专题11 圆的综合-【中考冲刺】2023年中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（安徽专用）

这是一份专题11 圆的综合-【中考冲刺】2023年中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（安徽专用），文件包含专题11圆的综合解析版docx、专题11圆的综合原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。

二轮复习【中考冲刺】2023年中考数学重要考点
名校模拟题分类汇编专题11
——圆的综合（安徽专用）
1．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角．已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．

(1)若AB为⊙O的直径，则 ______ ；
(2)若⊙O半径为1，AB=2，求∠APB的度数．
【答案】(1)90°
(2)或135°
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠APB的度数．
（2）连接OA、OB、AB.由勾股定理的逆定理，即可证得∠AOB=90°.然后由圆周角定理，即可求得答案．
【详解】（1）AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
故答案为：90°；
（2）连接OA、OB、AB.

∵⊙O的半径是1，
∴OA=OB=1.
又∵AB=2，
∴OA2+OB2=AB2，
由勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°.
若点P在优弧APB上,∠APB=12∠AOB=45°.
若点P在劣弧AB上,∠AP'B=180°-∠APB=180°-45°=135°.
∴或135°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆周角定理是解题的关键．

2．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，过点E作⊙O的切线，切点为点C，连接AC、BC，过点A作AD⊥EC交延长线于点D．

(1)求证：∠BCE=∠DAC．
(2)若BE=2，CE=4，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)245

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质以及圆周角定理可得∠ACO=∠BCE，然后根据平行线的判定与性质可得∠OCA=∠CAD，即可得证；
（2）设⊙O半径为r，则OC=r，，先利用勾股定理求出r，从而求出OE，OC，AE，然后证明△OCE∽△ADE，根据相似三角形的性质得出OCAD=OEAE，最后代入计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OC．

∵是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCB+∠BCE=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠BCE=∠OCA．
∵OC⊥ED，AD⊥ED，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴∠BCE=∠CAD；
（2）解：设⊙O半径为r，则OC=r，．
在Rt△OEC中，OC2+EC2=OE2，
∴r2+42=r+22，解得r=3，
∴OE=5，AE=8，OC=3．
∵OC∥AD，
∴△OCE∽△ADE，
∴OCAD=OEAE，即，
解得AD=245．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

3．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，△ABC内接于半圆O，AB为直径，ABC的平分线交AC于点F，交半圆O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．

求证：
(1)∠CAD=∠ABD；
(2)点P是线段的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据角平分线的概念得出∠CBD=∠ABD，根据圆周角得出∠CAD=∠CBD，再等量代换即可得证；
（2）根据直径所对的圆周角为90度及垂直的定义易证PD=PA，再根据等角的余角相等得出∠DFA=∠PDF，然后根据等角对等边即可得证．
【详解】（1）∵BD平分∠ABC
∴∠CBD=∠ABD
∵∠CAD与∠CBD都是CD所对的圆周角
∴∠CAD=∠CBD
∴∠CAD=∠ABD
（2）∵AB为直径
∴∠ADB=90°
又∵DE⊥AB
∴∠DEB=90°
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP
∴PD=PA
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADE=∠DAP
∴∠DFA=∠PDF
即∠PFD=∠PDF
∴PD=PF
∴PA=PF
即点P是线段的中点．
【点睛】本题考查了圆周角、等角的余角相等、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

4．（2023·安徽淮北·校联考一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O在边BC上，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于D，交BC于E，若CD=CA．

(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若AC=3，BC=62，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)7

【分析】连接OD，由等腰三角形的性质可证∠CAD=∠CDA，∠OBD=∠ODB，根据∠ACB=90°，可证∠CDA+∠ODB=90°，进而得，根据切线的判定可知CD是⊙O切线；
（2）利用勾股定理求出AB的长，根据cosA=AMAC=ACAB=13求出AM=1，进而可求出BD的长．
【详解】（1）如图，连接OD，

∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ACB=900，
∴∠CAD+∠OBD=90°，
∴∠CDA+∠ODB=90°，
∴，
∵OD是半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=32+622=9，
∵CA=CD，
∴AM=DM，
∵cosA=AMAC=ACAB=13，AC=3，
∴AM=1，，
∴BD=AB-AD=9-2=7．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形三线合一，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解答．

