6-3双星和多星模型（解析版）--2024高考一轮物理复习100考点100讲

2024年高考一轮复习100考点100讲

第6章   万有引力与航天

第6.3 讲  双星与多星系统

【知识点精讲】

1．双星模型

双星运动模型是指在天体运行中，两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星。双星模型是天体运动的一种，在宇宙中普遍存在。

双星模型特点：

（1）两颗星做匀速圆周运动的向心力：由它们之间的万有引力提供，等大反向，属一对作用力和反作用力。

（2）两颗星做匀速圆周运动的周期、角速度相等，线速度与绕行半径成正比。

（3）两颗星做匀速圆周运动的半径与该星的质量成反比。

2．多星模型

(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．

(2)三星模型：

①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图10甲所示)．

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

 (3)四星模型：

①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．

②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．

【方法归纳】

.对如图所示的双星系统

双星各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即

＝m1ω12r1，＝m2ω22r2

两颗星的周期及角速度都相同，即，T1＝T2，ω1＝ω2

两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L

联立解得两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.

双星的运动周期T＝2π

双星的总质量m1＋m2＝

【最新高考题精练】

1. (2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)

A．质量之积   B．质量之和

C．速率之和   D．各自的自转角速度

【参考答案】　BC

【名师解析】　两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示

每秒转动12圈，角速度已知

中子星运动时，由万有引力提供向心力得

＝m1ω2r1①

＝m2ω2r2②

l＝r1＋r2③

由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，

质量之和可以估算．

由线速度与角速度的关系v＝ωr得

v1＝ωr1④

v2＝ωr2⑤

由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．

质量之积和各自自转的角速度无法求解．

2．（2015·安徽）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图6示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

（1）A星体所受合力大小FA；

（2）B星体所受合力大小FB；

（3）C星体的轨道半径RC；

（4）三星体做圆周运动的周期T。

【名师解析】 （1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体的引力大小为：

FBA=G = G= FCA。方向如图4J。

则合力的大小为：FA=2FBA cos30°=2 G。

（2）同上，B星体所受A、C星体的引力大小分别为：

FAB=G = G， FCB= G = G。方向如图。

FBx= FAB cos60°+FCB=2 G。

FBy= FAB sin60°=G。

则合力的大小为：FB= = G。

（3）通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，RC= =a。

（4）三星体运动周期相同，对C星体，由FC= FB= G=mRC

解得：T=π 。

【最新模拟题精练】

1. （2023福建厦门四模）我国天文学家通过“天眼”在武仙座球状星团中发现一个由白矮星P、脉冲星Q组成的双星系统．如图所示，P、Q绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，忽略其他天体对P、Q的影响．已知P的轨道半径大于Q的轨道半径，P、Q的总质量为M，距离为L，运动周期均为T，则（    ）．

A. P的质量小于Q的质量 B. P的线速度小于Q的线速度

C. P受到的引力小于Q受到的引力 D. 若总质量M恒定，则L越大，T越大

【参考答案】AD

【名师解析】

．P受到的引力与Q受到的引力为相互作用力，大小相等；设P的质量为，Q的质量为，由万有引力提供向心力可得

，

可得

由于P的轨道半径大于Q的轨道半径，可知P的质量小于Q的质量，故A正确，C错误；

根据

由于P的轨道半径大于Q的轨道半径，可知P的线速度大于Q的线速度，故B错误；

根据由万有引力提供向心力可得

，

可得

若总质量M恒定，则L越大，T越大，故D正确。

2、（2023北京鲁迅中学质检） “双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

A．B星球的轨道半径为

B．A星球运行的周期为

C．A星球和B星球的线速度大小之比为m1：m2

D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零

【参考答案】、B

【名师解析】
由于两星球的周期相同，则它们的角速度也相同，设两星球运行的角速度为，根据牛顿第二定律，对A星球有：

对B星球有

得

又，得，，故A错误；

根据 ，

解得周期，B正确；

A星球和B星球的线速度大小之比，C错误；

O点处的质点受到B星球的万有引力

受到A星球的万有引力，故质点受到两星球的引力之和不为零，故D错误。

3.  （2023福建漳州三模）厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱，发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为2:1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，研究成果于2022年9月22日发表在《自然·天文》期刊上。则此中子星绕O点运动的（　　）

