第26讲 双星、多星模型（解析版）

第26讲 双星、多星模型

1．（重庆高考）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统．质量比约为7：1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的（　　）

A．轨道半径约为卡戎的 

B．角速度大小约为卡戎的 

C．线速度大小约为卡戎的7倍 

D．向心力大小约为卡戎的7倍

【解答】解：冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统。所以冥王星和卡戎周期是相等的，角速度也是相等的。

A、它们之间的万有引力提供各自的向心力得：mω2r＝Mω2R，质量比约为7：1，所以冥王星绕O点运动的轨道半径约为卡戎的．故A正确。

B、冥王星和卡戎周期是相等的，角速度也是相等的。故B错误

C、根据线速度v＝ωr得冥王星线速度大小约为卡戎的，故C错误

D、它们之间的万有引力提供各自的向心力，冥王星和卡戎向心力大小相等，故D错误

故选：A。

一.知识回顾

1．双星模型

(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。

(2)特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即

＝m1ωr1，

＝m2ωr2。

②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。

④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。

⑤双星的运动周期T＝2π。

⑥双星的总质量m1＋m2＝。

2．三星模型

(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。

(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。

(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。

①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。

3.四星模型：

(1)如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。

×2×cos 45°＋＝ma，

其中r＝ L。

四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

(2)如图所示，三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。

×2×cos 30°＋＝ma。

其中L＝2rcos 30°。

外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。

5.解题要诀：

(1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。

(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。

(3)星体的角速度相等。

(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。

6．多星模型的解题步骤

(1)明确各星体的几何位置，画出示意图；

(2)明确各星体的转动方式，找出各星体做圆周运动的共同的圆心位置，确定各星体运动的轨道半径；

(3)受力分析，确定每颗星体向心力的来源；

(4)抓住每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度相同这一特点，列式解题

二.例题精析

例1．我国天文学家通过“天眼”在武仙座球状星团M13中发现一个脉冲双星系统。如图所示，由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点各自做匀速圆周运动，经观测可知恒星B的运行周期为T。若恒星A的质量为m，恒星B的质量为2m，引力常量为G，则恒星A与O点间的距离为（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：两恒星绕O点做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，它们做匀速圆周运动的周期相等，

设A、B做圆周运动的轨道半径分别为rA、rB，设两恒星间的距离为L，则rA+rB＝L，

由牛顿第二定律得

解得：，故A正确，BCD错误。

故选：A。

（多选）例2．近年科学研究发现，在宇宙中，三恒星系统约占所有恒星系统的十分之一，可见此系统是一个比较常见且稳定的系统。在三恒星系统中存在这样一种运动形式：忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在平面内以相同角速度做匀速圆周运动。如图所示为A、B、C三颗星体质量mA、mB、mC大小不同时，星体运动轨迹的一般情况。设三颗星体在任意时刻受到的万有引力的合力大小分别为F1、F2、F3，加速度大小分别为a1、a2、a3，星体轨迹半径分别为RA、RB、RC，下列说法正确的是（　　）

A．若三颗星体质量关系有mA＝mB＝mC，则三颗星体运动轨迹圆为同一个 

B．若三颗星体运动轨迹半径关系有RA＜RB＜RC，则三颗星体质量大小关系为mA＜mB＜mC 

C．F1、F2、F3的矢量和一定为0，与星体质量无关 

D．a1、a2、a3的矢量和一定为0，与星体质量无关

【解答】解：A、若三个星体质量相等，则根据对称性可知，三个星体所受的万有引力大小均相同，在角速度都相等的情况下，轨迹半径也相等，故三颗星体运动轨迹圆为同一个，故A正确；

B、若三颗星体运动轨迹半径关系有RA＜RB＜RC，而因为三颗星体的角速度相等，则万有引力的大小关系为FA＜FB＜FC，根据对称性可知，mA＞mB＞mC，故B错误；

C、根据万有引力定律可知，F1＝FBA+FCA，同理可得：F2＝FAB+FCB；F3＝FAC+FBC。（此处的“+”号表示的是矢量的运算）则F1+F2+F3＝FBA+FCA+FAB+FCB+FAC+FBC＝0，而，当三颗星体的质量相等时，加速度的矢量和才等于0，故C正确，D错误；

故选：AC。

例3．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1：m2＝3：2．则可知（　　）

A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3：2 

B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3：2 

C．m1做圆周运动的半径为 

D．m2做圆周运动的半径为

【解答】解：设双星运行的角速度为ω，由于双星的周期相同，则它们的角速度也相同，则根据牛顿第二定律得：

   对m1：G①

   对m2：G②

由①：②得：r1：r2＝m2：m1＝2：3

又r2+r1＝L，得r1，r2

由v＝ωr，ω相同得：m1、m2做圆周运动的线速度之比为v1：v2＝r1：r2＝2：3。

故选：C。

三.举一反三，巩固练习

1. 2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RA＜RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2，忽略A与C之间的引力，万引力常量为G，则以下说法正确的是（　　）

A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量 

B．若A也有一颗运动周期为T2的卫星，则其轨道半径大于C的轨道半径 

C．恒星B的质量为 

D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则

【解答】解：A．C绕B做匀速圆周运动，满足

故无法求出C的质量，故A错误；

B．因为A、B为双星系统，满足

又因为RA＜RB，所以MA＞MB，设A卫星质量为m，根据

可知，A的卫星轨道半径大于C的轨道半径，故B正确；

C．因为A、B为双星系统，所以相互之间的引力提供运动所需的向心力，即

可得

故C错误；

D．A、B、C三星由图示位置到再次共线应满足

解得

故D错误。

故选：B。

2. （多选）经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1：m2＝3：2．则下列结论不正确的是（　　）