5．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接BD．

(1)过点A作于点F，过点B作BG⊥CD于点G，求证：DF=BG；
(2)若CB=CD，求证：AB⋅BD=2AC⋅BC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）先根据CD平分∠ACB求出AD=BD，再根据圆周角定理求出∠ADF=∠GBD，最后根据全等三角形的判定和性质证明；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，先求出∠BAC=∠CBH，再根据圆周角定理证明△ABC∽△BCH，最后根据相似三角形的性质证明即可．
【详解】（1）证明：如图，连接AD．

∵CD平分∠ACB，
∴，
∴AD=BD，
∴AD=BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即∠ADF+∠GDB=90°，
∵BG⊥CD于点G，
∴∠GDB+∠GBD=90°，
∴∠ADF=∠GBD．
又∠AFD=∠DGB=90°，AD=BD，
∴△ADF≌△DBG，
∴DF=BG．
（2）证明：如图，过点C作CH⊥BD于点H，则∠CHB=90°．

∵CB=CD，
∴BC=DC，，
∴∠BAC=∠CBH．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠CHB，
∴△ABC∽△BCH，
∴ABAC=BCBH=BC12BD=2BCBD，
∴AB⋅BD=2AC⋅BC．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．

6．（2023·安徽马鞍山·校考一模）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，CD是⊙O的直径CD=23，E是CD延长线上的一点，且AE=AC．

(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)求ED的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）首先连接OA，由∠B = 60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA =OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOE的度数，又由AE= AC，利用等边对等角，求得∠E，则可求得∠EAO = 90°,则可证得AP是圆O的切线；
（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC = 90°；然后利用直角三角形的性质与等腰三角形的判定定理，即可求得ED的长．
【详解】（1）连接OA．

∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠ACE=∠CAO=30°，
∴∠AOE=∠ACO+∠CAO=30°+30°=60°，
∵AE=AC，
∴∠E=∠ACE=30°，
∴∠OAE=90°，
∴，
又∵OA是半径
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD．
∵直径CD=23，
∴AO=OD=3，
∵∠EAO=90°，，
∴EO=2AO=23，
∴ED=EO-OD=23-3=3．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，此题难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．

7．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知AB是圆O直径，过圆上点C作CD⊥AB，垂足为点D．连结OC，过点B作BE∥OC，交圆O于点E，连结AE，CE，BD=1，AB=6．

(1)求证：△CDO∽△AEB．
(2)求sin∠ABE的值．
(3)求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)53
(3)30

【分析】（1）由题意和垂径定理可得∠AEB=∠ODC=90°，再由BE∥OC得到∠BOC=∠ABE即可证明结论；
（2）先根据题意求得OA、OB、OC OD、CD、AC的长，然后根据正弦的定义求得sin∠BOC，然后再根据∠BOC=∠ABE即可解答；
（3）连接OE并延长交圆O于点F，然后连接FC、AC、BC,即EF=AB=6，然后根据平行线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质证得△ADC∽△ECF，最后运用相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵AB是圆O直径
∴∠AEB=90°
∵CD⊥AB
∴∠ODC=90°
∴∠AEB=∠ODC=90°
∵BE∥OC
∴∠BOC=∠ABE
∴△CDO∽△AEB．
（2）解：∵AB=6
∴OA=OB=OC=3
∵BD=1，
∴OD=OB-BD=3-1=2,AD=AB-BD=5
∴CD=OC2-OD2=5，
∴sin∠BOC=CDOC=53
∵∠BOC=∠ABE
∴sin∠ABE = sin∠BOC=53．
（3）解：连接EO并延长交圆O于点F，然后连接FC、AC、BC，即EF=AB=6
∴∠ECF=90°,∠CAB=∠CEB
∴∠ADC=∠ECF=90°，
∴AC=AD2+DC2=30，
∵BE∥OC
∴∠OCE=∠CEB
∴∠CAB =∠OCE
∵OE=OC
∴∠OEC =∠OCE
∴∠CAB =∠OEC
∴△ADC∽△ECF
∴ECAD=EFAC ,即EC5=630，解得：EC=30．

【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．

8．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D ．

（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．
【答案】（1）见解析；（2）67.5°或72°
【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
【详解】（1）连接OA，如下图1所示：  

∵AB=AC，
∴ AB=AC ，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO=∠CAO．
∵OA=OB，
∴∠ABD=∠BAO，
∴∠BAC=2∠ABD．
（2）如图2中，延长AO交BC于H．  