A. 角速度大于红矮星的角速度

B. 轨道半径小于红矮星的轨道半径

C. 向心力大小约为红矮星的2倍

D. 线速度小于红矮星的线速度

【参考答案】BD

【名师解析】

双星系统中，由于两星在相同时间内转过的角度相等，则双星系统的角速度相等，即中子星绕O点运动的角速度等于红矮星的角速度，A错误；

根据，

解得

即星体质量越大，轨道半径越小，根据题意中子星质量大，可知，中子星绕O点运动的轨道半径小于红矮星的轨道半径，B正确；

双星系统中，有星体之间的万有引力提供向心力，可知，中子星绕O点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小，C错误；

根据，根据上述，双星系统角速度相等，中子星的轨道半径小一些，则中子星绕O点运动的线速度小于红矮星的线速度，D正确。

4. （2023河南洛阳等4市三模）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，质量为M的地球和质量为m的月球运动情况如图所示。地球和月球在相互引力的作用下都绕某一定点O做匀速圆周运动，且两者的中心和O三点始终共线，两者始终分别在O点的两侧，测得月球做圆周运动的周期为T1。但我们在平常近似处理问题时，常常认为月球是绕地球中心做匀速圆周运动的；这种情况下得到月球绕地球中心做圆周运动的周期为T2。则下列关系正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【参考答案】D

【名师解析】

设月球到O点的距离为，地球到O点的距离为；月球绕O点做匀速圆周运动时，有

地球绕O点做匀速圆周运动时，有

联立可得

若认为月球是绕地球中心做匀速圆周运动，则有

可得

联立可得，故选D。

5. （2023河北九师联盟质检）“双星”是宇宙中普遍存在的一种天体系统，这种系统之所以稳定的原因之一是系统的总动量守恒且总动量为0，如图所示，A、B两颗恒星构成双星系统，绕共同的圆心O互相环绕做匀速圆周运动，距离不变，角速度相等，已知A的动量大小为p，A、B的总质量为M，A、B轨道半径之比为k，则B的动能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【参考答案】B

【名师解析】

设A、B的质量分别为、，轨道半径分别为、，相互间的万有引力充当向心力，则有

根据题意

综合解得

A、B组成系统总动量守恒且总动量为0，则B的动量大小与A的动量大小相等，即A的动量大小为p，则B的动能为，故选B。

6. （2023重庆信息联考卷3）如图所示是宇宙中存在的某三星系统，忽略其他星体的万有引力，三个星体A、B、C在边长为d的等边三角形的三个顶点上绕同一圆心O做匀速圆周运动。已知A、B、C的质量分别为2m、3m、3m，引力常量为G，则下列说法正确的是（    ）

A. 三个星体组成的系统动量守恒

B. A的周期小于B、C的周期

C. A所受万有引力的大小为

D. 若B的角速度为，则A与圆心O的距离为

【参考答案】AD

【名师解析】

该系统属于稳定的三星系统，三个星体的角速度、周期相同。动量大小不变，运动过程中总动量不变，A正确，B错误；

A所受万有引力的大小为，C错误；

若B的角速度为，则也A的角速度为，则根据

则A与圆心O的距离为

则A与圆心O的距离为，D正确。

7. (2023云南部分重点高中期中) 宇宙间存在一些离其他恒星较远的“三星系统”，如图所示，三颗质量均为M的恒星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗恒星的距离均为L，三颗星绕其中心O做匀速圆周运动。忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G，三颗恒星均可视为质点。求：

（1）每一颗恒星所受的万有引力的大小；

（2）每一颗恒星转动的角速度大小。

【参考答案】（1）；（2）

【名师解析】

（1）任意两颗恒星之间的万有引力大小

则任意一颗恒星所受合力大小

解得

（2）每颗恒星运动的轨道半径

根据万有引力提供向心力有

解得

8. 宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA<rB<rC.忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体 (　　)

A．线速度大小关系是vA>vB>vC

B．加速度大小关系是aA>aB>aC

C．质量大小关系是mA>mB>mC

D．所受万有引力合力的大小关系是FA＝FB＝FC

【参考答案】C

【名师解析】：三星体系中三颗星的角速度ω相同，轨道半径rA<rB<rC，由v＝rω可知vA<vB<vC，由a＝rω2可知aA<aB<aC，故A、B错误；设等边三角形ABC的边长为a，由题意可知三颗星受到万有引力的合力指向圆心O，有G>G，mA>mB，同理可知mB>mC，所以mA>mB>mC，故C正确；根据两个分力的角度一定时，两个力的大小越大，合力越大可知，FA>FB>FC，D错误．

