项错误；

故选：C．

【点睛】此题考查完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的乘除法则，解题关键在于掌握幂的乘方和同底数幂的乘除法则运算法则

6．D

【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．

【详解】解：，

由①得：x＞1，

由②得：x≤4，

不等式组的解集为：1＜x≤4，

故选：D．

【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确确定两个不等式的解集．

7．B

【分析】过F作FG∥AD，则FG∥BC，即可得到∠2=∠EFG=70°，再根据∠AFE=90°，即可得出∠AFG=90°-70°=20°，进而得到∠1=∠AFG=20°．

【详解】解：如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC，

∴∠2=∠EFG=70°，

又∵∠AFE=90°，

∴∠AFG=90°-70°=20°，

∴∠1=∠AFG=20°，

故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记平行线的性质是解题的关键．

8．C

【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可

【详解】解：A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，这是必然事件，故A不符合题意，

B．平分弦的直径垂直于弦，这是随机事件，故B不符合题意，

C．将抛物线平移可以得到抛物线，这是不可能事件，故C符合题意，

D． 圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这是必然事件，故D不符合题意，

故选：C．

【点睛】本题考查了垂径定理，随机事件，根的判别式，二次函数的几何变换，一元二次方程的定义，熟练掌握这些数学知识是解题关键

9．A

【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”分别列出两个方程，联立成方程组即可．

【详解】根据题意有

故选：A．

【点睛】本题主要考查列二元一次方程组，读懂题意找到等量关系是解题的关键．

10．C

【分析】根据，为圆O的直径可得，结合是圆O的切线即可得到，即可得到，根据勾股定理即可得到答案；

【详解】解：连接，，

∵，为圆O的直径，

∴，，

∵是圆O的切线，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，

，

故选C；

【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，解题的关键是求出．

11．

【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．

【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3），

故答案为：（a+3）（a-3）．

点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．

12．

【分析】根据概率公式计算即可．

【详解】解：根据7张卡片中，恰好写着“强”字的有两张，

∴从中随机抽取一张，则这张卡片上恰好写着“强”字的概率是．

【点睛】此题考查了简单概率计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．

13．0

【分析】由一元二次方程的解的定义并结合根与系数的关系，可得出，，将其代入所求式子计算即可．

【详解】解：∵是方程的两个实数根，

∴，即，，

∴．

故答案为：0．

【点睛】本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．

14．

【分析】连接，根据中位线定理可得长的最大值为，当过圆心C时，最长，过B作轴与D，设，则 根据勾股定理可得列出方程求出点B的坐标，代入反比例函数解析式即可求解．

【详解】解：连接，由对称性得：，

而Q是的中点，

∴

∵的长的最大值为，则长的最大值为，

如图所示：

当过圆心C时，最长，过B作轴与D，

，

，B在直线上，

设，则

在 中，由勾股定理得：

整理得：，

解得：（舍去），或，

∴ ，

∵B在反比例函数的图像上，

故答案为

【点睛】本题属于反比例函数与一次函数综合题，考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的中位线的性质，圆的基本性质等，综合性比较强，难度较大．

15．/

【分析】利用特殊角的三角函数值求得的度数，利用三角形的高的意义求得，利用含角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质定理得到，作出的外接圆，得出当点为优的中点时，边上的高最大，即的面积最大，此时，为等边三角形，利用等边三角形的性质求得的面积最大值，则结论可求．

【详解】解：，

，

分别是、边上的高线，

，

，

，

，

，

，

，

，

当面积最大时，三角形面积有最大值，

作出的外接圆，如图，

点为优弧上的点，且，

，

当点为优的中点时，边上的高最大，即的面积最大，此时，

为等边三角形，

的最大值，

三角形面积的最大值是，

故答案为．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，利用三角形的性质求得的面积的最大值是解题的关键．