①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DBC=2∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴8∠ABD=180°，
∴∠C=3∠ABD=67．5°．
②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，
∴10∠ABD=180°，
∴∠BCD=4∠ABD=72°．
③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述：∠C的值为67．5°或72°．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，注意分类讨论思想的应用．

9．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）如图，AB是⊙O的直径．四边形ABCD内接于⊙O，AD=CD，对角线AC与BD交于点E，在BD的延长线上取一点F，使，连接．

（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若AD=5，AC=8，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见详解；（2）256．
【分析】(1)证明是⊙O的切线，只需要证明FA垂直AB即可，即∠FAB=90°，由题
AD⊥EF,得到∠BAD+∠ABD=90°，由得∠FAD=∠EAD，又AD=CD则∠FAB=∠FAD+∠BAD=∠BAD+∠ABD=90°即可证出结论．
(2)连接DO，交AC于M，可得到OD垂直AC，在Rt△ADM中，利用勾股定理可求出DM长，在Rt△AOM中，设半径为r，利用勾股定理即可求出半径的值．
【详解】解：1证明：是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥EF,∠BAD+∠ABD=90°
又∵DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠FAD=∠EAD．
∵AD=CD，
∴∠FAD=∠EAD=∠ACD=∠ABD，
∴∠FAB=∠FAD+∠BAD=∠BAD+∠ABD=90°，
是⊙O的切线．
2如图，连接OD，交AC于M，

∵AD=CD，
∴AD=CD，
∴OD⊥AC,AM=CM=12AC=4，
∴AD=CD=5，
在RtΔDMC中，DM=CD2-CM2=3，
设⊙O的半径为r，
在RtΔAMO中，ME=r－3，
∴AO2=AM2+OM2，
r2=42+（r－3）2 ，
解得：r=256，
∴⊙O的半径为256．
【点睛】本题考查了圆的切线的证明，圆半径的求法，涉及到知识点有，垂径定理，圆周角定理，切线的判定定理等，解题关键在于熟练运用圆中相关定理，通过相关定理找出关系进行解答．

10．（2023·安徽合肥·校考一模）AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，P是半径OB上一点，PE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，D是EF的中点，连接CD，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连OD交BC于G，若G为OD的中点，AC＝6，求CE的长．

【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】（1）连接OC，欲证明CD是⊙O的切线只要证明OC⊥CD即可．
（2）想办法证明BA＝BE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵D是EF的中点，
∴DC＝DE，
∴∠E＝∠ECD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∵PE⊥AB，
∴∠APE＝90°，
∴∠E+∠A＝90°，
∴∠ACO+∠ECD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接BE，PC，OC．
∵∠OCD＝∠OPD＝90°，
∴O，P，D，C四点共圆，
∠COD＝∠CPD，
∵∠ECB＝∠EPB＝90°，
∴E，C，P，B四点共圆，
∴∠CPE＝∠CBE，
∴∠COD＝∠CBE，
∵∠OCD＝90°，OG＝GD，
∴CG＝GO＝GD，
∴∠COD＝∠OCG，
∵OC＝OB，
∴∠OCG＝∠OBC，
∴∠ABC＝∠CBE，
∵∠A+∠ABC＝90°，∠E+∠CBE＝90°，
∴∠A＝∠E，
∴BA＝BE，
∵BC⊥AE，
∴EC＝AE＝6．

【点睛】此题考查切线的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

11．（2023·安徽滁州·校考一模）如图1，已知AB是半圆O的直径，BC是半圆O的切线，OC平行于弦AD．

(1)连接BD，若BD=BC，求∠C的度数；
(2)如图2，过D作DE⊥AB于E，连接AC与DE交于点P，求证：PD=PE．
【答案】(1)∠C=30°
(2)见解析

【分析】（1）设DB,OC交于点E，根据AB是是半圆O的直径，OC平行于弦AD．得出OC⊥BD，则DE=EB，根据题意得出BD=BC，进而根据sinC=BEBC=BEBD=12，即可求解；
（2）先判定△ODC≌△OBC，然后根据切线的判定和性质以及平行线分线段成比例，可得DPCD=EPCD，从而得到DP=EP，即可得答案．
【详解】（1）解：∵AB是是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC平行于弦AD．
∴OC⊥BD
如图，设DB,OC交于点E，