A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3：2 

B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为1：1 

C．m1做圆周运动的半径为L 

D．m2做圆周运动的半径为L

【解答】解：双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有：

。

则。

因为r1+r2＝L，则，。

根据v＝rω，知v1：v2＝r1：r2＝2：3．故BCD正确，A错误。

本题选择不正确的

故选：BCD。

3. 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在形式之一是：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每个星体的质量均为M，则（　　）

A．环绕星运动的线速度为 

B．环绕星运动的线速度为 

C．环绕星动的周期为运T＝2π 

D．环绕星运动的周期为T＝4π

【解答】解：对某一个环绕星：

解得：v，T＝4

故ABC错误，D正确。

故选：D。

4. （多选）2012年7月26日，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中（　　）

A．它们做圆周运动的万有引力保持不变 

B．它们做圆周运动的角速度不变 

C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大 

D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小

【解答】解：A、设体积较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，体积大的星体质量为m2，轨道半径为r2．双星间的距离为L．转移的质量为△m。

则它们之间的万有引力为F＝G，根据数学知识得知，随着△m的增大，F先增大后减小。故A错误。

B、对m1：G（m1+△m）ω2r1①

   对m2：G（m2﹣△m）ω2r2②

由①②得：ω，总质量m1+m2不变，两者距离L不变，则角速度ω不变。故B正确。

C、D、由②得：ω2r2，ω、L、m1均不变，△m增大，则r2 增大，即体积较大星体圆周运动轨迹半径变大。

由v＝ωr2得线速度v也增大。故C正确。D错误。

故选：BC。

5. 美国科学家通过射电望远镜观察到宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行．设每个星体的质量均为M，忽略其它星体对它们的引力作用，则（　　）

A．环绕星运动的周期为T＝2π 

B．环绕星运动的周期为T＝2π 

C．环绕星运动的线速度为 

D．环绕星运动的角速度为

【解答】解：对某一个环绕星，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：

GGMMRω2＝MR

解得：

v，ω，T＝4π。

故ABD错误，C正确。

故选：C。

6. 经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1：m2＝3：2．则可知（　　）

A．m1：m2做圆周运动的角速度之比为2：3 

B．m1：m2做圆周运动的线速度之比为3：2 

C．m1做圆周运动的半径为 

D．m2做圆周运动的半径为

【解答】解：A、双星系统具有相同的角速度。故A错误。

B、双星靠相互间的万有引力提供向心力，则向心力的大小相等，则有：，

解得：，所以m1做圆周运动的半径为，m2做圆周运动的半径为。

根据v＝rω知，m1：m2做圆周运动的线速度之比为2：3．故B、D错误，C正确。

故选：C。

10．在地月系统中，若忽略其它天体的影响，可将地球和月球看成双星系统，即地球和月球在彼此引力作用下做匀速圆周运动．科学探测表明，月球上蕴藏着极其丰富的矿物质，设想人类开发月球，月球上的矿藏被不断地搬运到地球上．假设经过长时间开采后，地球和月球仍可以看作均匀球体，地球和月球之间的距离保持不变，则（　　）

A．地球与月球之间的引力增大 

B．地球与月球之间的引力减小 

C．月球运动的周期增大 

D．月球运动的周期减小

【解答】解：

A、B、设月球质量为m，地球质量为M，月球与地球之间的距离为r，根据万有引力定律得地球与月球间的万有引力：F，由于不断把月球上的矿藏搬运到地球上，所以m减小，M增大。由数学知识可知，当m与M相接近时，它们之间的万有引力较大，当它们的质量之差逐渐增大时，m与M的乘积将减小，它们之间的万有引力值将减小，故A错误、B正确。

C、D、设地球质量为 M，月球质量为 m，

地球做圆周运动的半径为 r1，月球做圆周运动的半径为 r2，则：

地月间距离 r＝r1+r2①

对于地球 有：GM②

对于月球 有：Gm③

可得双星系统的周期 T＝2π

由于地月总质量M+m不变，所以地球、月球运动的周期不变。故CD错

故选：B。

7. 经过观察，科学家在宇宙中发现了许多孤立的双星系统．若双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距为L（远大于星体半径），它们正绕两者连线的中点做圆周运动．

①试计算双星系统中的运动周期T计算；

②若实际观察到的运动周期为T观测，且T观测：T计算＝1：（N＞1），为了解释T观测与T计算的不同，目前理论认为，宇宙中可能存在观察不到的暗物质，假定有一部分暗物质对双星运动产生影响，该部分物质的作用等效于暗物质集中在双星的连线的中点，试证明暗物质的质量M′与星体的质量M之比为M′：M＝N：4．

【解答】解：（1）以双星系统中任一星球为研究对象，根据牛顿第二定律得

得到

（2）设暗物质的总质量为m，由牛顿第二定律得

解得：

故：

若：T观测：T计算＝1：（N＞1），则：即：M′：M＝N：4．

答：（1）该双星系统的运动周期

    （2）略

8. 我们知道在一个恒星体系中，各个恒星绕着该恒星的运转半径r及运转周期T之间，一般存在以下关系：，K的值由中心的恒星的质量决定．现在，天文学家又发现了相互绕转的三颗恒星，可以将其称为三星系统．如图所示，假设三颗恒星质量相同，均为m，间距也相同．它们仅在彼此的引力作用下围绕着三星系统的中心点O做匀速圆周运动，运动轨迹完全相同．它们自身的大小与它们之间的距离相比，自身的大小可以忽略．请你通过计算定量说明：三星系统的运转半径的立方与运转周期的平方的比值应为多少．（万有引力常量G）

【解答】解：设三星系统的运转半径为r，运转周期为T，两个天体之间的距离为2rcos30°

对三星系统中的任意一颗恒星有：

解得．

答：三星系统的运转半径的立方与运转周期的平方的比值应为．