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专题07 规律探究-中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（安徽专用）
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这是一份专题07 规律探究-中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（安徽专用），文件包含专题07规律探究原卷版docx、专题07规律探究解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
——规律探究（安徽专用）
1．（2022·安徽芜湖·校考一模）如图．ΔABC的面积为1．分别取AC,BC两边的中点，则四边形A1ABB1的面积为34，再分别取的A1C,B1C中点A2,B2,A2C,B2C的中点A3,B3，依次取下去…．利用这一图形．计算出34+342+343+···+34n的值是（ ）
A．4n-1-14n-1B．4n-14nC．2n-12nD．2n-1-12n
【答案】B
【分析】由△CA1B1∽△CAB得出面积比等于相似比的平方，得出△CA1B1的面积为14，因此四边形A1ABB1的面积为1-14，以此类推．四边形的面积为14-142，142-143，⋯，根据规律求出式子的值．
【详解】∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，
且△ABC的面积为1，
∴△A1B1C的面积为1×14，
∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积-△A1B1C的面积=34=1-14，
∴四边形A2A1B1B2的面积=△A1B1C的面积-△A2B2C的面积=14-142=342，
…，
∴第n个四边形的面积14n-1-14n=34n，
故34+342+343+···+34n=(1-14)+(14-142)+⋯+(14n-1-14n)
=1-14n
=4n-14n．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型问题，三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
2．（2021·安徽合肥·统考二模）已知整数a1,a2,a3,a4,⋅⋅⋅，满足条件：a1=0,a2=-a1+1,a3=-a2+2,a4=-a3+3,⋅⋅⋅，依次类推a2021的值为（ ）
A．-1009B．-1010C．D．-2020
【答案】B
【分析】分别计算：a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7⋅⋅⋅，再由具体到一般总结出规律，再利用规律解题即可得到答案．
【详解】解：探究规律：
a1=0，
a2=-a1+1=-1，
a3=-a2+2=-1，
a4=-a3+3=-2，
a5=-a4+4=-2，
a6=-a5+5=-3，
a7=-a6+6=-3，
……，
总结规律：
当n是奇数时，结果等于-n-12；n是偶数时，结果等于-n2；
运用规律：
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是数字类的规律探究以及列代数式，掌握规律探究的基本方法是解题的关键．
3．（2023·安徽滁州·校考一模）观察以下等式：
第1个等式：14+1=22+14，第2个等式：49+1=43+19，
第3个等式：916+1=64+116，第4个等式：1625+1=85+125，
第5个等式：2536+1=106+136，……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)3649+1=147+149
(2)n2n+12+1=2nn+1+1n+12
【分析】（1）寻找规律，能求出第6个等式．
（2）猜想的第n个等式为：n2n+12+1=2nn+1+1n+12．利用分式运算进行证明即可．
【详解】（1）第6个等式：3649+1=147+149；
（2）猜想的第n个等式为：n2n+12+1=2nn+1+1n+12
证明如下：
左边=n2n+12+1=n2+n+12n+12=2n2+2n+1n+12，
右边=2nn+1+1n+12=2nn+1n+12+1n+12=2n2+2n+1n+12，
左边=右边
∴n2n+12+1=2nn+1+1n+12
【点睛】本题考查简单的归纳推理、数学归纳法等基础知识，还考查分式的加法运算，是中档题．
4．（2023·安徽合肥·统考一模）观察下列等式的规律，解答下列问题：
第1个等式：12+22+32=3×22+2．
第2个等式：22+32+42=3×32+2
第3个等式：32+42+52=3×42+2．
第4个等式：42+52+62=3×52+2．
……
(1)请你写出第5个等式：________．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)52+62+72=3×62+2
(2)n2+n+12+n+22=3n+12+2，证明见解析
【分析】（1）根据题干所给的等式可直接进行求解；
（2）根据题干所给的等式找出一般规律，然后问题可求解．
【详解】（1）解：52+62+72=3×62+2；
故答案为52+62+72=3×62+2．
（2）解：猜想的第n个等式：n2+n+12+n+22=3n+12+2．
证明：左边=n2+n2+2n+1+n2+4n+4=3n2+6n+5，
右边=3n2+2n+1+2=3n2+6n+5，
∴左边＝右边，
∴猜想成立．
【点睛】本题主要考查代数式的规律问题，解题的关键是得到等式的一般规律．
5．（2022·安徽马鞍山·校考一模）观察下列由黑点组成的图形
图1中黑点个数为1，
图2中黑点个数为2+3+4=9，
图3中黑点个数为3+4+5+6+7=25，
图4中黑点个数为4+5+6+7+8+9+10=49
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)图5中黑点个数对应的等式为： ；
(2)写出你猜想图n中黑点个数对应的等式： ．（用含n的等式表示）；
(3)根据找到的规律，利用其证明（2）的结论．
【答案】(1)5+6+7+8+9+10+11+12+13=81
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题中的式子找规律，代入求解；
（2）根据题中的式子，猜想结论；
（3）把左边求值，化为右边的结论．
【详解】（1）解：2+3+4=32=9
3+4+5+6+7=52=25
4+5+6+7+8+9+10=72=49
图5中黑点个数对应的等式为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=92=81，
故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81；
（2）解：2+3+4=32=9
3+4+5+6+7=52=25
4+5+6+7+8+9+10=72=49
图n中黑点个数对应的等式为：
故答案为：．
（3）左边
＝右边，
所以．
【点睛】本题考查了图形的变化规律以及整式的运算，找到变化规律是解题的关键．
6．（2022·安徽合肥·校考二模）观察下列关于自然数的等式：
3×1×2=1×2×3-0×1×2，①
3×2×3=2×3×4-1×2×3，②
3×3×4=3×4×5-2×3×4，③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：3×4×5= ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；
(3)根据你发现的规律，可知1×2+2×3+3×4+…+99×100= ．（直接写出结果即可）
【答案】(1)4×5×6-3×4×5
(2)第n个等式为：3×n×(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)，验证见解析
(3)333300
【分析】（1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，相同点每个式子第一个都是3，不同点在于第二个就是序号数字，第三个是序号数字加1，根据此即可解出此题．
（2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：3×n×(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)，对等式右边进行整理即可求证；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字，
所以第四个式子右边应该是：3×4×5=4×5×6-3×4×5；
故答案为：4×5×6-3×4×5；
（2）由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为3，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加1，
再由（1）可知，第n个式子应该就是：3×n×(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)；
等式右边=(n+1)(n2+2n-n2+n)=3n(n+1)=左边，
所以猜想正确；
（3）1×2+2×3+3×4+…+99×100
=13×(3×1×2+3×2×3+3×3×4+…+3×99×100)
=13×(1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+99×100×101-98×99×100)
=13×99×100×101
=333300，
故答案为：333300．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
7．（2023·安徽马鞍山·校考一模）已知实数a1，a2，…，an，，（其中n是正整数）满足：
a1=131×2×3=2a1+a2=132×3×4=8a1+a2+a3=133×4×5=+a2++an-1=13n-1nn+1a1+a2++an-1+an=13nn+1n+2