∴DE=EB，
∵BD=BC，
∴
即sinC=BEBC=BEBD=12
∴∠C=30°
（2）解：连接CD,OD，如图所示，

∵OC∥AD
∴∠DOC=∠ADO，∠COB=∠DAO
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DOC=∠COB，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠ODC=∠OBC，
∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，
∴BC⊥OB，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线，
过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则FA⊥AB，

∵DE⊥AB，CB⊥AB，
∴FA∥DE∥CB，
FDFC=AEAB，
在△FAC中，∵DP∥FA，
DPFA=DCFC，DPDC=FAFC，
∵FA、FD是⊙O的切线，
∴FA=FD，
DPDC=FDFC，
在△ABC中，∵EP∥BC，
EPBC=AEAB，
∵CD、CB是⊙O的切线，
∴CB=CD， EPDC=AEAB，
DPCD=EPCD，
∴DP=EP．
【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，垂径定理，三角形的全等，切线的判定和性质以及平行线分线段成比例等知识，解题的关键是灵活运用切线的判定和性质以及平行线分线段成比例等知识．

12．（2023·安徽淮北·校联考一模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，且AC⊥BC，BD⊥AD．

(1)若∠DAB=∠CBA，求证：△ADE≌△BCE；
(2)求证：△CDE∽△BAE；
(3)若AC平分∠DAB，，，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)CE=2512

【分析】（1）由三角形内角和定理可以得出∠DAC=∠DBC，根据∠DAB-∠DAC=∠CBA-∠DBC可以得出∠CAB=∠DBA，由等角对等边可知，即可证明△ADE≌△BCEAAS；
（2）取AB的中点O，连接OC，OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC=OD=OA=OB，即可得出点A，B，C，D在以点O为圆心，以OA为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角相等得∠DCA=∠DBA，∠CDB=∠CAB，可证△CDE∽△BAE；
（3）根据同弧所对的圆周角相等得∠CBD=∠CAD，因为AC平分∠DAB，所以∠BAC=∠CAD，等量代换得∠CBD=∠BAC，根据同圆中，相等的圆周角所对的弦也相等可得CD=BC=5，继而求出AC的长，证明△BCE∽△ACB，可得CBCA=CECB，即可求出CE的长．
【详解】（1）解：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵∠AED=∠BEC，
∴∠DAC=∠DBC，
∵∠DAB=∠CBA，
∴∠DAB-∠DAC=∠CBA-∠DBC，
∴∠CAB=∠DBA，
∴，
∵在△ADE和△BCE中，
∠ADB=∠ACB∠AED=∠BECAE=BE，
∴△ADE≌△BCEAAS．
（2）解：取AB的中点O，连接OC，OD，
∵AC⊥BC，
∴OC=12AB=OA=OB，同理OD=12AB，
∴OC=OD=OA=OB，
∴点A，B，C，D在以点O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴∠DCA=∠DBA，∠CDB=∠CAB，
∴△CDE∽△BAE．

（3）解：由（2）点A，B，C，D在以点O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴∠CBD=∠CAD，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAC，
∵∠BAC=∠CAD，
∴CD=BC=5，
∴AC=AB2-BC2=132-52=12，
∵∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴CBCA=CECB，
∴CB2=CE⋅CA，
∴52=CE×12，
∴CE=2512．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等，熟练掌握相关知识点并根据题目得出点A，B，C，D在以点O为圆心，以OA为半径的圆上是解答本题的关键．

13．（2022·安徽马鞍山·统考二模）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）AF=EF

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAC=∠B，利用平行线证明∠ADF=∠B，利用圆的性质证明，再证明BD//CF,即可得到结论；
（2）如图，连接AE，利用平行线的性质及圆的基本性质∠AEF=∠B，再利用圆内接四边形的性质证明∠EAF=∠B，从而可得结论．
【详解】证明：（1），
∴∠BAC=∠B，
∵DF//BC，
，
又,
∴∠ADF=∠CFD,
∴BD//CF,
四边形DBCF是平行四边形．
（2）如图，连接AE
∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF
∴∠AEF=∠B
四边形是⊙O的内接四边形

∵BD//CF

∴∠EAF=∠B
∴∠AEF=∠EAF
∴AF=EF

【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．

14．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）如图，⊙O是以△ABC的边AC为直径的外接圆，∠ACB＝54°，如图所示，D为⊙O上与点B关于AC的对称点，F为劣弧BC上的一点，DF交AC于N点，BD交AC于M点．