16．

【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可．

【详解】原式

【点睛】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，正确计算是解题的关键．

17．；

【分析】根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．

【详解】解：

，

当，时，原式．

【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．

18．(1)20，30

(2)平均数，众数为5，中位数为5

(3)估计这500名学生共植树2650棵．

【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计图的信息计算即可得到答案；

（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可得到答案；

（3）根据样本植树的平均数乘以总人数即可得到答案．

【详解】（1）解：根据条形统计图，得到调查总人数为：（名），

根据扇形统计图得到；

故答案为：20，30；

（2）解：观察条形统计图，平均数，

∴这组数据的平均数是；

∵在这组样本数据中，5出现了8次，出现的次数最多，

∴这组样本数据的众数是5；

将这组样本数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是5，

∴这组样本数据的中位数是5；

（3）解：（棵），

答：估计这500名学生共植树2650棵．

【点睛】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的信息相关、平均数、众数和中位数的定义、用样本数据估计总体，能读懂统计图的信息是解题的关键．

19．(1)跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元

(2)共有3种方案，当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少

【分析】（1）根据题意列出分式方程进行计算即可；

（2）设购买跳绳a个，则购买毽子个，根据题意列出不等式组进行求解，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，求出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最小值即可．

【详解】（1）解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，

依题意，得：，解得：，

经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，

∴．

答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．

（2）解：设购买跳绳a个，则购买毽子个．

依题意，得：，解得：，

∵a为整数，

∴，共三种方案；

设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，

则，

∵，

∴w随a的增大而增大，

∴当时，w取得最小值，则，

答：共有3种方案，当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少．

【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及利用函数思想解决最值问题．根据题意，准确的列出分式方程和一元一次不等式组是解题的关键．

20．(1)① ；3；②图见解析

(2)① 或或；②  

(3)将函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到的图象

【分析】（1）①把与代入进行计算即可得到答案；② 先描点，再连线即可；

（2）①根据函数图象与轴交点的横坐标即可得到答案；② 根据函数图象可得答案；

（3）根据函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，可得答案.

【详解】（1）解：①当时，；

当时，；

答案为：；3；

②描点，连线，该函数的图象如图，

（2）①由函数图象可得方程的解是或或；

②根据的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是；

答案为：①或或；②；

（3）根据函数图象的平移规则可得：

将函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到的图象；

【点睛】本题考查的是求解函数的函数值，画二次函数的图象，二次函数与轴的交点坐标，二次函数图象的平移，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.

21．(1)见详解

(2)见详解

(3)

【分析】（1）连接、，证明是线段的垂直平分线，问题得证；

（2）先证明，进而证明，即可证明；

（3）连接，先求出，，再证明，得到，设，则，分别得到，，，证明，得到

，求出，从而得到，根据，即可求出．

【详解】（1）证明：如图，连接、，

∵，，

∴点都在线段的垂直平分线上，

∴是线段的垂直平分线，

∴；

（2）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（3）解：如图，连接，

∵，，

∴是线段的垂直平分线，，

∴，

∵是线段的垂直平分线，

∴．

∵，

∴．

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴．

设，则，

∴，

在中，，

∵，，

∴．

∵，，

∴，

∴，即，

∴，

整理得，

解得（不合题意，舍去），

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题为圆的综合题，考查了线段的垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用，直角三角形的性质等知识，综合性强，第（3）问难度较大，熟知相关性质，并根据题目中已知条件灵活应用是解题关键．

22．(1)；

(2)；

(3)点的坐标是或或

【分析】（1）设，则，再求出的长，在中，根据勾股定理求出a的值，即可求解；

（2）延长交于，则，先证明，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，可得，从而得到，进而得到，可证得，可得到，再证明，即可求解；

（3）分三种情况：当时；当时；当时，即可求解．

【详解】（1）解：在矩形中，，

，

设，则，

，

在中，，

，

在中，由勾股定理得：，

，

，

；

（2）解：如图，延长交于，则，

，

，

，

，

，

由（1）知：，

，又，

，

，

，

在中，由勾股定理得：，

，

，

，

，

，

平分，

，

，

，  

，

，

，

，

又，

，

，

，

，

，即，

；

（3）解：分三种情况：

当时，如图，

，

，

，

，即，

解得：，

，

；

当时，如图，过作于与的延长线交于点，

有，

，

，

，，

，

即，

，

，

，即，

解得：，

代入得：，

；

当时，如图，过点作于，

，

，

，

，

又，

，

，

，

代入得：，

；

综上，点的坐标是或或

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数，等腰三角形的性质和判定等知识，用分类讨论的数学思想和方程思想解决问题是解本题的关键．