(1)求a3的值；
(2)求an的值（用含n的代数式表示）；
(3)求2022a1+2022a2+2022a3+…+2022a2021的值．
【答案】(1)a3=12
(2)an=nn+1
(3)2021
【分析】（1）根据题目中的式子可以计算出a3的值；
（2）根据题目的式子，可以用含n的代数式表示an的值；
（3）根据（2）中的结果，可以计算出所求式子的值．
【详解】（1）解：∵，a1+a2+a3=20，
∴a1+a2+a3-a1+a2=20-8=12，
∴a3=12；
（2）解：an=13a1+a2+a3+…+an-13a1+a2+a3+…+an﹣1
=13nn+1n+2-13n-1⋅n⋅n+1
=13nn+1n+2-n-1
，
即an=nn+1；
（3）解：∵an=nn+1，
∴2022a1+2022a2+2022a3+…+2022a2021
=2022×11×2+12×3+13×4+⋯+12021×2022
=2022×1-12+12-13+13-14+⋯+12021-12022
=2022×1-12022
=2022×20212022
．
【点睛】本题考查数字类变化规律探究、列代数式并求值，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，并灵活运用求出所求式子的值．
8．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）观察下列等式：第1个等式：22-3×1-1=12-1；第2个等式：32-3×2-1=22-2；第3个等式：42-3×3-1=32-3；第4个等式：52-3×4-1=42-4；……；根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明；
【答案】(1)62-3×5-1=52-5
(2)n+12-3n-1=n2-n，证明见解析
【分析】（1）根据题目中等式的特点，写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，写出猜想，再将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【详解】（1）62-3×5-1=52-5
（2）n+12-3n-1=n2-n
证明：左边=n+12-3n-1=n2+2n+1-3n-1=n2-n=右边，故等式成立．
【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，了解等式的特点，是解题关键．
9．（2023·安徽宿州·统考一模）观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．
(1)第4个图形对应的等式为______．
(2)若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．
【答案】(1)1+2+3+4+5=5×1+52
(2)10
【分析】（1）根据题目所给的式子写出第4个图形对应的等式即可；
（2）找到规律得到第n个图形对应的黑点为1+2+3+⋯+n+1=n+1n+22，由此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，第4个图形对应的等式为1+2+3+4+5=5×1+52，
故答案为：1+2+3+4+5=5×1+52
（2）解：根据题意可得第n个图形对应的黑点为1+2+3+⋯+n+1=n+1n+22，
∴n+1n+22=66，整理得n2+3n-130=0，
解得n1=10，n2=-13（舍去），
∴n的值为10．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，正确理解题意找到图形之间的规律是解题的关键．
10．（2022·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考三模）如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．
(1)第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个．
(2)求出第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数．
(3)求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和．
【答案】(1)4，12，20
(2)第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数共有76个
(3)前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的个数的和为40000个
【分析】（1）第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有3×4=12(个)；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4=20(个)；
（2）根据所给图形中只有2个面涂色的小立方体的块数得到第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数与4的倍数的关系即可；
（3）根据（2）得到的规律，进行计算即可．
【详解】（1）解：观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；
第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有3×4＝12(个)；
第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4＝20(个)．
故答案为：4，12，20；
（2）解：观察图形可知：图①中，只有2个面涂色的小立方体共有4个；
图②中，只有2个面涂色的小立方体共有12个；
图③中，只有2个面涂色的小立方体共有20个．
4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式，
因此，第n个图中两面涂色的小立方体的块数共有：4(2n﹣1)＝8n﹣4，
则第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数共有8×10﹣4＝76(个)；
（3）解：(8×1﹣4)+(8×2﹣4)+(8×3﹣4)+(8×4﹣4)+(8×5﹣4)+…+(8×100﹣4)
＝8(1+2+3+4+…+100)﹣100×4
＝40000(个)．
故前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的个数的和为40000个．
【点睛】本题考查了认识立体图形，图形的变化规律．得到所求块数与4的倍数的关系是解决本题的关键．
11．（2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考二模）探究题．
观察图形，解答下列问题．
(1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？
(2)某一层上有65个圆圈，这是第几层？
(3)图中从第一层到第n层一共有多少个圆圈？
(4)计算：1+3+5+…+99的和；
(5)计算：101+103+105+…+199的和．
【答案】(1)15，2n-1
(2)33
(3)n2
(4)2500
(5)7500
【分析】（1）根据所给的图形观察、计算可得规律得第n层：即可
（2）利用（1）中得出的规律计算即可；
（3）利用（1）得出的规律，然后求和即可；
（4）利用（3）中发现的规律求解即可；
（5）利用（3）中发现的规律求解即可．
【详解】（1）解：第一层：2×1-1=1，
第二层：2×2-1=3，
第三层：2×3-1=5，
…
得出规律：第n层：，
则第八层有：，
第n层有2n-1个小圆圈．
（2）解：2n-1=65，
n=33．
所以，这是第33层．
（3）解：1+3+5+…+2n-1=n1+2n-12=n2．
（4）解：．
（5）解：
=1002-502
．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及应用规律，根据已知得出图形的变化规律是解答本题的关键．
12．（2022·安徽淮南·统考二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①；②13+23=3；③13+23+33=6；④13+23+33+43=__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32；③1+2+3+4=(1+4)×42；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
1+2+3+⋯+n+(n+1)= __________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①13+23+33+…+993+1003；
②113+123+133+…+193+203．
【答案】（1）10；（2）(n+2)(n+1)2；（3）①5050；②41075
【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；
(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；
(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．
【详解】解：（1）10；
（2）(n+2)(n+1)2；
（3）①原式=1+2+3+4+5+⋯+99+100
=(1+100)×1002=5050；
②原式=13+23+33+⋯+183+193+203-13+23+33+⋯+103
=202×2124-102×1124=400×4414-100×1214=44100-3025=41075．
【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键.