(1)求∠DBC的度数；
(2)若F为弧BC的中点，求MNON．
【答案】(1)36°；
(2)12．

【分析】（1）利用对称的性质证明BD⊥AC，所以∠DBC与∠ACB互余，即可求出∠DBC；
（2）利用等弧所对的圆周角等于圆心角的一半和三角形内角和为180°，求出∠BDF、∠OBM的度数并证明其相等，再根据证明△BOM≌△DNM(ASA)，从而得到OM=NM，即可求出MNON=12．
【详解】（1）∵点B、点D关于AC对称，
∴BD⊥AC，
∴∠DBC+∠ACB=90°，
∵∠ACB=54°，
∴∠DBC=90°-54°=36°，
故∠DBC的度数为36°．
（2）连接OF，
∵点F是BC的中点，
∴∠BOF=∠COF=2∠BDF，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=54°，
∴∠OBM=∠OBC-∠DBC=54°-36°=18°，∠BOC=180°-2×54°=72°，
∴∠BOF=12∠BOC=12×72°=36°，
∴∠BDF=12∠BOF =12×36°=18°，
∴∠BDF=∠OBM，
∵点B、点D关于AC对称，
∴DM=BM，
∴在△BOM和△DNM中，
∠OBM=∠NDMBM=DM∠OMB=∠NMD
∴△BOM≌△DNM，
∴NM=OM，
∴MNON=MNOM+NM=12．


【点睛】本题考查了轴对称、圆和全等三角形，熟练利用对称点连线与对称轴垂直，圆心角与圆周角的关系以及全等三角形的判定能有效帮助解此题．

15．（2022·安徽·模拟预测）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为，E为BC上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE=FP．

（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，，求BG的长．
【答案】（1）见解析；（2）BG=2
【分析】（1）连接OE，证明OE⊥EF即可；
（2）由证得sinG=45，运用正弦的概念可得结论．
【详解】解：（1）证明：连接OE，如图，

∵OA=OE
∴∠OAE=∠OEA．
∵EF=PF，
∴∠EPF=∠PEF
∵∠APH=∠EPF，
∴∠APH=∠EPF，
∴∠AEF=∠APH．
∵CD⊥AB，
∴∠AHC=90°．
∴∠OAE+∠APH=90°．
∴∠OEA+∠AEF=90°
∴∠OEF=90°
∴OE⊥EF．
∵OE是⊙O的半径
∴EF是圆的切线，
（2）∵CD⊥AB
∴ΔFHG是直角三角形
∵
∴GHFG=35
设GH=3x，则FG=5x
由勾股定理得，FH=4x
由（1）得，ΔOEG是直角三角形
∴sinG=OEOG=FHFG=4x5x
∴OEOG=45，即OEOE+BG=45
∵OE=8
∴88+BG=45
解得，BG=2
【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．

16．（2022·安徽·模拟预测）图，△ACD是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，点B是⊙O上的一点，AB=CD，点E在AD的延长线上，射线EF经过点C，∠ECD=∠ACB．

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠E=45°，OE=42，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，由圆周角定理及等腰三角形的性质得出∠OCE=90°，则可得出答案；
（2）连接OB，证明是等腰直角三角形得出OC=4，再证明∠BOC=90°，根据S阴影=S扇形OBC-SΔOBC求解即可．
【详解】解：（1）证明：连接OC，

∵AB=CD，
∴∠ACB=∠CAD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠OCA=∠ECD，
∵∠ACD=∠OCA+∠OCD=90°，
∴∠ECD+∠OCD=90°，
即：∠OCE=90°，
∴OC⊥EF，
∵OC是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）连接OB，

∵OC⊥EF
∴∠OCE=90°，
∵∠E=45°，
∴∠E=∠COE=45°，
∴是等腰直角三角形
∵OE=42
∴OC=OEcos45°=4
∵AD是直径
∴∠ACD=90°
∴∠ECD=∠ACO
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC=12∠COD=22.5°
∴∠ECD=∠OAC
∵∠ECD=∠ACB
∴∠ACB=22.5°
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=45°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴∠BOC=90°
∴SΔOBC=12OBOC=8,S扇形OBC=90π×42360=4π
∴S阴影=S扇形OBC-SΔOBC=4π-8．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．