9　[2021·河南南阳市联考](多选)为探测引力波，由中山大学领衔的“天琴计划”，将向太空发射三颗完全相同的卫星(SC1、SC2、SC3)，这三颗卫星构成一个等边三角形阵列，地球恰好处于该三角形的正中心，卫星将在以地球为中心、高度约为10万公里的轨道上运行，针对确定的引力波源进行引力波探测．如图所示，这三颗卫星在太空中的分列图类似乐器竖琴，故命名为“天琴计划”．已知地球同步卫星距离地面的高度约为36万公里．以下说法正确的是(　　)

A．三颗卫星具有相同大小的加速度

B．从每颗卫星上可以观察到地球上大于的表面

C．三颗卫星绕地球运动的周期一定小于地球的自转周期

D．若知道引力常量G及三颗卫星绕地球的运动周期T，则可估算出地球的密度

【参考答案】：ABC

【名师解析】根据G＝ma，可解得加速度a＝，由于三颗卫星到地球的距离相等，故绕地球运动的轨道半径r相等，则它们的加速度大小相等，选项A正确；由题图可知三颗卫星所组成的三角形的内角均为60°，则每颗卫星关于地球的张角小于60°，所覆盖地球的圆心角大于120°，故从每颗卫星上可以观察到地球上大于的表面，选项B正确；卫星运行时由万有引力提供向心力有G＝mr，解得周期T＝2π ，由于三颗卫星的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，故三颗卫星绕地球运动的周期小于地球同步卫星绕地球运动的周期，即小于地球的自转周期，选项C正确；若知道引力常量G及三颗卫星绕地球的运动周期T，根据G＝mr，解得M＝，由于地球的半径未知，不能计算地球的质量，也不能计算出地球的体积，故不能估算出地球的密度，选项D错误．

10  如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(　　)

A．三颗星的质量可能不相等

B．某颗星的质量为

C．它们的线速度大小均为

D．它们两两之间的万有引力大小为

【参考答案】　BD

【名师解析】　轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝＝l.根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则2Gcos 30°＝m··l，解得m＝，它们两两之间的万有引力F＝G＝G＝，A错误，B、D正确；线速度大小为v＝＝·＝，C错误．

11．如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则(　　)

A．A的质量一定大于B的质量 B．A的线速度一定大于B的线速度

C．L一定，M越大，T越大 D．M一定，L越大，T越大

【参考答案】　BD

【名师解析】　设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度相等，均为ω，根据万有引力定律可知：G＝mAω2RA，G＝mBω2RB，距离关系为：RA＋RB＝L，联立解得：＝，因为RA>RB，所以A的质量一定小于B的质量，故A错误；根据线速度与角速度的关系有：vA＝ωRA、vB＝ωRB，因为角速度相等，半径RA>RB，所以A的线速度大于B的线速度，故B正确；又因为T＝，联立可得周期为：T＝2π，所以总质量M一定，两星间距离L越大，周期T越大，故C错误，D正确．

12．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上，其中L远大于R.已知万有引力常量为G，忽略星体的自转，则关于四星系统，下列说法正确的是(　　)

A．四颗星做圆周运动的轨道半径为

B．四颗星做圆周运动的线速度均为

C．四颗星做圆周运动的周期均为2π

D．四颗星表面的重力加速度均为G

【参考答案】　CD

【名师解析】　如图所示，

四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径r＝L.取任一顶点上的星体为研究对象，它受到其他三个星体的万有引力的合力为F合＝G＋G.由F合＝F向＝m＝m，解得v＝，T＝2π，故A、B项错误，C项正确；对于在星体表面质量为m0的物体，受到的重力等于万有引力，则有m0g＝G，故g＝G，D项正确．

13. （2023北京育才中学三模）引力波探测于2017年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为T，P、Q两颗星的距离为l，P、Q两颗星的轨道半径之差为△r（P星的轨道半径大于Q星的轨道半径），引力常量为G，求：

(1)Q、P两颗星的线速度之差△v；

(2)Q、P两颗星的质量之差△m。

【参考答案】(1)；(2)

【名师解析】

 (1)星的线速度大小

星的线速度大小

则、两颗星的线速度大小之差为

(2)双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，

则有

解得

则、两颗星的质量差为

14.宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为L的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1；另一种形式是有三颗星位于边长为L的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．试求两种形式下，星体运动的周期之比T1/ T2．

【名师解析】第一种形式：四颗星稳定地分布在边长为L的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，每颗星做圆周运动的半径为L/2，

每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为F=G+2Gcos45°=，

由=m·L/2·,

解得：T1=2πL。

第二种形式：有三颗星位于边长为L的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，第四颗星刚好位于三角形的中心不动．轨道半径为r=L/3。

每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为

F=G+2Gcos30°=，

由= m·L/3·,

解得：T2=2πL。

星体运动的周期之比T1/ T2=。