13．（2022·安徽滁州·校考一模）【阅读】求值1+2+22+23+…+210．
解：设S= 1+2+22+23+…+210①
将等式①的两边同时乘以2得：2S= 2+22+23+24…+211②
由②﹣①得：2S-S=211-1
即：S= 1+2+22+23+…+210=211-1
【运用】仿照此法计算：
1+5+52+53+…+5100；
【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2019次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2019．
完成下列问题：
（1）小正方形的面积S2019等于 ；
（2）求正方形S1、S2、S3、…、S2019的面积和．
【答案】[运用] 5101-14；（1）；（2）4314-142020
【分析】[运用]仿照题目中的算法可以解答本题；
（1）由S1=14、、，可得S2019=142019；
（2）仿照题目中的算法可以解答本题．
【详解】解：[运用]设S=1+5+52+53+54+…+5100①，
①×3，得：5S=5+52+53+54+…+5100+5101②，
②-①，得：4S=5101-1，
则S=5101-14，即1+5+52+53+54+…+5100=5101-14；
（1）∵S1=14、、，……
∴S2019=142019，
故答案为：；
（2）设S=S1+S2+S3+…+S2019=14+142+143+…+142019①，
①×14，得：14S=142+143+…+142019+142020②，
①-②，得：34S=14-142020，
所以S=43(14-142020)，即S1+S2+S3+…+S2019=4314-142020．
【点睛】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
14．（2022·安徽·一模）观察一下等式：
第一个等式：12=1-12，
第二个等式：12+122=1-122，
第三个等式：12+122+123=1-123，
…………………
按照以上规律，解决下列问题：
（1）12+122+123+124=1- ；
（2）写出第五个式子： ；
（3）用含的式子表示一般规律：12+122+123+…+12n=1- ；
（4）计算（要求写出过程）：32+322+323+324+325+326
【答案】（1）；（2）12+122+123+124+125=1-125；（3）12n；（4）18964
【分析】（1）根据题目中的几个等式，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第四个等式；
（2）根据题目中的几个等式，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第五个等式；
（3）根据题目中的几个等式，可以总结规律，得到一般形式；
（4）根据（3）中规律进行计算．
【详解】解：（1）由题意可得：
12+122+123+124=1-124，
故答案为：；
（2）第五个式子为：12+122+123+124+125=1-125；
（3）由题意可得：
12+122+123+…+12n=1-12n；
（4）32+322+323+324+325+326
=312+122+123+124+125+126
=31-126
=18964
【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的式子．
15．（2022·安徽合肥·合肥市五十中学西校校考三模）观察下列各等式：
①13-1=-23；
②14-12=-14；
③15-13=-215；
④16-14=-112
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明其正确性．
【答案】(1)17-15=-235
(2)1n+2-1n=-2nn+2（n为正整数），证明见解析
【分析】（1）根据题干前4个运算式的提示，归纳出相同的运算式的特点，再写出第⑤个即可；
（2）把等式的左边通分，再计算即可得到结论．
【详解】（1）解：①13-1=-23；
②14-12=-14；
③15-13=-215；
④16-14=-112，
所以⑤为：17-15=-235,
故答案为17-15=-235
（2）由（1）归纳可得：1n+2-1n=-2nn+2（n为正整数），
证明如下：1n+2-1n=nnn+2-n+2nn+2=-2nn+2．
故答案为：1n+2-1n=-2nn+2（n为正整数）．
【点睛】本题考查的是运算规律的探究，分式的加减运算，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．
16．（2022·安徽合肥·统考模拟预测）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；
(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
【答案】(1)16，20；n2，4n＋4
(2)存在，见解析
【分析】（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量；
（2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成立．
【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9
图3的白砖数量为12+4=16
图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16
图4的白砖应比图3上下各多一行
得图4白砖的数量为：16+4=20
图1灰砖的数量为1
图2灰砖的数量为4
图3灰砖的数量为9
图4灰砖的数量为16
得图n灰砖的数量为n2
图1白砖的数量为8=4×1+4
图2白砖的数量为12=4×2+4
图3白砖的数量为16=
图4白砖的数量为20=4×4+4
得图n白砖的数量为4n+4
故答案为：16，20；n2，4n＋4．
（2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1
∴白砖数量为4n+4，灰砖数量为n2
∴4n+4=n2-1
∴n2-4n-5=0
∴n-5n+1=0
∴n=5，或n=-1（舍去）
故当n=5时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1
故答案为：存在．
【点睛】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质．
17．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题：
(1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______；
(2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______；
(3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？
【答案】(1)4
(2)1
(3)终点表示数是（a﹣m+n）
【分析】（1）根据-3点为A，右移7个单位得到B点为-3+7=4，则可以得出答案；
（2）根据3表示为A点，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，得到点为3-7+5=1，可以得出答案；
（3）方法同（2），根据数轴上表示的数左减右加的原则计算即可．．
【详解】（1）∵点A表示数﹣3，
∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣3+7＝4，
故答案是：4；
（2）∵点A表示数3，
∴将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，
那么终点表示的数是3﹣7+5＝1；
故答案是：1；
（3）∵A点表示的数为a，
∴将A点向左移动m个单位长度，再向右移动n个单位长度，
那么终点表示数是（a﹣m+n）．
【点睛】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
18．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）我们把连接菱形对边中点得到的所有菱形称作如图①所示基本图的特征图形显然这样的基本图共有5个特征图形．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一个顶点与对称中心重合，这样得到图1、图2、图3…