17．（2022·安徽·一模）如图1，CD是⊙O的弦，半径OA⊥CD，垂足为B，过点C作⊙O的切线l．

(1)若点E在⊙O上，且CE=CA，连接OE．
①连接AE，求证：AE∥l；
②如图2，若B是OA的中点，连接OD，求证：DE是⊙O的直径；
(2)如图3，过点B作，垂足为F，若⊙O的半径是4，求BC-BF的最大值．
【答案】(1)见解析；②见解析
(2)1

【分析】（1）①如图4，连接OC， 由 l是⊙O的切线，OC是半径，得到 OC⊥l，由CE=CA，得 ∠COE=∠COA证得 OE=OA，进一步得到OC⊥AE，即可得到结论；
② 如 图 5，连接OC，AD，由 B是OA的中点， OA⊥CD得到OD=AD，AD=AC，又由 OD=OA得△OAD是等边三角形，证得∠DOA=60°，所以 AD=AC=EC，所以∠DOA=∠AOC=∠EOC=60°，得到∠DOE=180°，即得到结论；
（2）如图6，连接OC，由  l是⊙O的切线，得 到 OC⊥l， 又由 可以证明OC∥BF，证得∠OCB=∠CBF，又由 ∠OBC=∠CFB=90°得△OCB∽△CBF，得到OCCB=CBBF，设BC=x，求得BF，得BC-BF=x-14x2=-14x-22+1，从而求得BC—BF的最大值．
【详解】（1）① 证明：如图4，连接OC   

∵  l是⊙O的切线，OC是半径，
∴ OC⊥l
∵ CE=CA
∴ ∠COE=∠COA
∵ OE=OA
∴ OC⊥AE
∴ AE∥l；
② 证明：如图5，连接OC，AD

∵ B是OA的中点， OA⊥CD
∴ OD=AD，AD=AC
又∵ OD=OA
∴ OD=AD=OA
∴ △OAD是等边三角形
∴ ∠DOA=60°
∵ AD=AC=EC
∴∠DOA=∠AOC=∠EOC=60°
∴ ∠DOE=180°
∴  DE是⊙O的直径；
（2）解：如图6，连接OC

∵  l是⊙O的切线，OC是半径，
∴OC⊥l
∵
∴OC∥BF
∴∠OCB=∠CBF
∵ ∠OBC=∠CFB=90°
∴ △OCB∽△CBF
∴ OCCB=CBBF
设BC=x，则BF=CB2OC=14x2
∴ BC-BF=x-14x2=-14x-22+1
当BC=x=2时，BC—BF有最大值1
∴BC-BF的最大值为1．
【点睛】本题以圆的知识为载体，考查了平行线的性质和判定、等边三角形、相似三角形、二次函数的最值等知识，综合性较强，灵活应用所学知识是解决此题的关键．

18．（2022·安徽·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，D是AB上的一点，C是⊙O上的一点，过点D作AB的垂线，与过点C的切线相交于点P，PD与AC相交于点E．
（1）求证：△PCE是等腰三角形；
（2）连接BC，若AD=OD，AE=258，BC=6，求PC的长．

【答案】（1）见解析；（2）6516
【分析】（1）根据垂直和切线的性质得到∠AED=∠PCA，然后根据对顶角相等得到∠AED=∠PEC，根据等角对等边即可证明；
（2）作OF⊥AC于点F，PG⊥AC于点G，连接OE，根据三角形中位线的性质得到OF的长，在Rt△OEF中应用勾股定理得到EF的长，进而得到CE的长，然后根据三角形相似的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵PD⊥AB，
∴∠DAE+∠AED=90°．
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA+∠OCA=90°．
∵OA=OC，
∴∠DAE=∠OCA．
∴∠AED=∠PCA，
∵∠AED=∠PEC，
∴∠PCA=∠PEC．
∴PC=PE，即△PCE是等腰三角形．
（2）作OF⊥AC于点F，PG⊥AC于点G，连接OE，

可得OF=12BC=3，OE=AE=258，
∴EF=OE2-OF2=78．
∴AF=4，AC=8．
∴AB=10，⊙O的半径为5．
∴CE=AC-AE=398．
∵∠PCE=∠PEC=∠AED =∠B
又∵∠PGC=∠ACB
∴△PCG∼△ABC
∴PCCG=ABBC．
∵CG=12CE=3916
∴PC=CGABBC=6516．
故答案为6516．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，三角形相似的性质，是几何部分的综合题，第（2）问关键是证明两个三角形相似．

