新高考数学一轮复习《高考大题突破练—向量法求空间角》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《高考大题突破练—向量法求空间角》课时练习

1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点．

(1)求异面直线PB与CM所成角的余弦值；

(2)求点M到平面PAC的距离．

【答案解析】解:(1)因为四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，故AB，AD，AP两两垂直，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，M(0,2,2)，

＝(2,0，－4)，＝(－2，－2,2)，

则|cos 〈，〉|＝＝，

即异面直线PB与CM所成角的余弦值为.

(2)由(1)得＝(0,0,4)，＝(2,4,0)，设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，

则即令x＝2，则y＝－1，

故n＝(2，－1,0)，＝(0,2,2)，设点M到平面PAC的距离为d，

则由点到直线的距离公式可得d＝＝，故点M到平面PAC的距离为.

2.如图，已知在四棱锥A－BCDE中，△ABC是边长为2的正三角形，四边形BCDE满足BE∥CD，BE＝2CD，AE＝3，AE⊥平面ABC，P，Q分别为AB，AE的中点．

(1)求证：DQ⊥PQ；

(2)求直线DP与平面BCDE所成角的正弦值．

【答案解析】 (1)证明:连接CP(图略)，∵AE⊥平面ABC，CP⊂平面ABC，∴AE⊥CP，

∵△ABC是正三角形，∴CP⊥AB，

∴CP⊥平面ABE，

∵PQ⊂平面ABE，∴CP⊥PQ，

∵PQ∥BE∥CD，PQ＝BE＝CD，

∴四边形CDQP为平行四边形，即DQ∥CP，

∴DQ⊥PQ.

(2)解：如图，以A为原点，过A作AC的垂线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AB＝2，AE＝3，

∴B(，1,0)，C(0,2,0)，E(0,0,3)，＝(－，－1,3)，

＝＋＝(-,,)，P(,,0)，

∴＝(－，－1,-)，＝(－，1,0)，

设平面BCDE的法向量为n＝(x，y，z)，则

由得

令x＝，得n＝(，3,2)，

|cos〈n，〉|＝＝.

∴直线DP与平面BCDE所成角的正弦值为.

3.如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，CF⊥SD，SC＝2，且AD∥BC，SE＝ED＝2，DF∶FA＝5∶3，且SA＝AB＝4.

(1)证明：平面SCD⊥平面EFC；

(2)求平面EFC与平面BCE夹角的正弦值．

【答案解析】 (1)证明:因为SA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以SA⊥AD，

又因为SD＝2×2＝4，

在Rt△SAD中，可得AD＝＝8，所以DF＝5，AF＝3，

所以＝，＝，

所以△FED∽△SAD，所以∠SAD＝∠FED＝90°，即SD⊥EF，

又由CF⊥SD，且EF∩FC＝F，EF，FC⊂平面EFC，所以SD⊥平面EFC，

又因为SD⊂平面SCD，所以平面SCD⊥平面EFC.

(2)解　因为SD⊥平面EFC，EC⊂平面EFC，所以SD⊥EC，

又因为SE＝ED，可得△DCE≌△SCE，所以DC＝SC＝2，

如图所示，连接AC.

因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥AC，SA⊥FC，

又因为FC⊥SD，SD∩SA＝S，所以FC⊥平面SAD，FC⊥AD，

所以AC＝＝2，FC＝＝，

过点A作AM∥FC交BC于点M，可得AM＝FC＝，

以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

可得B(－1，，0)，C(3，，0)，E(4,0,2)，S(0,0,4)，D(8,0,0)．

设平面BCE的法向量为u＝(x，y，z)，

则可取平面BCE的一个法向量为u＝(0,2，)，

又SD⊥平面EFC，所以平面EFC的一个法向量为＝(8,0，－4)．

设平面EFC与平面BCE夹角为θ，则cos θ＝＝，

则sin θ＝＝，所以平面EFC与平面BCE夹角的正弦值为.

4.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝90°，△ABC≌△ADC，PA＝AC＝2AB＝2，E是线段PC的中点.