(1)观察以上图形并完成下表：
猜想：在图n中，特征图形的个数为______；（用含n的式子表示）
(2)已知基本图的边长为4，一个内角恰好为60°，求图20中所有特征图形的面积之和．
【答案】(1)17，4n+1
(2)图20中所有特征图形的面积之和为2823
【分析】（1）根据从第2个图形开始，每多一个基本图形就会多出4个菱形解答即可；
（2）根据图形的特征解决问题即可．
【详解】（1）解：观察图形和表可得：
图1中的特征图形的个数为：5=4+1，
图2中的特征图形的个数为：9=4×2+1，
图3中的特征图形的个数为：13=4×3+1，
∴图4中的特征图形的个数为：，
∴图n中的特征图形的个数为：4n+1．
故答案为：17，4n+1
（2）如图，过点A作AD⊥BC于D，
根据题意知基本图的边长为4，一个内角恰好为60°，
即菱形ABCE的边长为4，一个内角恰好为60°，
∴AB=BC=4，∠ABC=60°，
∴在Rt△ABD中，AD=ABsin∠ABC=4×sin60°=23，
∴S菱形ABCD=BCAD=4×23=83，
∴大的特征图形面积为83，小的特征图形面积为83÷4=23，
由（1）知，图20中共有特征图形：4×20+1=81（个），
其中有20个大的特征图形，61个小的特征图形，
∴图20中所有特征图形的面积之和为：20×83+61×23=2823．
∴图20中所有特征图形的面积之和为2823．
【点睛】本题考查平移设计图案，规律型问题，涉及到菱形的面积计算和三角函数等知识．解题的关键是学会探究规律的方法．
19．（2022·安徽·校联考三模）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”：
仔细观察上表，根据你发现的规律，解答下列问题：
(1)从上往下数第6行，左边第二个数是__________，右边最后一个数是__________；
(2)该数表中是否存在数255？并说明理由．
【答案】(1)64，68
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意可知可以得到第n行第1个数为2n-1，由此可得第n行第n个数为2n-1+n-1=2n+n-2，据此求解即可；
（2）假设存在数255，则2n-1≤255≤2n-1+n-1，由此求解即可．
【详解】（1）解：∵1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，
∴可以得到第n行第1个数为2n-1，
∴第n行第n个数为2n-1+n-1=2n+n-2，
∴第6行第2个数为26+2+2=64，第6行最后一个数为26+6-2=68；
（2）解：∵第n行第n个数为2n+n-2，
∴假设存在数255，则2n-1≤255≤2n-1+n-1，
∵28-1=255，29-1=511，
∴当时，28-1=255<28+8-2=262，
∴255即为第8行第一个数，
∴存在数255．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律题，正确找到规律是解题的关键．
20．（2021·安徽·统考中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，
[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【答案】（1）2 ；（2） 2n+4；（3）1008块
【分析】（1）由图观察即可；
（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；
（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．
【详解】解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
故答案为：2 ；
（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；
所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（2n+4）块；
故答案为：2n+4；
（3）令2n+4=2021 则n=1008.5
当n=1008时，2n+4=2020
此时，剩下一块等腰直角三角形地砖
∴需要正方形地砖1008块．
【点睛】本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等．
21．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：
第1个等式：
=131×2×3
第2个等式：1×2+2×3=131×2×3-0×1×2+132×3×4-1×2×3
=131×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3
=132×3×4
第3个等式：1×2+2×3+3×4=131×2×3-0×1×3+132×3×4-1×2×3+133×4×5-2×3×4
=131×2×3-0×1×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4
=133×4×5
(1)依此规律，猜想：1×2+2×3+3×4+⋯+nn+1=________（直接写出最后结果）；
(2)依据上述规律计算：10×11+11×12+12×13+⋯+29×30．
【答案】(1)13nn+1n+2 (2)8660
【分析】（1）根据前三个式子得到结果是三个连续自然数的积的 ，其中第一个自然数等于式子的个数，总结出规律；
（2）利用（1）的结论，分别求出1×2+2×3+3×4+4×5+……+29×30， 1×2+2×3+3×4+4×5+……+9×10的结果，进而即可求解．
【详解】（1）解：根据已知条件知：第1个式子为131×2×3 ，
第2个式子为132×3×4 ，
第3个式子为133×4×5 ，
……
故第n个式子结果为13nn+1n+2 ，
故答案为13nn+1n+2．
（2）由规律知
∵1×2+2×3+3×4+4×5+……+29×30=13×29×30×31，
1×2+2×3+3×4+4×5+……+9×10=13×9×10×11，
∴10×11+11×12+12×13+⋯+29×30=13×29×30×31-13×9×10×11=8660．
【点睛】本题是式子的规律探究题，解决问题的关键是确定式子的个数与结果之间的变化关系．图形名称
基本图的个数
特征图形的个数
图1
1
5
图2
2
9
图3
3
13
图4
4
______
…
…
…
——规律探究（安徽专用）
1．（2022·安徽芜湖·校考一模）如图．ΔABC的面积为1．分别取AC,BC两边的中点，则四边形A1ABB1的面积为34，再分别取的A1C,B1C中点A2,B2,A2C,B2C的中点A3,B3，依次取下去…．利用这一图形．计算出34+342+343+···+34n的值是（ ）
A．4n-1-14n-1B．4n-14nC．2n-12nD．2n-1-12n
【答案】B
【分析】由△CA1B1∽△CAB得出面积比等于相似比的平方，得出△CA1B1的面积为14，因此四边形A1ABB1的面积为1-14，以此类推．四边形的面积为14-142，142-143，⋯，根据规律求出式子的值．
【详解】∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，
且△ABC的面积为1，
∴△A1B1C的面积为1×14，
∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积-△A1B1C的面积=34=1-14，
∴四边形A2A1B1B2的面积=△A1B1C的面积-△A2B2C的面积=14-142=342，
…，
∴第n个四边形的面积14n-1-14n=34n，
故34+342+343+···+34n=(1-14)+(14-142)+⋯+(14n-1-14n)
=1-14n
=4n-14n．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型问题，三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
2．（2021·安徽合肥·统考二模）已知整数a1,a2,a3,a4,⋅⋅⋅，满足条件：a1=0,a2=-a1+1,a3=-a2+2,a4=-a3+3,⋅⋅⋅，依次类推a2021的值为（ ）
A．-1009B．-1010C．D．-2020
【答案】B
【分析】分别计算：a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7⋅⋅⋅，再由具体到一般总结出规律，再利用规律解题即可得到答案．
【详解】解：探究规律：
a1=0，
a2=-a1+1=-1，