19．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）如图，D是△ABC的边AC上的点，AB=AD，以AB为直径的⊙O分别交BD、AD于点E、F，若∠CBD=12∠CAB．

(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，AF=85，求CD的长
【答案】(1)见解析
(2)6

【分析】（1）根据等腰三角形的性质及∠CBD=12∠CAB得到AB⊥BC，再根据切线的判定即可；
（2）连接AF ，AE，根据圆周角定理的推论证∠AFB=90°，∠AEB=90°，再根据勾股定理分别求出BF，BD ，再进一步证△BEA∽△DGB得BADB=BEDG ，△CDG∼△CAB得，最终求得CD．
（1）
证明:设∠CBD=α，则∠CAB=2α，
∵AB=AD，
∴，
∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）
解：连接AF ，AE，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，则∠BFD=180°-∠AFB=90°，
∵AB=AD，AB=4，AF=85，
∴DF=125，
∴在Rt△ABF中，BF=AB2-AF2=4215，
则在Rt△DBF中BD=BF2+DF2=4305，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BE，
∵AB=AD，
∴E为BD的中点，∠BAE=12∠BAC，
则BE=12BD=2305
∵∠CBD=12∠CAB
∴∠CBD=∠BAE
又∵∠BEA=∠DGB
∴△BEA∽△DGB
∴BADB=BEDG，
即DG=BE⋅DBBA=2305×43054=125，
设CD=x，则CA=4+x
过D作DQ⊥BC，
∵BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴DG//AB，
∴△CDG∼△CAB，
∴，
∴xx+4=1254，解得x=6
即CD的长为6．
【点睛】本题考查了切线的判定，切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论等，解题关键是正确添加辅助线构造相似三角形．

20．（2022·安徽宿州·校考一模）已知A、C、D为⊙O上三点，且AD=CD．

(1)如图1，延长AD至点B，使BD=AD，连接CB．
①求证：△ABC为直角三角形；
②若⊙O的半径为4，，求BC的值；
(2)如图2，若∠ADC=90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，求证：QA2+2QD2=QC2．
【答案】(1)①见解析；②BC=254
(2)见解析

【分析】（1）①根据已知条件结合等边等角，三角形内角和定理可得∠ACB=90°，即可证明△ABC为直角三角形；；
②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH＝CH，设DH＝x，则OH＝4−x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC＝2DH；
（2）延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC＝∠DCA＝45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA＝∠E＝45°，则得△DQF为等腰直角三角形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2＝QF2＋CF2，QF2＝2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA＝FC，等量代换可得结论．
【详解】（1）①解：∵AD＝CD，BD＝AD，
∴DB＝DC．
∴∠DAC=∠DCA,∠DCB=∠DBC
∵∠BAC+∠ACB+∠B=180°
∴∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°
∴∠DCA+∠DCB=90°
即∠ACB=90°
∴△ABC为直角三角形；
②证明：连接OA，OD，如图，

∵AD＝CD，
∴AD=CD，
∴OD⊥AC且AH＝CH．
∵⊙O的半径为4，
∴OA＝OD＝4．
设DH＝x，则OH＝4−x，
∵AH2＝OA2−OH2，
AH2＝AD2−DH2，
∴52−x2＝42−（4−x）2．
解得：x＝258．
∴DH＝258．
由①知：BC⊥AC，
∵OD⊥AC，
∴OD∥BC．
∵AH＝CH，
∴BC＝2DH＝254．
（2）延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，如图，

∵∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°．
∴∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°．
∴∠QFC＝∠AFD＋∠DFC＝90°．
∴QC2＝QF2＋CF2．
∵△ADQ与△ADE关于AD对称，
∴∠DQA＝∠E＝45°，
∴∠DQA＝∠DFA＝45°，
∴DQ＝DF．
∴∠QDF＝180°−∠DQA−∠QFD＝90°．
∴DQ2＋DF2＝QF2．
即QF2＝2DQ2．
∵∠QDF＝∠ADC＝90°，
∴∠QDA＝∠CDF．
在△QDA和△FDC中，
∠QAD=∠DCF∠DQA=∠DFC=45°DA=DC，
∴△QDA≌△FDC（AAS）．
∴QA＝FC．
∴QC2＝2QD2＋QA2．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．