2023届高考一轮复习（老高考）第五章 微专题35　双星或多星模型【解析版】

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各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2，其中r1＋r2＝L.2.“双星问题”的隐含条件是两者受到的向心力相等，周期相等，角速度相同；双星轨道半径与质量成反比.3.多星问题中，每颗星体做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力的合力提供，即F合＝meq \f(v2,r)，以此列向心力方程进行求解．
1.(2022·江苏省如东高级中学高三月考)如图所示，两恒星A、B构成双星体，在万有引力的作用下绕连线上的O点做匀速圆周运动，在观测站上观察该双星的运动，测得该双星的运动周期为T，已知两颗恒星A、B间距为d，引力常量为G，则可推算出双星的总质量为( )
A.eq \f(π2d3,GT2) B.eq \f(4π2d3,GT2)
C.eq \f(π2d2,GT2) D.eq \f(4π2d2,GT2)
答案 B
解析 双星系统，角速度相同，两颗恒星A、B间的万有引力为彼此的向心力，因此对A：Geq \f(mAmB,d2)＝mAeq \f(4π2rA,T2)；对B：Geq \f(mAmB,d2)＝mBeq \f(4π2rB,T2)，其中rA＋rB＝d，m总＝mA＋mB，联立解得m总＝eq \f(4π2d3,GT2)，故选B.
2．地球刚诞生时自转周期约为8小时，因为受到月球潮汐的影响，地球自转在持续减速，现在地球自转周期是24小时．与此同时，地月间的距离不断增加．若将地球和月球视为一个孤立的双星系统，两者绕其连线上的某一点O做匀速圆周运动，地球和月球的质量与大小均保持不变，则在地球自转减速的过程中( )
A．地球的第一宇宙速度不断减小
B．地球赤道处的重力加速度不断增大
C．地球、月球匀速圆周运动的周期不断减小
D．地球的轨道半径与月球的轨道半径之比不断增大
答案 B
解析 根据Geq \f(M地m,R\\al(2,地))＝meq \f(v2,R地)，解得地球的第一宇宙速度为v＝eq \r(\f(GM地,R地))，地球的质量和半径不变，则第一宇宙速度不变，A错误；在赤道处，根据Geq \f(M地m,R\\al(2,地))－mg＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T自转)))2R地，则随着地球自转周期的变大，地球赤道处的重力加速度g不断增大，B正确；根据地月系统Geq \f(M地M月,L2)＝M地eq \f(4π2,T2)r1＝M月eq \f(4π2,T2)r2，解得G(M地＋M月)＝eq \f(4π2L3,T2)，eq \f(r1,r2)＝eq \f(M月,M地)，因为地球和月球的质量保持不变，地月间的距离L不断增大，可知地球、月球匀速圆周运动的周期不断增大，地球的轨道半径与月球的轨道半径之比不变，C、D错误．
3．2017年8月28日，中科院南极天文中心的巡天望远镜观测到一个由双中子星构成的孤立双星系统产生的引力波．该双星系统以引力波的形式向外辐射能量，使得圆周运动的周期T极其缓慢地减小，双中子星的质量m1与m2均不变，则下列关于该双星系统变化的说法正确的是( )
A．双星间的距离逐渐增大
B．双星间的万有引力逐渐增大
C．双星的线速度逐渐减小
D．双星系统的引力势能逐渐增大
答案 B
解析 根据万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得F＝eq \f(Gm1m2,L2)＝m1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r1＝m2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r2＝m1eq \f(v\\al(12),r1)＝m2eq \f(v\\al(22),r2)，其中L＝r1＋r2，解得周期T＝eq \r(\f(4π2L3,Gm1＋m2))，由于周期极其缓慢地减小，则双星间的距离L减小，万有引力逐渐增大，故A错误，B正确；在双星间的距离减小的过程中，万有引力对双星做正功，则双星系统的引力势能逐渐减小，故D错误；由上式解得v1＝eq \r(\f(Gm\\al(22),m1＋m2L))，v2＝eq \r(\f(Gm\\al(12),m1＋m2L))，可知双星间的距离L减小，双星各自的线速度增大，故C错误．
4.如图所示，假设在宇宙中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RAA．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．若A也有一颗运行周期为T2的卫星，则其轨道半径大于C的轨道半径
C．B的质量为eq \f(4π2RA＋RB3,GT\\al(12))
D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则t＝eq \f(T1T2,T1＋T2)
答案 B
解析 C绕B做匀速圆周运动，满足eq \f(GMBmC,R\\al(C2))＝mCeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T2)))2RC，故无法求出C的质量，A错误；因为A、B为双星系统，满足MAeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T1)))2RA＝MBeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T1)))2RB，又因为RAMB，设A的卫星质量为m，根据eq \f(GMAm,R2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T2)))2R可知，A的卫星轨道半径大于C的轨道半径，B正确；因为A、B为双星系统，所以A、B之间的引力提供运动所需的向心力，即eq \f(GMAMB,RA＋RB2)＝
MAeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T1)))2RA，可得MB＝eq \f(4π2RARA＋RB2,GT\\al(12))，C错误；A、B、C三星由图示位置到再次共线应满足eq \f(2π,T1)t＋eq \f(2π,T2)t＝π，解得t＝eq \f(T1T2,2T1＋T2)，D错误．
5．由三个星体构成的系统，叫作三星系统．有这样一种简单的三星系统，质量刚好都相同的三个星体甲、乙、丙在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动．若三个星体的质量均为m，三角形的边长为a，万有引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．三个星体做圆周运动的半径均为a
B．三个星体做圆周运动的周期均为2πa eq \r(\f(a,3Gm))
C．三个星体做圆周运动的线速度大小均为 eq \r(\f(3Gm,a))
D．三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为eq \f(3Gm,a2)
答案 B
解析 质量相等的三星系统的位置关系构成一等边三角形，其中心O即为它们的共同圆心，
由几何关系可知三个星体做圆周运动的半径r＝eq \f(\r(3),3)a，故选项A错误；每个星体受到的另外两星体的万有引力的合力提供向心力，其大小F＝eq \r(3)·eq \f(Gm2,a2)，则eq \f(\r(3)Gm2,a2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝2πaeq \r(\f(a,3Gm))，故选项B正确；由线速度公式v＝eq \f(2πr,T)得v＝ eq \r(\f(Gm,a))，故选项C错误；向心加速度a＝eq \f(F,m)＝eq \f(\r(3)Gm,a2)，故选项D错误．
6．在某科学报告中指出，在距离我们大约1 600光年的范围内，存在一个四星系统．假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．四星系统的形式如图所示，三颗星体位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星体刚好位于三角形的中心不动．设每颗星体的质量均为m，引力常量为G，则( )
A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与m无关
B．三星的总动能为Ek＝eq \f(3\r(3)＋1Gm2,2L)
C．若四颗星体的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的2倍
D．若距离L不变，四颗星体的质量m均变为2m，则角速度变为原来的2倍
答案 B
解析 位于等边三角形三个顶点上的每颗星体的轨道半径为r＝eq \f(\r(3)L,3)，另外三颗星体对它万有引力的合力F＝Geq \f(m2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)L))2)＋2Geq \f(m2,L2)cs 30°＝eq \f(3＋\r(3)Gm2,L2)，由eq \f(3＋\r(3)Gm2,L2)＝ma，解得a＝eq \f(3＋\r(3)Gm,L2)，向心加速度大小与质量有关，选项A错误；由eq \f(3＋\r(3)Gm2,L2)＝meq \f(v2,r)，得Ek1＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(\r(3)＋1Gm2,2L)，解得总动能Ek＝eq \f(3\r(3)＋1Gm2,2L)，选项B正确；由eq \f(3＋\r(3)Gm2,L2)＝m·eq \f(\r(3)L,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，解得T＝2πeq \r(\f(L3,3＋3\r(3)Gm))，若距离L变为原来的2倍，则周期变为原来的2eq \r(2)倍；若每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的eq \f(\r(2),2)，即角速度变为原来的eq \r(2)，选项C、D错误．
7．(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统．若某个四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，忽略其他星体对它们的引力作用，忽略星体自转，则可能存在如下运动形式：四颗星分别位于边长为L的正方形的四个顶点上(L远大于R)，在相互之间的万有引力作用下，绕某一共同的圆心做角速度相同的圆周运动．已知引力常量为G，则关于此四星系统，下列说法正确的是( )
A．四颗星做圆周运动的轨道半径均为eq \f(L,2)
B．四颗星表面的重力加速度均为Geq \f(m,R2)
C．四颗星做圆周运动的向心力大小为eq \f(Gm2,L2)(2eq \r(2)＋1)
D．四颗星做圆周运动的角速度均为 eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))
答案 BD
解析 任一颗星体在其他三颗星体的万有引力的作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径均为r＝eq \f(\r(2),2)L，故A错误；星体表面的物体受到的万有引力等于它受到的重力，即Geq \f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq \f(Gm,R2)，故B正确；由万有引力定律可得四颗星做圆周运动的向心力大小为Fn＝Geq \f(m2,\r(2)L2)＋2Geq \f(m2,L2)cs 45°＝eq \f(Gm2,L2)(eq \f(1,2)＋eq \r(2))，选项C错误；由牛顿第二定律得Fn＝eq \f(Gm2,L2)(eq \f(1,2)＋eq \r(2))＝mω2(eq \f(\r(2),2)L)，解得ω＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))，故D正确．