a3=-a2+2=-1，
a4=-a3+3=-2，
a5=-a4+4=-2，
a6=-a5+5=-3，
a7=-a6+6=-3，
……，
总结规律：
当n是奇数时，结果等于-n-12；n是偶数时，结果等于-n2；
运用规律：
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是数字类的规律探究以及列代数式，掌握规律探究的基本方法是解题的关键．
3．（2023·安徽滁州·校考一模）观察以下等式：
第1个等式：14+1=22+14，第2个等式：49+1=43+19，
第3个等式：916+1=64+116，第4个等式：1625+1=85+125，
第5个等式：2536+1=106+136，……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)3649+1=147+149
(2)n2n+12+1=2nn+1+1n+12
【分析】（1）寻找规律，能求出第6个等式．
（2）猜想的第n个等式为：n2n+12+1=2nn+1+1n+12．利用分式运算进行证明即可．
【详解】（1）第6个等式：3649+1=147+149；
（2）猜想的第n个等式为：n2n+12+1=2nn+1+1n+12
证明如下：
左边=n2n+12+1=n2+n+12n+12=2n2+2n+1n+12，
右边=2nn+1+1n+12=2nn+1n+12+1n+12=2n2+2n+1n+12，
左边=右边
∴n2n+12+1=2nn+1+1n+12
【点睛】本题考查简单的归纳推理、数学归纳法等基础知识，还考查分式的加法运算，是中档题．
4．（2023·安徽合肥·统考一模）观察下列等式的规律，解答下列问题：
第1个等式：12+22+32=3×22+2．
第2个等式：22+32+42=3×32+2
第3个等式：32+42+52=3×42+2．
第4个等式：42+52+62=3×52+2．
……
(1)请你写出第5个等式：________．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)52+62+72=3×62+2
(2)n2+n+12+n+22=3n+12+2，证明见解析
【分析】（1）根据题干所给的等式可直接进行求解；
（2）根据题干所给的等式找出一般规律，然后问题可求解．
【详解】（1）解：52+62+72=3×62+2；
故答案为52+62+72=3×62+2．
（2）解：猜想的第n个等式：n2+n+12+n+22=3n+12+2．
证明：左边=n2+n2+2n+1+n2+4n+4=3n2+6n+5，
右边=3n2+2n+1+2=3n2+6n+5，
∴左边＝右边，
∴猜想成立．
【点睛】本题主要考查代数式的规律问题，解题的关键是得到等式的一般规律．
5．（2022·安徽马鞍山·校考一模）观察下列由黑点组成的图形
图1中黑点个数为1，
图2中黑点个数为2+3+4=9，
图3中黑点个数为3+4+5+6+7=25，
图4中黑点个数为4+5+6+7+8+9+10=49
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)图5中黑点个数对应的等式为： ；
(2)写出你猜想图n中黑点个数对应的等式： ．（用含n的等式表示）；
(3)根据找到的规律，利用其证明（2）的结论．
【答案】(1)5+6+7+8+9+10+11+12+13=81
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题中的式子找规律，代入求解；
（2）根据题中的式子，猜想结论；
（3）把左边求值，化为右边的结论．
【详解】（1）解：2+3+4=32=9
3+4+5+6+7=52=25
4+5+6+7+8+9+10=72=49
图5中黑点个数对应的等式为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=92=81，
故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81；
（2）解：2+3+4=32=9
3+4+5+6+7=52=25
4+5+6+7+8+9+10=72=49
图n中黑点个数对应的等式为：
故答案为：．
（3）左边
＝右边，
所以．
【点睛】本题考查了图形的变化规律以及整式的运算，找到变化规律是解题的关键．
6．（2022·安徽合肥·校考二模）观察下列关于自然数的等式：
3×1×2=1×2×3-0×1×2，①
3×2×3=2×3×4-1×2×3，②
3×3×4=3×4×5-2×3×4，③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：3×4×5= ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；
(3)根据你发现的规律，可知1×2+2×3+3×4+…+99×100= ．（直接写出结果即可）
【答案】(1)4×5×6-3×4×5
(2)第n个等式为：3×n×(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)，验证见解析
(3)333300
【分析】（1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，相同点每个式子第一个都是3，不同点在于第二个就是序号数字，第三个是序号数字加1，根据此即可解出此题．
（2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：3×n×(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)，对等式右边进行整理即可求证；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字，
所以第四个式子右边应该是：3×4×5=4×5×6-3×4×5；
故答案为：4×5×6-3×4×5；
（2）由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为3，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加1，
再由（1）可知，第n个式子应该就是：3×n×(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)；
等式右边=(n+1)(n2+2n-n2+n)=3n(n+1)=左边，
所以猜想正确；
（3）1×2+2×3+3×4+…+99×100
=13×(3×1×2+3×2×3+3×3×4+…+3×99×100)
=13×(1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+99×100×101-98×99×100)
=13×99×100×101
=333300，
故答案为：333300．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
7．（2023·安徽马鞍山·校考一模）已知实数a1，a2，…，an，，（其中n是正整数）满足：
a1=131×2×3=2a1+a2=132×3×4=8a1+a2+a3=133×4×5=+a2++an-1=13n-1nn+1a1+a2++an-1+an=13nn+1n+2
(1)求a3的值；
(2)求an的值（用含n的代数式表示）；
(3)求2022a1+2022a2+2022a3+…+2022a2021的值．
【答案】(1)a3=12
(2)an=nn+1
(3)2021
【分析】（1）根据题目中的式子可以计算出a3的值；
（2）根据题目的式子，可以用含n的代数式表示an的值；
（3）根据（2）中的结果，可以计算出所求式子的值．
【详解】（1）解：∵，a1+a2+a3=20，
∴a1+a2+a3-a1+a2=20-8=12，
∴a3=12；
（2）解：an=13a1+a2+a3+…+an-13a1+a2+a3+…+an﹣1
=13nn+1n+2-13n-1⋅n⋅n+1
=13nn+1n+2-n-1
，
即an=nn+1；
（3）解：∵an=nn+1，
∴2022a1+2022a2+2022a3+…+2022a2021
=2022×11×2+12×3+13×4+⋯+12021×2022
=2022×1-12+12-13+13-14+⋯+12021-12022
=2022×1-12022
=2022×20212022
．
【点睛】本题考查数字类变化规律探究、列代数式并求值，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，并灵活运用求出所求式子的值．