(1)求证：DE∥平面PAB；

(2)求二面角D﹣CP﹣B的余弦值.

【答案解析】解：(1)以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，

过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示.

则B(0，0，0)，C(0，，0)，P(1，0，2)，

D(,,0)，A(1，0，0)，E(,,1)，

∴＝(﹣1，0，1)，＝(1，0，2)，＝(1，0，0).

设平面PAB的法向量为n＝(a，b，c)，

则∴

∴n＝(0，1，0)为平面PAB的一个法向量.

又·n＝0，DE⊄平面PAB，

∴DE∥平面PAB.

(2)由(1)易知＝(0，，0)，

＝(﹣,﹣,2)，＝(﹣,,0)，

设平面PBC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则∴

令x1＝2，则y1＝0，z1＝﹣1，

∴n1＝(2，0，﹣1)为平面PBC的一个法向量.

设平面DPC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

则∴

令x2＝1，则y2＝，z2＝1，

∴n2＝(1，，1)为平面DPC的一个法向量.

∴cos〈n1，n2〉＝＝.

故二面角D﹣CP﹣B的余弦值为.

5.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD＝90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，EB＝，EF＝1，BC＝，且M是BD的中点.

(1)求证：EM∥平面ADF；

(2)求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小.

【答案解析】解：(1)证法一：取AD的中点N，连接MN，NF.

在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以MN∥AB，MN＝AB，

又因为EF∥AB，EF＝AB，所以MN∥EF且MN＝EF.

所以四边形MNFE为平行四边形，所以EM∥FN，

又因为FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，故EM∥平面ADF.

证法二：因为EB⊥平面ABD，AB⊥BD，

故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz.

由已知可得＝(,0,-)，＝(3，－2，0)，＝(0，－1，)，

设平面ADF的法向量是n＝(x，y，z).

由得令y＝3，则n＝(2，3，).

又因为·n＝0，所以⊥n，

又EM⊄平面ADF，故EM∥平面ADF.

(2)由(1)中证法二可知平面ADF的一个法向量是n＝(2，3，).

易得平面BFD的一个法向量是m＝(0，－，1).

所以cos〈m，n〉＝＝－，

又二面角A﹣FD﹣B为锐角，

故二面角A﹣FD﹣B的余弦值大小为.

6.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E﹣ACD的体积.

【答案解析】解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.

又E为PD的中点，所以EO∥PB.

又因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.

(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.

如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，

建立空间直角坐标系A﹣xyz，

则D(0，，0)，E(0,,)，＝(0,,).

设B(m，0，0)(m＞0)，则C(m，，0)，＝(m，，0).

设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，

则即可取n1＝.

又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，

由题设得|cos〈n1，n2〉|＝，即 ＝，解得m＝.

因为E为PD的中点，所以三棱锥E﹣ACD的高为.

三棱锥E﹣ACD的体积V＝××××＝.

7.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD，BD＝AD，且PD⊥底面ABCD.

(1)证明：平面PBD⊥平面PBC；

(2)若Q为PPC的中点，且，求二面角Q﹣BD﹣C的大小.

【答案解析】解：

8.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

(1)求证：D1F∥平面A1EC1；

(2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值．

(3)求平面AA1C1与平面A1C1E夹角的正弦值．

【答案解析】 (1)证明：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，C1(2,2,2)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，

因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，

所以E(2,1,0)，F(1,2,0)，

所以＝(1,0，－2)，＝(2,2,0)，＝(2,1，－2)，

设平面A1EC1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则令x1＝2，则m＝(2，－2,1)，

因为·m＝2－2＝0，所以⊥m，

因为D1F⊄平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1.

(2)解　由(1)得，＝(2,2,2)，

设直线AC1与平面A1EC1所成的角为θ，

则sin θ＝|cos〈m，〉|＝＝.

所以直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为.

(3)解　连接BD，由正方体的特征可得，平面AA1C1的一个法向量为＝(2，－2,0)，

则cos〈，m〉＝＝＝，

所以平面AA1C1与平面A1C1E夹角的正弦值为＝.