8．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）观察下列等式：第1个等式：22-3×1-1=12-1；第2个等式：32-3×2-1=22-2；第3个等式：42-3×3-1=32-3；第4个等式：52-3×4-1=42-4；……；根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明；
【答案】(1)62-3×5-1=52-5
(2)n+12-3n-1=n2-n，证明见解析
【分析】（1）根据题目中等式的特点，写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，写出猜想，再将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【详解】（1）62-3×5-1=52-5
（2）n+12-3n-1=n2-n
证明：左边=n+12-3n-1=n2+2n+1-3n-1=n2-n=右边，故等式成立．
【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，了解等式的特点，是解题关键．
9．（2023·安徽宿州·统考一模）观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．
(1)第4个图形对应的等式为______．
(2)若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．
【答案】(1)1+2+3+4+5=5×1+52
(2)10
【分析】（1）根据题目所给的式子写出第4个图形对应的等式即可；
（2）找到规律得到第n个图形对应的黑点为1+2+3+⋯+n+1=n+1n+22，由此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，第4个图形对应的等式为1+2+3+4+5=5×1+52，
故答案为：1+2+3+4+5=5×1+52
（2）解：根据题意可得第n个图形对应的黑点为1+2+3+⋯+n+1=n+1n+22，
∴n+1n+22=66，整理得n2+3n-130=0，
解得n1=10，n2=-13（舍去），
∴n的值为10．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，正确理解题意找到图形之间的规律是解题的关键．
10．（2022·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考三模）如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．
(1)第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个．
(2)求出第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数．
(3)求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和．
【答案】(1)4，12，20
(2)第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数共有76个
(3)前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的个数的和为40000个
【分析】（1）第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有3×4=12(个)；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4=20(个)；
（2）根据所给图形中只有2个面涂色的小立方体的块数得到第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数与4的倍数的关系即可；
（3）根据（2）得到的规律，进行计算即可．
【详解】（1）解：观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；
第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有3×4＝12(个)；
第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4＝20(个)．
故答案为：4，12，20；
（2）解：观察图形可知：图①中，只有2个面涂色的小立方体共有4个；
图②中，只有2个面涂色的小立方体共有12个；
图③中，只有2个面涂色的小立方体共有20个．
4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式，
因此，第n个图中两面涂色的小立方体的块数共有：4(2n﹣1)＝8n﹣4，
则第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数共有8×10﹣4＝76(个)；
（3）解：(8×1﹣4)+(8×2﹣4)+(8×3﹣4)+(8×4﹣4)+(8×5﹣4)+…+(8×100﹣4)
＝8(1+2+3+4+…+100)﹣100×4
＝40000(个)．
故前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的个数的和为40000个．
【点睛】本题考查了认识立体图形，图形的变化规律．得到所求块数与4的倍数的关系是解决本题的关键．
11．（2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考二模）探究题．
观察图形，解答下列问题．
(1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？
(2)某一层上有65个圆圈，这是第几层？
(3)图中从第一层到第n层一共有多少个圆圈？
(4)计算：1+3+5+…+99的和；
(5)计算：101+103+105+…+199的和．
【答案】(1)15，2n-1
(2)33
(3)n2
(4)2500
(5)7500
【分析】（1）根据所给的图形观察、计算可得规律得第n层：即可
（2）利用（1）中得出的规律计算即可；
（3）利用（1）得出的规律，然后求和即可；
（4）利用（3）中发现的规律求解即可；
（5）利用（3）中发现的规律求解即可．
【详解】（1）解：第一层：2×1-1=1，
第二层：2×2-1=3，
第三层：2×3-1=5，
…
得出规律：第n层：，
则第八层有：，
第n层有2n-1个小圆圈．
（2）解：2n-1=65，
n=33．
所以，这是第33层．
（3）解：1+3+5+…+2n-1=n1+2n-12=n2．
（4）解：．
（5）解：
=1002-502
．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及应用规律，根据已知得出图形的变化规律是解答本题的关键．
12．（2022·安徽淮南·统考二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①；②13+23=3；③13+23+33=6；④13+23+33+43=__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32；③1+2+3+4=(1+4)×42；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
1+2+3+⋯+n+(n+1)= __________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①13+23+33+…+993+1003；
②113+123+133+…+193+203．
【答案】（1）10；（2）(n+2)(n+1)2；（3）①5050；②41075
【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；
(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；
(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．
【详解】解：（1）10；
（2）(n+2)(n+1)2；
（3）①原式=1+2+3+4+5+⋯+99+100
=(1+100)×1002=5050；
②原式=13+23+33+⋯+183+193+203-13+23+33+⋯+103
=202×2124-102×1124=400×4414-100×1214=44100-3025=41075．
【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键.
13．（2022·安徽滁州·校考一模）【阅读】求值1+2+22+23+…+210．
解：设S= 1+2+22+23+…+210①
将等式①的两边同时乘以2得：2S= 2+22+23+24…+211②
由②﹣①得：2S-S=211-1
即：S= 1+2+22+23+…+210=211-1
【运用】仿照此法计算：
1+5+52+53+…+5100；
【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2019次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2019．
完成下列问题：
（1）小正方形的面积S2019等于 ；
（2）求正方形S1、S2、S3、…、S2019的面积和．
【答案】[运用] 5101-14；（1）；（2）4314-142020
【分析】[运用]仿照题目中的算法可以解答本题；
（1）由S1=14、、，可得S2019=142019；
（2）仿照题目中的算法可以解答本题．
【详解】解：[运用]设S=1+5+52+53+54+…+5100①，
①×3，得：5S=5+52+53+54+…+5100+5101②，
②-①，得：4S=5101-1，
则S=5101-14，即1+5+52+53+54+…+5100=5101-14；
（1）∵S1=14、、，……
∴S2019=142019，
故答案为：；
（2）设S=S1+S2+S3+…+S2019=14+142+143+…+142019①，
①×14，得：14S=142+143+…+142019+142020②，
①-②，得：34S=14-142020，
所以S=43(14-142020)，即S1+S2+S3+…+S2019=4314-142020．
【点睛】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
14．（2022·安徽·一模）观察一下等式：
第一个等式：12=1-12，
第二个等式：12+122=1-122，
第三个等式：12+122+123=1-123，
…………………
按照以上规律，解决下列问题：
（1）12+122+123+124=1- ；
（2）写出第五个式子： ；
（3）用含的式子表示一般规律：12+122+123+…+12n=1- ；
（4）计算（要求写出过程）：32+322+323+324+325+326
【答案】（1）；（2）12+122+123+124+125=1-125；（3）12n；（4）18964
【分析】（1）根据题目中的几个等式，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第四个等式；
（2）根据题目中的几个等式，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第五个等式；
（3）根据题目中的几个等式，可以总结规律，得到一般形式；
（4）根据（3）中规律进行计算．
【详解】解：（1）由题意可得：
12+122+123+124=1-124，
故答案为：；
（2）第五个式子为：12+122+123+124+125=1-125；
（3）由题意可得：
12+122+123+…+12n=1-12n；
（4）32+322+323+324+325+326
=312+122+123+124+125+126
=31-126
=18964
【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的式子．
15．（2022·安徽合肥·合肥市五十中学西校校考三模）观察下列各等式：
①13-1=-23；
②14-12=-14；
③15-13=-215；
④16-14=-112
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明其正确性．
【答案】(1)17-15=-235
(2)1n+2-1n=-2nn+2（n为正整数），证明见解析
【分析】（1）根据题干前4个运算式的提示，归纳出相同的运算式的特点，再写出第⑤个即可；
（2）把等式的左边通分，再计算即可得到结论．
【详解】（1）解：①13-1=-23；
②14-12=-14；
③15-13=-215；
④16-14=-112，
所以⑤为：17-15=-235,
故答案为17-15=-235
（2）由（1）归纳可得：1n+2-1n=-2nn+2（n为正整数），
证明如下：1n+2-1n=nnn+2-n+2nn+2=-2nn+2．
故答案为：1n+2-1n=-2nn+2（n为正整数）．
【点睛】本题考查的是运算规律的探究，分式的加减运算，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．
16．（2022·安徽合肥·统考模拟预测）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；
(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
【答案】(1)16，20；n2，4n＋4
(2)存在，见解析
【分析】（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量；
（2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成立．
【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9
图3的白砖数量为12+4=16
图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16
图4的白砖应比图3上下各多一行
得图4白砖的数量为：16+4=20
图1灰砖的数量为1
图2灰砖的数量为4
图3灰砖的数量为9
图4灰砖的数量为16
得图n灰砖的数量为n2
图1白砖的数量为8=4×1+4
图2白砖的数量为12=4×2+4
图3白砖的数量为16=
图4白砖的数量为20=4×4+4
得图n白砖的数量为4n+4
故答案为：16，20；n2，4n＋4．
（2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1
∴白砖数量为4n+4，灰砖数量为n2
∴4n+4=n2-1
∴n2-4n-5=0
∴n-5n+1=0
∴n=5，或n=-1（舍去）
故当n=5时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1
故答案为：存在．
【点睛】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质．
17．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题：
(1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______；
(2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______；
(3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？
【答案】(1)4
(2)1
(3)终点表示数是（a﹣m+n）
【分析】（1）根据-3点为A，右移7个单位得到B点为-3+7=4，则可以得出答案；
（2）根据3表示为A点，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，得到点为3-7+5=1，可以得出答案；
（3）方法同（2），根据数轴上表示的数左减右加的原则计算即可．．
【详解】（1）∵点A表示数﹣3，
∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣3+7＝4，
故答案是：4；
（2）∵点A表示数3，
∴将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，
那么终点表示的数是3﹣7+5＝1；
故答案是：1；
（3）∵A点表示的数为a，
∴将A点向左移动m个单位长度，再向右移动n个单位长度，
那么终点表示数是（a﹣m+n）．
【点睛】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
18．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）我们把连接菱形对边中点得到的所有菱形称作如图①所示基本图的特征图形显然这样的基本图共有5个特征图形．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一个顶点与对称中心重合，这样得到图1、图2、图3…
(1)观察以上图形并完成下表：
猜想：在图n中，特征图形的个数为______；（用含n的式子表示）
(2)已知基本图的边长为4，一个内角恰好为60°，求图20中所有特征图形的面积之和．
【答案】(1)17，4n+1
(2)图20中所有特征图形的面积之和为2823
【分析】（1）根据从第2个图形开始，每多一个基本图形就会多出4个菱形解答即可；
（2）根据图形的特征解决问题即可．
【详解】（1）解：观察图形和表可得：
图1中的特征图形的个数为：5=4+1，
图2中的特征图形的个数为：9=4×2+1，
图3中的特征图形的个数为：13=4×3+1，
∴图4中的特征图形的个数为：，
∴图n中的特征图形的个数为：4n+1．
故答案为：17，4n+1
（2）如图，过点A作AD⊥BC于D，
根据题意知基本图的边长为4，一个内角恰好为60°，
即菱形ABCE的边长为4，一个内角恰好为60°，
∴AB=BC=4，∠ABC=60°，
∴在Rt△ABD中，AD=ABsin∠ABC=4×sin60°=23，
∴S菱形ABCD=BCAD=4×23=83，
∴大的特征图形面积为83，小的特征图形面积为83÷4=23，
由（1）知，图20中共有特征图形：4×20+1=81（个），
其中有20个大的特征图形，61个小的特征图形，
∴图20中所有特征图形的面积之和为：20×83+61×23=2823．
∴图20中所有特征图形的面积之和为2823．
【点睛】本题考查平移设计图案，规律型问题，涉及到菱形的面积计算和三角函数等知识．解题的关键是学会探究规律的方法．
19．（2022·安徽·校联考三模）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”：
仔细观察上表，根据你发现的规律，解答下列问题：
(1)从上往下数第6行，左边第二个数是__________，右边最后一个数是__________；
(2)该数表中是否存在数255？并说明理由．
【答案】(1)64，68
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意可知可以得到第n行第1个数为2n-1，由此可得第n行第n个数为2n-1+n-1=2n+n-2，据此求解即可；
（2）假设存在数255，则2n-1≤255≤2n-1+n-1，由此求解即可．
【详解】（1）解：∵1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，
∴可以得到第n行第1个数为2n-1，
∴第n行第n个数为2n-1+n-1=2n+n-2，
∴第6行第2个数为26+2+2=64，第6行最后一个数为26+6-2=68；
（2）解：∵第n行第n个数为2n+n-2，
∴假设存在数255，则2n-1≤255≤2n-1+n-1，
∵28-1=255，29-1=511，
∴当时，28-1=255<28+8-2=262，
∴255即为第8行第一个数，
∴存在数255．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律题，正确找到规律是解题的关键．
20．（2021·安徽·统考中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，
[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【答案】（1）2 ；（2） 2n+4；（3）1008块
【分析】（1）由图观察即可；
（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；
（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．
【详解】解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
故答案为：2 ；
（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；
所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（2n+4）块；
故答案为：2n+4；
（3）令2n+4=2021 则n=1008.5
当n=1008时，2n+4=2020
此时，剩下一块等腰直角三角形地砖
∴需要正方形地砖1008块．
【点睛】本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等．
21．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：
第1个等式：
=131×2×3
第2个等式：1×2+2×3=131×2×3-0×1×2+132×3×4-1×2×3
=131×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3
=132×3×4
第3个等式：1×2+2×3+3×4=131×2×3-0×1×3+132×3×4-1×2×3+133×4×5-2×3×4
=131×2×3-0×1×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4
=133×4×5
(1)依此规律，猜想：1×2+2×3+3×4+⋯+nn+1=________（直接写出最后结果）；
(2)依据上述规律计算：10×11+11×12+12×13+⋯+29×30．
【答案】(1)13nn+1n+2 (2)8660
【分析】（1）根据前三个式子得到结果是三个连续自然数的积的 ，其中第一个自然数等于式子的个数，总结出规律；
（2）利用（1）的结论，分别求出1×2+2×3+3×4+4×5+……+29×30， 1×2+2×3+3×4+4×5+……+9×10的结果，进而即可求解．
【详解】（1）解：根据已知条件知：第1个式子为131×2×3 ，
第2个式子为132×3×4 ，
第3个式子为133×4×5 ，
……
故第n个式子结果为13nn+1n+2 ，
故答案为13nn+1n+2．
（2）由规律知
∵1×2+2×3+3×4+4×5+……+29×30=13×29×30×31，
1×2+2×3+3×4+4×5+……+9×10=13×9×10×11，
∴10×11+11×12+12×13+⋯+29×30=13×29×30×31-13×9×10×11=8660．
【点睛】本题是式子的规律探究题，解决问题的关键是确定式子的个数与结果之间的变化关系．图形名称
基本图的个数
特征图形的个数
图1
1
5
图2
2
9
图3
3
13
图4
4
______
…
…
…
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